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1、热点十九数列大题 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 例 1 【2012 江苏高考 】已知各项均为正数的两个数列 n a 和 n b 满足： 22 1 nn nn n ba ba a ，*Nn， （1）设 n n n a b b1 1 ，*Nn，求证：数列 2 n n b a 是等差数列； （2）设 n n n a b b2 1 ，*Nn，且 n a 是等比数列，求 1 a 和 1 b的值 例 2 【2013 江苏高考 】 设 n a 是首项为 a，公差为d的等差数列 （0d ） ， n S 是前n项和 . 记 2 n n nS b nc ， nN，其中c为实数 . （1）若0c，且 1 b
2、， 2 b， 4 b成等比数列，证明： 2 ( ,) nkk Sn S k nN ； （2）若 n b 是等差数列，证明0c. 【热点深度剖析】 1. 江苏高考中，数列大题要求较高，常常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考中数列解 答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，而对递推条件证不等式有所 淡化。尤其11 年江苏卷的数列题命制非常出色，条件与结论中都隐含着等差数列，所以解题过程中既有等 差数列性质的挖掘，又有等差数列的判断论证，综合性极强. 2.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取 值时所对
3、应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数 列方法的特殊性.注意数列与函数方程、不等式等知识的交汇.在复习中要参透数列作为一种离散型的特殊函 数与函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值、图像等关系. 3.解决数列综合题， 关键是熟练掌握等差数列、等比数列的定义及性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律， 通过对知识的重新组合，以达到提高分析问题和解决问题能力的目的. 4.预计 15 年数列依然是考查重点内容，出与等差数列相关的代数论证压轴题的可能性较大. 【 最新考纲解读】 内容 来源: 学 。科。 网 来 源 :Z xxk.C o m 要求备注 来源 :
4、 Z_xx_ k. Com 来源: 学 科网Z X X K 来源: 学科网 A B C 数列 数列的概念 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表 中分别用 A、B、C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的 简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性 的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的 或较为困难的问题. 等差数列 等比数列 【重点知识整合】 一、 n a与 n S的关系： 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 二、 （）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差（比）
5、等于同一常数的数列叫等差（比）数列 （）递推公式： 11 0 nnnn aadaa qqnN， （）通项公式： 1 11 (1) n nn aandaa qnN， （） 等差数列 性质 单调性：0d时为递增数列，0d时为递减数列，0d时为常数列 若mnpq，则() mnpq aaaa mnpqN， ， ，特别地，当2mnp时，有 2 mnp aaa () () nm aanm d mnN，232kkkkk SSSSS， 成等差数列 等比数列 性质 单调性：当 1 0 01 a q ， 或 1 0 1 a q 时，为递增数列；当 1 0 1 a q ， ， ，或 1 0 01 a q 时为递减
6、数 列； 当0q时为摆 动 数列； 当1q时为 常数 列 若mnpq，则 () mnpq aaaa mnpqN， ， ， 特别地若 2mnp 则 2 mnp aaa (0) n mn m a qmnq a N， 232kkkkk SSSSS，, ，当1q时为等比数列；当1q时， 若k为偶数，不是等比数列若k为奇数是公比为1的等比数列 【应试技巧点拨】 一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义 法，这种方法适应于已知数列类型的题目2、 公式法，若已知数列的前n项和 n S 与 n a 的关系， 求数列 n a 的通项 n a可用公式 2 1
7、1 1 nSS nS a nn n 求解。 3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数 列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化 方法与特殊数列。4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系 求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列） 来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一 种重要的转化方法。 二、数列求和的基本方法： 1.基本公式法：1等差数列求和公式： 1 1 1 22 n n n aan n S
8、nad2等比数列求和公式： 1 1 1 ,1 1 ,1 11 n n n naq Saq aa q q qq 3 012 2 nn nnnn CCCC. 2.错位相消法：一般适应于数列 nn a b的前n向求和，其中 n a成等差数列， n b成等比数列。 3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。 4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项 再求和 . 常见的拆项公式有：1若 n a是公差为d的等差数列，则 11 1111 nnnn a adaa ； 2 1111 21 2122121nnnn ；3 11 1n
9、n knkn ；4 1 1 mmm nnn CCC； 5!1 !n nnn. 5. 倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。 【考场经验分享】 1.目标要求：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它 既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自 己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合 性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转 化与化归的思想、分类讨论的思想. 2.注
10、意问题： (1) 利用 an与 Sn的关系，不要忘记验证a1 能否与 n2 时 an的式子统一 ; (2) 运用等比数列求 和公式时，需对q=1 和 q1 进行讨论 . 3. 经验分享：用函数的观点处理数列问题，数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为 背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。 【名题精选练兵篇】 1.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015 一模】 (本小题满分16 分) 在数列 na 中，已知 1221 1,2, nnn aaaaanN ，为常数 . (1)证明 : 14,5 ,a a a成等差数列 ; (2)设 2 2
11、 nn aa n c，求数列的前 n 项和 n S； （3）当0时，数列1 n a 中是否存在三项 111 1,1,1 stp aaa成等比数列，且, ,s t p也成等比 数列 ?若存在，求出, ,s t p的值；若不存在，说明理由. 2.【泰州 2015 一模】（本题满分16 分） 数列 n a， n b， n c满足： 1 2 nnn baa， 12 22 nnn caa，*nN （1）若数列 n a是等差数列，求证：数列 n b是等差数列； （2）若数列 nb ， nc 都是等差数列，求证：数列 na 从第二项起为等差数列； （3）若数列 n b是等差数列，试判断当 13 0ba时，数
12、列 n a是否成等差数列？证明你的结论 3.【扬州2015 一模】已知数列 n a 中， 12 1,aaa，且 12 () nnn ak aa对任意正整数都成立，数 列 n a的前 n 项和为 Sn。 （1）若 1 2 k，且 2015 2015Sa，求 a； （2）是否存在实数k，使数列 n a 是公比不为1 的等比数列，且任意相邻三项 12 , mmm aaa 按某顺序排列 后成等差数列，若存在，求出所有k 值，若不存在，请说明理由； （3）若 1 , 2 n kS求。 4.【南京盐城2015 一模】设数列 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，若 15 64a a， 53
13、 48SS. （1）求数列 na 的通项公式； （2）对于正整数,k m l（kml） ，求证： “1mk且3lk”是“5 , kml a aa 这三项经适当排 序后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设 数 列 n b满 足 ：对 任意 的 正整 数n， 都 有 121321nnnn a ba ba ba b 1 3 246 n n，且集合 * |, n n b MnnN a 中有且仅 有 3 个元素，试求的取值范围 . 5.【镇江 2015 一模】 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a中，1 1 a， 在 21,a a之间插入1 个数，在 32,a a之间插入2 个数，在 43,
14、a a之间插入3 个数，, ， 在 1 , nn aa之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列 n a中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差 数列 n b. （1）若19 4 a，求 n b的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和为 n S，且满足,(2 nn bS为常数），求 n a的通项公式 . 6.【苏州 2015 一模】已知数列 n a中 11 1 1, 3 3 n n n an aa an ( ( n n 为奇数） 为偶数） . （1）是否存在实数，使数列 2 - n a是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若 n S是数列 n a的前n项和，求满足0 n
15、S的所有正整数n. 7.【常州 2015 一模】 （本小题满分16 分） 已知数列 n a（ * Nn，146n）满足 1 a a， 1 , 115, 1 , 1630, 1 , 3145, nn dn aan n d 其中0d， * Nn （1）当1a时，求 46 a关于d的表达式，并求 46 a的取值范围； （2）设集合|, , ,116 ijk Mb baaai j kijkN 若 1 3 a ， 1 4 d ，求证： 2M ； 是否存在实数 a， d，使 1 8 ，1， 53 40 都属于 M？若存在，请求出实数 a ， d；若不存在，请说明理由 8. 【 江苏省灌云高级中学2013-
16、2014 学年度高三第一学期期中考试】已知数列 n a满足： 12 1,(0).aaa a 数列 n b满足 1( *) nnn ba anN。 (1) 若 n a 是等差数列，且 3 12,b 求a的值及 n a 的通项公式； (2) 当 n b 是公比为 1a 的等比数列时， n a 能否为等比数列？若能，求出 a的值；若不能，请说明理由 . 9 【江苏省灌云高级中学2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】设等比数列 n a 的首项为 1 2a，公 比为q（q为正整数） ，且 满足 3 3a是 1 8a与 5 a的等差中项；数列 n b满足 23 2()0 2 nn ntb nb
17、（ * ,tR nN）. （1）求数列 n a 的通项公式； （2）试确定t的值，使得数列 nb 为等差数列； （3）当 n b为等差数列时，对每个正整数k，在 k a与 1k a 之间插入 k b个 2，得到一个新数列 n c. 设 n T 是数列 n c的前n项和，试求满足 1 2 mm Tc的所有正整数m. 10. 【南京市、 盐城市 2014 届高三第一次模拟考试】等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 2a， 6 22S. （1）求 n S； （2）若从 n a中抽取一个公比为q的等比数列 n k a，其中 1 1k，且 12n kkk， * n kN. 当q取最小值时，求
18、n k的通项公式； 若关于 * ()n nN 的不等式 1 6 nn Sk 有解，试求 q的值 . 11. 【江苏省通州高级中学2013-2014 学年度秋学期期中考试】设各项均为正实数的数列 n a 的前n项和 为 n S，且满足 2 )1(4 nn aS （ * Nn） （）求数列 n a 的通项公式； （）设数列 n b的通项公式为n b n n a at （ * Nt ） ，若 1 b， 2 b， m b（ * , 3Nmm ）成等差数列， 求t和m的值； （） 证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为 n a 中的三项 1 n a ， 2 n a ， 3 n a
19、 12 【江苏省扬州中学20132014 学年第 一学期月考】已知函数 2 1fxx，设曲线yfx在点 , nn xy 处的切线与 x轴的交点为 1,0n x ，其中 1 x为正实数 （1）用 n x 表示 1n x ； （ 2） 1 2x,若 1 lg 1 n n n x a x ，试证明数列 n a为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （3）若数列 n b 的前n项和 1 2 n n n S，记数列 nn ba 的前n项和 n T，求 n T 13. 【 苏 北 四 市2014届 高 三 第 一 次 质 量 检 测 】已 知 数 列 n a满 足 1 ax ， 2 3ax ， 2* 1
20、1 32(2,) nnn SSSnnnN， n S 是数列 n a的前 n 项和 (1)若数列 n a为等差数列 （）求数列的通项 n a ； （）若数列 n b满足2 n a n b，数列 n c满足 2 21nnnn ct btbb ，试比较数列 n b前 n 项和 n B 与 nc 前 n项和 nC 的大小； (2)若对任意 * nN ， 1nn aa恒成立，求实数x 的取值范围 14. 【苏州市2014 届高三调研测试】设数列 an满足 an 1 = 2an n 2 4n 1 （1）若 a1 3，求证：存在 2 ( )f nanbnc （a，b，c 为常数），使数列 anf(n) 是等
21、比数列，并求出 数列 an的通项公式； （2）若 an是一个等差数列 bn的前 n 项和，求首项a1的值与数列 bn的通项公式 15.【 江 苏 省 兴 化 市安 丰 高 级 中 学2014 届 高 三12 月月 考 】已 知数 列 n a 中 ， ，3 1 a 前n和 1 (1)(1)1 2 nn Sna （1）求证：数列 n a是等差数列 （2）求数列 n a的通项公式 （3）设数列 1 1 nna a 的前n项和为 n T，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存 在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。 16. 【江苏省诚贤中学2014 届高三数学月考试题】已知a为实数，数
22、列 n a满足 1 aa，当2n时， 11 11 3(3) 4(3) nn n nn aa a aa ， （） 100 100100aaS n 当时，求数列的前项的和；(5 分) （）证明：对于数列 n a ，一定存在 * kN，使03 k a；(5 分 ) （）令 2( 1) n n nn a b ，当 23a 时，求证： 1 20 . 12 n i i a b (6 分) 【名师原创测试篇】 1数列 n a是递增的等差数列，且6 61 aa，8 43 aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S的最小值； （3）求数列 n a的前n项和 n T 2. 已知
23、数列 n a中 ， 1 3a， 1 3 2 n nn aa ， * nN. （1）证明数列2 n n a是等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）在数列 n a中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说 明理由； （3）若1rs且r， * sN，求证：使得 1 a， r a ， s a 成等差数列的点列, r s在某一直线上. 3. 已知无穷数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 nnn SAaBaC，其中A、B、C是常数 . （1）若0A，3B，2C，求数列 n a 的通项公式； （2）若1A， 1 2 B， 1 16 C，且0 n a，求数列
24、n a 的前n项和 n S； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列 n a是公比不为1的等比数列 . 4. 称满足以下两个条件的有穷数列 12 , n a aa为2,3,4,n n阶“期待数列” ： 123 0 n aaaa ； 1231naaaa . （1）若等比数列 n a为2*k kN阶“期待数列” ，求公比q 及 n a的通项公式； （2）若一个等差数列 n a既是2*k kN阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式； （3）记 n 阶“期待数列” i a 的前 k 项和为 1,2,3, k Skn ： （i）求证： 1 2 k S； （ii）若存在1,2,3,mn使 1
25、2 m S，试问数列 k S能否为 n 阶“期待数列”？若能，求出所有 这样的数列；若不能，请说明理由. 5. 数 列 n a的 首项 为a（0a） ， 前n项 和 为 n S， 且aStS nn 1 （0t） 设1 nn Sb， nn bbbkc 21 （Rk） （ 1） 求数列 n a的通项公式； （ 2） 当1t时， 若对任意 * Nn，| 3 bbn恒成立，求a的取值范围； （ 3） 当1t时，试求三个正数 a，t，k的一组值，使得 n c为等比数列，且a，t，k成等差数列 6.设项数均为k（ * 2,kkN）的数列 n a、 n b、 n c前n项的和分别为 n S、 n T、 n
26、U. 已知集合 1212 , kk a aab bb=2, 4, 6, 42,4 kk. （1）已知 n n nU22，求数列 n c的通项公式； （2）若 22 n nn STn * (1,)nk nN ，试研究4k和6k时是否存在符合条件的数列对 （ n a ， n b ） ，并说明理由； （3）若 * 2(1,) nn abnnk nN ，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（ n a， n b） 有偶数对 . 7. 已知数列 n a 具有性质： 1 a为整数；对于任意的正整数n，当 n a为偶数时， 1 2 n n a a；当 n a为奇数时， 1 1 2 n n a a. （1）若 1 a为偶数，且 123 ,a aa成等差数列，求 1 a的值； （2）设 1 23 m a (3m且mN)，数列 na 的前n项和为 n S ，求证： 1 23 m n S ； （3）若 1 a为正整数，求证：当 21 1logna (nN)时，都有 0 n a .