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1、从“耍金箍棒”、“踢三角”到“玩转金字塔” 谈一类与等差数列相关的计算 概念已知数列 an ，若对于所有的 n2，都有 an- an-1=d（d 为常数），我们就称数列 an 为等差数列（ Arithmetic progression），其中 d 叫做这个等差数列的公差。 等差数列 an 中每一个数 ai都叫做等差数列的项。有限项等差数列 a1、a2、a3、 an中， n 叫做等差数 列的 项数 ，a1叫做等差数列的首项，an叫做等差数列的末项 。 基本公式an=a1+( n- 1) d=am+( n- m) d n=(an- a1) d+1 d=(an- a1) (n- 1)=( ai- a
2、j) (i- j) 一、从基本的等差数列求和谈起 等差数列求和是各类考试中常考的内容，是中小学生需要掌握的基本数学技能之一。 例 1 计算 2+5+8+11+14+17+20+23 分析显然这是一串等差数列求和。如下图，我们把这串数字顺次写到孙悟空的“金箍 棒”上： 2 5 8 11 14 17 20 23 我们再复制一个完全一样的“金箍棒”，然后把复制的“金箍棒”掉一下头（即绕中心 旋转 180），再把两个“金箍棒”合二为一，最后把相同位置上的数相加。如下图： 2 5 8 11 14 17 20 23 23 20 17 14 11 8 5 2 2 5 8 11 14 17 20 23 23
3、20 17 14 11 8 5 2 25 25252525252525 我们会发现最后合二为一的这个“金箍棒”每个位置上的数都是 25（2+23=5+20 = 1 =23+2=25），一共有 8 个位置，所以最后这个“金箍棒”上所有的数的和等于 258=200，而 这个“金箍棒”是由最开始的两个“金箍棒”合二为一的，所以最开始的“金箍棒”上的所 有的数之和等于 2002=100。 因此，我们可以知道 2+5+8+11+14+17+20+23 =(2+23) 82 =100 而事实上，对于任意等差数列an ，我们采取同样的方式： a 1 a 2 a 3 ai an-1 a n a n a n-1
4、 a n-2 an-i+1 a2 a 1 这里有 ai+an-i+1=a1+( i- 1) d+an+( n- i+1)- n d=a1+an 所以 a1+a2+a3+ an=( a1+an) n2，即 n a a n S a n n i 1 2 i 1 ，（其中 an 为等差数列） 二、再谈踢三角 我们先来看一个例子： 例 2 计算 1+( 1+5)+( 1+5+9)+( 1+5+9+13)+( 1+5+9+ 101) 可能很多人看到这道题目的第一反应就是对每一个括号进行等差数列求和，然后再进行 下一步计算。我们不妨来尝试一下： 原式 1 1 12 1 53 1 926 1 101 2 2
5、2 2 1 2 2 6 3 10 26 102 2 2 2 2 我们会发现到这里后，接下来的计算就不太容易进行下去。 换一个角度来观察原题，容易看出题目中共出现了 1 个 101、2 个 97、3 个 93、 25 个 5 和 26 个 1，因此，原式 =1101+297+393+ 255+261。 而变形后的这个算式，是若干个乘积的和的形式。每一部分乘法算式的第一个因数构成 1 开始的自然数列，而第二个因数 101、97、93、 5、1，则构成了一个等差数列。也就 2 是i ai 的形式。 i 1n n 我们可以从乘法的意义上来理解式子i ai ，其中 1a1表示 1 个 a1, 2a2表示
6、 2 i 1 个 a2， iai表示 i 个 ai， nan表示 n 个 an，然后把这些数按照下图方式进行排列： a 1 1a 1 a 2 a 2 2a 2 a a 3 a 3a 3 3 3 a n a a na n n n 这些数正好可以排成一个三角形的形状。我们如果对这个“三角形”按顺时针方向踢上 两脚，则会变成以下样子： a 1 a n a n a 2 a 2 a n a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 2 a 2 a 3 a n a n a n a n a n a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 a n 如果把上面三个“三角形”合到一起，我们会神奇地发现重
7、叠之后每一个位置上的三个 数之和都等于 a1+2an（证明过程略）。而每一个“三角形”都有1+2+3+ n n n 1 个位 2 n n 1 置，所以三个“三角形”上的所有数之和就等于a 2a ，从而一个“三角形” 1 n 2 n n 1n n 1 上的所有数之和就等于 a 2a 1 a 2a ，即 1 n 2 3 1 n 6 n i 1 i a a i 1 2an n n 16 ，（其中 an 为等差数列） 根据这个公式，我们就可以计算前面 1101+297+393+ 255+26 1 的结果了。 1101+297+393+ 25 5+261 =( 101+12) 26276 =12051 变式 1计算523+6 25+727+ 2053 3