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1、1 导数题型归纳总结 第二讲不等式证明 作差证明不等式 1.（2010湖南，最值、作差构造函数） 已知函数xxxf)1ln()( (1) 求函数)( xf的单调递减区间； (2) 若1x，求证： 1 1 1 x ) 1ln( xx 解： (1) 函数f (x) 的定义域为 ( 1，+), 1 1 1 1 )( x x x xf ， 由0)(xf得： 1 0 1 x x x ，x0, f (x) 的单调递减区间为(0 ，+). (2) 证明：由 (1) 得x( 1，0) 时，0)(xf， 当x(0，+)时，0)(xf，且 (0)0f x 1时，f (x) f (0) ，xx) 1ln(0，)1l
2、n( xx 令1 1 1 ) 1ln()( x xxg ，则22 ) 1() 1( 1 1 1 )( x x xx xg ， 1x 0时，0)(xg，x0时，0)(xg，且0)0(g x 1时，g (x) g (0) ，即1 1 1 ) 1ln( x x 0 )1ln( x 1 1 1 x ，x 1时， 1 1 1 x )1ln(xx 2.（2007湖北 20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 2 1 ( )2 2 f xxax， 2 ( )3lng xaxb，其中0a设两曲线( )yf x， ( )yg x 有公共点，且在该点处的切线相同 用a表示b，并求b的最大
3、值； 求证：当0x时，( )( )f xg x 解：设( )yf x与( )(0)yg xx在公共点 00()xy，处的切线相同 ( )2fxxa， 2 3 ( ) a g x x ，由题意 00 ()()f xg x ， 00 ()()fxg x 即 1 23 ln 2 3 2 xax ax b a xa x ， ，由 3 2 a x a x得： 0 xa，或 0 3xa（舍去） 即有 2222215 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 22 5 ( )3ln (0) 2 h tttt t，则( )2 (13ln )h ttt于是 当 (13ln )0tt ，即 1 3 0te 时，
4、 ( )0h t ； 当 (13ln )0tt ，即 1 3 te 时， ( )0h t 2 故( )h t在 1 3 (0)e， 为增函数，在 1 3 ()e ,+ 为减函数， 于是 ( )h t 在(0 )， 的最大值为 12 33 3 () 2 h ee 设 22 1 ( )( )( )23ln(0) 2 F xf xg xxaxaxb x， 则 ( )Fx 2 3()(3 ) 2(0) axaxa xax xx 故 ( )F x 在(0 )a， 为减函数，在 ()a， 为增函数， 于是函数 ( )F x 在(0 )， 上的最小值是 000 ( )()()()0F aF xf xg x
5、故当0x时，有( )( )0f xg x，即当0x时，( )( )f xg x 3.（2009全国 II 理21，字母替换，构造函数难题 ） 设函数 2 ln 1fxxax 有两个极值点12 xx、 ，且12 xx 求a的取值范围，并讨论fx的单调性； 证明： 2 12ln 2 4 fx. 解: 2 22 2(1) 11 axxa fxxx xx 令 2 ( )22g xxxa，其对称轴为 1 2 x。 由题意知 12 xx、 是方程 ( )0g x 的两个均大于1的不相等的实根， 其充要条件为 480 ( 1)0 a ga ，得 1 0 2 a 当 1 ( 1, )xx 时， 0,( )fx
6、f x 在1 ( 1,)x 内为增函数； 当 12 (,)xx x 时， 0,( )fxf x 在12 (,)x x 内为减函数； 当 2, ()xx时，0,( )fxf x在 2, ()x内为增函数； 由知 2 1 (0)0,0 2 gax ， 由 2 222 ()220g xxxa得 2 22 (2)axx+2， n 12 n 1x xa x x x xx+ 2 3 设 221 (22 )ln 1() 2 h xxxxxx， 则 222 1 n 1 2 2 1 n 1h x x xx x xx 当 1 (,0) 2 x时，0,( )hxh x在 1 ,0) 2 单调递增； 当(0,)x时，
7、0h x，( )h x在(0,)单调递减。 所以， 1112ln 2 (,0),() 224 xh xh当时 故 22 1 2ln 2 () 4 fxh x 变形构造函数证明不等式 4.（2011辽宁理 21，变形构造函数，二次） 已知函数1ln) 1()( 2 axxaxf. 讨论函数)(xf的单调性； 设1a，如果对任意),0(, 21 xx，| )()(| 21 xfxf|4 21 xx，求a的取值范围 . 解：( )fx的定义域为（ 0，+） . 2 121 ( )2 aaxa fxax xx . 当0a时， ( )fx 0，故 ( )f x 在（ 0，+）单调增加； 当1a时， (
8、)fx 0，故 ( )f x 在（ 0，+）单调减少； 当 1a0时，令( )fx=0，解得 1 2 a x a . 则当 1 (0,) 2 a x a 时， ( )fx0； 1 (,) 2 a x a 时， ( )fx0. 故 ( )fx 在 1 (0,) 2 a a 单调增加，在 1 (,) 2 a a 单调减少 . 不妨假设 12 xx ，而 a 1，由知在（ 0，+）单调减少，从而 12 ,(0,)x x ，1212 ()()4f xf xxx 等价于 12 ,(0,)x x ，2211 ()4()4f xxf xx, 令 ( )( )4g xf xx，则 1 ( )24 a gxax
9、 x 4 等价于( )g x在（ 0，+）单调减少，即 1 240 a ax x . 从而 2 41 21 x a x , 设 2 41 ( )(0), 21 x h xx x 并设411tx， 1 4 t x， 2 88 9 29 2 t y tt t t 8 2. 332 故a的取值范围为（，2. 5.已知函数( )1ln(0).f xxax a （1）确定函数( )yf x的单调性； （2）若对任意 12 ,0,1x x，且 12 xx，都有 12 12 11 |()()|4 |fxf x xx ，求实数a 的取值范围。 6.（变形构造） 已知二次函数 2 fxaxbxc和“伪二次函数”
10、 2 g xaxlnbxcx（a、b、 ,cR 0abc） ， (I) 证明：只要0a，无论b取何值，函数g x在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数 2 fxaxbxc图象上任意取不同两点 1122 (,),(,)A xyB xy， 线段 AB中点的横坐标为 0 x， 5 记直线 AB的斜率为k， (i)求证： 0 ()kfx ； (ii)对于“伪二次函数” 2 lng xaxbxcx ，是否有同样的性质?证明你的结论 . 解： （I）如果0, ( )xg x 为增函数 , 则 2 2 ( )20 caxbxc g xaxb xx (1) 恒成立 , 当0x时恒成立 , 2 20a
11、xbxc (2) 0,a 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立. 则函数 ( )g x 不可能总为增函数. 3分 （II ） （i ） 22 212121 2121 ()fxfxa xxb xx k xxxx = 0 2axb. 由( )2,fxaxb 00 ()2fxaxb, 则 0 ()kfx -5分 （ii ）不妨设 21xx, 对于“伪二次函数”: 22 2 2121 21 1 2121 ()ln x a xxb xxc g xg xx k xxxx = 2 1 0 21 ln 2 x c x axb xx , (3) 7分 由( )中(1)00 0 2 c gxaxb x , 如果
12、有 ( ) 的性质，则 0 gxk , (4) 比较 (3)( 4)两式得 2 1 210 ln x c xc xxx ， 0,c 即： 2 1 2112 ln 2 x x xxxx ，(4) -10分 不妨令 2 1 ,1, x tt x ln2 11 t tt ， (5) 设 22 ( )ln 1 t s tt t ，则 2 22 12(1)2(1)(1) ( )0 (1)(1) ttt s t ttt t ， ( )s t在(1,)上递增， ()10st . (5) 式不可能成立, （4）式不可能成立, 0 gxk . “伪二次函数” 2 lng xaxbxcx不具有 ( ) 的性质 . -12 分 7.已知函数 1 )( x a x，a为正常数 若)(ln)(xxxf，且a 2 9 ，求函数 )( xf的单调增区间； 在中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点 11, y xA， 22, y xB，线段 AB 的中点为 ),( 00 yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)( 0 xfk 若 )(ln)(xxxg ，且对任意的 2,0, 21 xx， 21 xx，都有1 )()( 12 12 xx xgxg ，求a的取值范围 解： 2 2 2 ) 1( 1)2( ) 1( 1 )( xx xax x a x xf