2018高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分(修改).pdf

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1、1 / 26 2018年全国高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分 一、选择题 1 设0x是( )f x的极值点 , 求m,并讨论( )f x的单调性 ; ( 当2m时, 证明( )0f x. 【答案】 3 / 26 12 求证 : 1 1-; 1 xfx x (II若fxg x恒成立 , 求实数a取值范围 . 请考生在第22、 23、24 三题中任选一题做答,如果多做 , 则按所做的第一题计分. 作答时用2B 铅笔在 答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.SixE2yXPq5 【答案】 4 / 26 5 / 26 6 / 26 13 若)(xf在), 1(上是单调减函数, 且)(xg在

2、), 1(上有最小值 , 求a的取值范围 ; (2 若)(xg在), 1(上是单调增函数,试求)(xf的零点个数 , 并证明你的结论. 卷 附加题部分答案word 版 选做题 第 21 题, 本题包括A、B、C、D 四小题 , 请选定其中两题 , 并在相应的答题区域内作答, 若多 做, 则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.kavU42VRUs 【答案】解:(1 由0 1 )( a x xf即a x 1 对), 1(x恒成立 , max 1 x a 而由),1 (x知 x 1 aln时)( xg0, 7 / 26 )(xg在), 1 (上有最小值 aln1 ae 综

3、上所述 :a的取值范围为),(e (2 证明: )(xg在),1(上是单调增函数 0)( aexg x 即 x ea对), 1(x恒成立 , min x ea 而当), 1(x时, x e e 1 e a 1 分三种情况 : ( 当0a时, x xf 1 )( 0 f(x 在),0(x上为单调增函数 0)1 (ff(x 存在唯一零点 ( 当a0 f(x 在),0(x上为单调增函数 )1 ()( aaa eaaeaef0 f(x 存在唯一零点 ( 当 00;x a 1 时, x a xa xf ) 1 ( )( 0 时,00 且函数在 ae 1 , 1 上的图像不间断函数)(xf在 ae 1 ,

4、 1 上有存在零点 另外 , 当 a x 1 ,0,a x xf 1 )( 0, 故)(xf在 a 1 ,0上单调增, )(xf在 a 1 , 0只有一个零点 下面考虑)(xf在 , 1 a 的情况,先证 8 / 26 )(lnln)( 11111 21aaaaa eaaaeeaaeeefe时, x e 2 x, 设 2 )(xexh x ,则xexh x 2)( , 再设xexl x 2)( 2)( x exl 当x1 时,2)( x exle-20,xexl x 2)(在, 1上是单调增函数 故当x2时, xexh x 2)( 4)2( 2 eh0 从而 2 )(xexh x 在,2上是单

5、调增函数, 进而当xe时, 2 )(xexh x 2 )(eeeh e 0 即当xe时, x e 2 x, 当 0e时,)(lnln)( 11111 21aaaaa eaaaeeaaeeef0 且函数)(xf在 1 , 1a ea上的图像不间断, 函数)(xf在 1 , 1a ea上有存在零点, 又当x a 1 时, x a xa xf ) 1 ( )( (知 : 当0a时,)(xf的零点个数为1; 当 0.y6v3ALoS89 ( 当1k时, 求函数fx的单调区间 ; ( 当 1 ,1 2 k 时, 求函数fx在0,k上的最大值M. 【答案】( 当1k时, 2 1 x fxxex,1222

6、xxxx fxexexxexx e 令0fx, 得 1 0x, 2 ln 2x 当x变化时 ,fxfx的变化如下表 : x,000,ln 2 ln 2 ln 2, fx 00 fx 极 大 值 极小 值 9 / 26 右表可知 , 函数fx的递减区间为0,ln 2, 递增区间为,0,ln 2,. ( 1222 xxxx fxexekxxekxx ek, 令0fx, 得 1 0x, 2 ln 2xk, 令ln 2g kkk, 则 11 10 k gk kk ,所以g k在 1 ,1 2 上递增 , 所以ln 21ln 2ln0g ke, 从而ln 2kk, 所以ln 20,kk 所以当0,ln

7、2xk 时,0fx; 当ln 2,xk时,0fx; 所以 3 max0 ,max1,1 k Mffkkek 令 3 11 k h kkek , 则3 k hkk ek,令3 k kek, 则330 k kee 所以k在 1 ,1 2 上递减 , 而 13 130 22 ee 所以存在 0 1 ,1 2 x 使得 0 0x, 且当 0 1 , 2 kx 时,0k, 当 0,1 kx时 ,0k, 所以k在 0 1 , 2 x 上单调递增 , 在 0,1 x上单调递减 . 因为 117 0 228 he ,10h, 所以0h k在 1 ,1 2 上恒成立, 当且仅当1k时取得 “”. 综上 , 函数

8、fx在0,k上的最大值 3 1 k Mkek. 150a. M2ub6vSTnP (1 证明 : 函数( )f x的图像关于直线 1 = 2 x对称 ; (2 若 0 x满足 00 ( ()=f f xx, 但 00 ()f xx, 则称 0 x为函数( )f x的二阶周期点, 如果( )f x有两 个二阶周期点 12 ,x x试确定a的取值范围 ; (3 对于(2中的 12 ,x x和a, 设x3为函数f(f(x的最大值 点,A(x1,f(f(x1,B(x2,f(f(x2,C(x3,0, 记ABC的面积为S(a, 讨论 S(a的单调性 .0YujCfmUCw 【答案】(1证明 : 因为 11

9、 ()(12),()(12) 22 fxaxfxax, 有 11 ()() 22 fxfx, 10 / 26 所以函数( )f x的图像关于直线 1 2 x对称 . (2 解: 当 1 0 2 a时, 有 2 2 4, ( ) 4(1), a x ff x ax 1 , 2 1 . 2 x x 所以( ( )ff xx只有一个解0x, 又(0)0f, 故 0 不是二阶周期点. 当 1 2 a时, 有 , ( ( ) 1, x ff x x 1 , 2 1 . 2 x x 所以( ( )ff xx有解集 1 | 2 x x , 又当 1 2 x时 ,( )f xx, 故 1 | 2 x x 中的

10、所有点都不是二 阶周期点 . 当 1 2 a时, 有 2 2 2 22 1 , 4 4, 11 , 24, 42 ( ( ) 141 2 (1 2 )4, , 24 44, 41 . 4 x a a x x aa x a ff x a aaa x x a aa x a x a 所以( ( )ff xx有四个解 2 22 224 0, 141214 aaa aaa , 又 22 (0)0,() 1212 aa ff aa , 2222 2244 (),() 14141414 aaaa ff aaaa , 故只有 2 22 24 , 1414 aa aa 是( )f x的二阶周期点. 综上所 述,

11、 所求a的取值范围为 1 2 a. (3 由(2 得 2 1222 24 , 1414 aa xx aa , 因为 3 x为函数( )ff x的最大值点 , 所以 3 1 4 x a 或 3 41 4 a x a . 当 3 1 4 x a 时, 2 21 ( ) 4(1 4) a S a a . 求导得 : 22 1212 2()() 22 ( ) (14) aa S a a , 11 / 26 所以当 1 12 (,) 22 a时,( )S a单调递增 , 当 12 (,) 2 a时( )S a单调递减 ; 当 3 41 4 a x a 时 , 2 2 861 ( ) 4(1 4) aa

12、S a a , 求导得 : 2 22 1243 ( ) 2(1 4) aa S a a , 因 1 2 a, 从而有 2 22 1243 ( )0 2(1 4) aa S a a , 所以当 1 (,) 2 a时( )S a单调递增 . 16 确定a的值 ; (2求函数fx的单调区间与极值. 【答案】 (3)26ln 3f 12 / 26 17 指出函数( )f x的单调区间 ; ( 若函数( )fx的图象在点,A B处的切线互相垂直, 且 2 0x, 求 21 xx的最小值 ; ( 若函数( )fx的图象在点,A B处的切线重合 , 求a的取值范围 . 【答案】解:函数fx的单调递减区间为,

13、 1, 单调递增区间为1,0,0, 由导数的几何意义可知, 点 A处的切线斜率为 1 fx, 点 B 处的切线斜率为 2 fx, 故当点A 处 的切线与点B处的切垂直时, 有 12 1fxfx.GMsIasNXkA 当0x时 ,对函数fx求导 , 得22fxx. 因为 12 0xx, 所以 12 22221xx, 所以 12 220, 220xx. 因此 211212 1 222222221 2 xxxxxx 当且仅当 1 22x= 2 22x=1, 即 12 31 22 xx且时等号成立 . 所以函数( )f x的图象在点,A B处的切线互相垂直时, 21 xx的最小值为1 当 12 0xx

14、或 21 0xx时, 12 fxfx, 故 12 0xx. 当 1 0x时, 函数( )f x的图象在点 11 ,xfx 处的切线方程为 2 1111 222yxxaxxx, 即 2 11 22yxxxa 当 2 0x时, 函数( )fx的图象在点 22 ,xfx处的切线方程为 22 2 1 lnyxxx x , 即 2 2 1 ln1yxx x . 两切线重合的充要条件是 1 2 2 21 1 22 ln1 x x xxa 由及 12 0xx知 , 1 10x. 13 / 26 由得 , 22 111 1 1 ln1ln 221 22 axxx x . 设 2 1111 ln 221( 10

15、)h xxxx, 则 11 1 1 20 1 hxx x . 所以 11 10h xx是减函数 . 则 1 0ln 2 1h xh, 所以ln2 1a. 又当 1 ( 1,0)x且趋近于1时, 1 h x无限增大 , 所以a的取值范围是ln 2 1,. 故当函数( )f x的图像在点,A B处的切线重合时,a的取值范围是ln 21, 18 记()0, 4fxa在区间上的最大值为g(),求ag()的表达式 ; (II是否存在a, 使函数( )yf x在区间0, 4内的图像上存在两点, 在该两点处的切线相互垂直? 若存在 , 求a的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 .7EqZcWLZNX 【

16、答案】解: 时，是单调递减的。当 时，是单调递增的。或当 axa ax a ax ax axax ax a ax ax xfa 2, 2 3 1- 2 ,2, 2 3 -1 2 )(, 0 ( 2 1 2 3 1-)0(4,0)(4 a a fxxfa为上单调递减，其最大值在时，由上知，当 上单调递增。上单调递减，在在时，当4,0)(4aaxfa );0()(4, 1(,4, 1(, 2 1 )0( 24 3 -1)4(fagaaf a a f的最大值为时，即当解得：令 )4()( 1 ,0(faga的最大值为时，当 时当 时当 ), 1 (, 2 1 1 , 0(, 24 3 -1 综上，g

17、(a) a a a a (II由 前 知 ,y=f(x的 图 像 是 由 两 段 反 比 例 函 数 的 图 像 组 成 的 . 因 此 , 若 在 图 像 上 存 在 两 点 ),(),( 2211 yxQyxP满足题目要求 , 则 P,Q 分别在两个图像上, 且1)( )( 21 xfxf. lzq7IGf02E 14 / 26 40 2, )2( 3 ,2, )2( 3 )( 2 2 a axa ax a axax ax a xf时当 时或当 不妨设)2)(2(38 ,(),0(, 1 )2( 3 )2( 3 2121 2 2 2 1 axaxaaxax ax a ax a 8 2 42

18、3 0 2 423 34)(20 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2121 xa a ax aaxa ax aaxa xaaxxaxx ) 2 1 ,0(40 3 1 1642 432 4342 1622 242 432 8 21 4230 2 2 2 2 2 2 aaa a aa aa xa xa ax xa ax ax ，且 所以 , 当) 2 1 ,0(a时, 函数( )yf x在区间0, 4内的图像上存在两点, 在该两点处的切线相互垂 直. 19 当2a时, 求曲线( )yf x在点(1, (1)Af处的切线方程 ; (2 求函数( )f x的极值 . 【答案】解: 函数( )f

19、x的定义域为(0,),( )1 a fx x . ( 当2a时,( )2lnf xxx, 2 ( )1(0)fxx x , (1)1,(1)1ff, ( )yf x在点(1, (1)Af处的切线方程为1(1)yx, 即20xy. ( 由( )1,0 axa fxx xx 可知 : 15 / 26 当0a时,( )0fx, 函数( )f x为(0,)上的增函数 , 函数( )f x无极值 ; 当0a时, 由( )0fx, 解得xa; (0, )xa时 ,( )0fx,( ,)xa时,( )0fx ( )f x在xa处取得极小值 , 且极小值为( )lnf aaaa,无极大值 . 综上 : 当0a

20、时 , 函数( )f x无极值 当0a时, 函数( )f x在xa处取得极小值lnaaa, 无极大值 . 20已知函数( )f x= 2 xaxb,( )g x=() x e cxd, 若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点 P(0,2, 且在点 P处有相同的切线42yxNrpoJac3v1 ( 求a,b,c,d的值;( 若x-2 时,( )f x( )kg x, 求k的取值范围 . 【答案】( 由已知得(0)2, (0)2,(0)4,(0)4fgfg, 而( )fx=2xb,( )g x=() x e cxdc, a=4,b=2,c=2,d=2; ( 由( 知 , 2 ( )42f

21、xxx,( )2(1) x g xe x, 设函数( )F x=( )( )kg xf x= 2 2(1)42 x ke xxx(2x, ( )Fx=2(2)24 x kexx=2(2)(1) x xke, 有题设可得(0)F0, 即1k, 令( )Fx=0 得, 1 x=ln k, 2 x=-2, (1 若 2 1ke, 则 -20, 即( )F x在 1 ( 2,)x单 调 递 减 ,在 1 (,)x单 调 递 增 , 故( )F x在x= 1 x取 最 小 值 1 ()F x, 而 1 ()F x= 2 111 2242xxx= 11 (2)x x 0,1nowfTG4KI 当x-2 时

22、,( )F x0, 即( )f x( )kg x恒成立 , (2 若 2 ke, 则( )Fx= 22 2(2)() x exee, 当x-2 时,( )Fx0, ( )F x在(- 2,+单调递增 , 而( 2)F=0, 16 / 26 当x-2 时,( )F x0, 即( )f x( )kg x恒成立 , (3 若 2 ke, 则( 2)F= 2 22ke= 22 2()eke 求函数 1 ( )111(1) r f xxrxx的最小值 ; (II证明 : 11 11 11 11 rr rr r nnnn n rr ; (III设xR, 记x为 不 小 于x的 最 小 整 数 , 例 如2

23、2,4, 3 1 2 . 令 3333 818283125S , 求S的值 .tfnNhnE6e5 ( 参考数据 : 4 3 80344.7, 4 3 81350.5, 4 3 124618.3, 4 3 126631.7 【答案】证明 :(I ( )1 11111 rr fxrxrrx ( )f x在1,0上单减 ,在0,上单增 . min ( )(0)0f xf (II由(I 知 : 当1x时, 1 111 r xrx( 就是伯努利不等式了HbmVN777sL 所证不等式即为: 1 1 1 1 11 11 r rr r rr nrnn nrnn 若2n, 则 1 11 11111 r r

24、rr nrnnnrn n 1 11 1 r r nn 1 11 r r nn , 1 rr nn 1 111 1 r rr nnn , 故式成立 . 17 / 26 若1n, 1 1 11 r rr nrnn显然成立 . 1 1 1 11111 r r rr nrnnnrn n 1 11 1 r r nn 1 11 r r nn , 1 rr nn 1 111 1 r rr nnn , 故式成立 . 综上可得原不等式成立. (III由(II 可知 : 当 * kN时 , 414 44 333 33 33 11 44 kkkkk V7l4jRB8Hs 444 1254 333 3 81 33 1

25、12580210.225 44 k Skk 444125 4 333 3 81 33 112681210.9 44 k Skk 211S 22 若直线y=kx+1 与f (x的反函数的图像相切, 求实数k的值 ; ( 设x0, 讨论曲线y=f (x与曲线 2 (0)ymx m公共点的个数. ( 设a f (x的 反 函 数xxgln)(. 设 直 线y=kx+1 与xxgln)(相 切 与 点 22 0 0 0 00 00 ,x x 1 )(xgk lnx1kx ，则)y，P(xeke. 所以 2 ek ( 当 x 0,m 0 时, 曲线y=f (x与曲线 2 (0)ymx m的公共点个数即方

26、程 2 )(mxxf 根的个数 .mZkklkzaaP 18 / 26 由 222 2)2( )( )(,)( x xxe xh x e xh x e mmxxf xxx 令, 则 h(x 在);(h(2),h(x)2 ,0(上单调递减，这时 h(x).(h(2),h(x),), 2(这时上单调递增在 4 h(2) 2 e . 的极小值即最小值。是h(x)h(2)y 所以对曲线y=f (x与曲线 2 (0)ymxm公共点的个数 , 讨论如下 : 当 m ) 4 ,0( 2 e 时, 有 0 个公共点 ; 当 m= 4 2 e , 有 1 个公共点 ; 当 m ），（ 4 2 e 有 2 个公共

27、点 ; ( 设 )(2 )()2()()2()()( 2 )()( ab bfabafab ab afbfbfaf a abba e ab eabab ab eabeab )(2 )2()2( )(2 )2()2( 令 xxx exexxgxexxxg) 1(1)21(1)( ,0,)2(2)(则. ）上单调递增，在（的导函数0)( 所以,0) 11()( )( xgexexxgxg xx ,且 ,0)0(,), 0()(0)( . 0)0( gxgxgg而上单调递增在，因此 0)(),0(xg上所以在. ,0)2(2)(0baexxxgx x 且时，当 0 )(2 )2()2( a ab e

28、 ab eabab 所以 ab afbfbfaf)()( 2 )()( ,b.AVktR43bpw ( 求 ( )f x 的单调区间、最大值 ; (讨论关于x的方程ln( )xf x根的个数 . 【答案】解:( 2 ( )(1 2 ) x fxx e , 19 / 26 由 ( )0fx , 解得 1 2 x , 当 1 2 x 时, ( ) 0fx , ( )f x 单调递减 所以 , 函数 ( )f x 的单调递增区间是 1 (,) 2 ,单调递减区间是 1 (,) 2 , 最大值为 11 ( ) 22 fc e ( 令 2 ( )ln( )ln x x g xxf xxc e (0,)x

29、 (1 当 (1,)x 时, ln0x , 则 2 ( )ln x x g xxc e , 所以 , 2 2 ( )(21) x xe g xex x 因为 210x , 2 0 x e x 所以 ( ) 0g x 因此 ( )g x 在 (1,) 上单调递增 . (2 当 (0,1)x 时, 当时 , ln0x ,则 2 ( )ln x x g xxc e , 所以 , 2 2 ( )(21) x xe g xex x 因为 22 (1,) x ee , 2 10 x ex , 又2 11x 所以 2 210 x e x x 所以 ( )0g x 因此 ( )g x 在 (0,1) 上单调递

30、减 . 综合 (1(2 可知当 (0,)x 时, 2 ( )(1)g xgec , 当 2 (1)0gec , 即 2 ce 时 , ( )g x 没有零点 , 20 / 26 故关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为0; 当 2 (1)0gec , 即 2 ce 时 , ( )g x 只有一个零点, 故关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为1; 当 2 (1)0gec , 即 2 ce 时 , 当 (1,)x 时 , 由( 知 1 2 1 ( )lnln()ln1 2 x x g xxcxecxc e 要使 ( )0g x , 只需使 ln10xc , 即 1 (,) c x

31、e ; 当 (0,1)x 时, 由( 知 1 2 1 ( )lnln()ln1 2 x x g xxcxecxc e ; 要使 ( )0g x , 只需使 ln10xc , 即 1 (0,) c xe ; 所以当 2 ce 时, ( )g x 有两个零点 , 故关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为2; 综上所述 : 当 2 ce 时, 关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为0; 当 2 ce 时, 关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为1; 当 2 ce 时, 关于 x的方程 ln( )xf x 根的个数为2. 24 求曲线)(xfy在点)1 (,1 (f处的切线方程

32、;(2 当2, 0x时, 求| )(|xf的最大值 . 【答案】解:( 由已知得: 2 ( )363(1)33fxxxafa,且 (1)133331faa,所以所求切线方程为:1(33)(1)yax,即 为:3(1)430axya; ( 由 已 知 得 到 : 2 ( )3633 (2)fxxxax xa, 其 中44a, 当0, 2x 21 / 26 时,(2)0x x, (1 当0a时,( )0fx, 所以( )f x在0, 2x上递减 , 所以 max |( )|max(0),(2)f xff, 因为 max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|( ) |(0)33fafafff

33、xfa; (2 当440a, 即1a时 ,( )0fx恒 成 立 , 所 以( )fx在0, 2x上 递 增 , 所 以 max |( ) |max(0),(2)f xff, 因为 max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|( ) |(2)31fafafff xfa; (3 当440a, 即01a时, 2 12 ( )363011,11fxxxaxa xa, 且 12 02xx, 即 x0 1 (0,)x 1 x 12 (,)x x 2 x 2 (,2)x2 ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 33a 递增极大值递减极小值递 增 31a 所以 12 ()12(1) 1,()1

34、2(1) 1f xaa f xaa, 且 3 1212 ()()20,() ()14(1)0,f xf xf xf xa所以 12 ()|() |f xf x, 所以 max1 |( ) |max(0),(2),()f xfff x; 由 2 (0)(2)333100 3 ffaaa, 所以 ( 当 2 0 3 a时 ,(0)(2)ff, 所以(,1 ,)xa时 ,( )yf x递增 ,(1, )xa 时,( )yf x递减 , 所以 max1 |( ) |max(0),()f xff x, 因为 2 1 (34 ) ()(0)12(1) 1332(1) 1(23 ) 2(1) 1(23 )

35、aa f xfaaaaaa aaa , 又因为 2 0 3 a,所以230,340aa,所以 1 ()(0)0f xf,所以 max1 |( ) |()12(1) 1f xf xaa ( 当 2 1 3 a时,(2)0,(0)0ff,所以 max1 |( ) |max(2),()f xff x,因为 2 1 (34 ) ()(2)12(1) 1312(1) 1(32) 2(1) 1(32) aa f xfaaaaaa aaa , 22 / 26 此时320a, 当 2 1 3 a时,34a是大于零还是小于零不确定, 所以 当 23 34 a时,340a,所以1()|(2) |f xf,所以此时

36、 max1 |( ) |()12(1) 1f xf xaa; 当 3 1 4 a时,340a, 所以 1 () |(2) |f xf, 所以此时 max |( ) |(2)31f xfa 综上所述 : max 33 ,(0) 3 |( ) |12(1) 1,(0) 4 3 31,() 4 aa fxaaa aa . 25 求函数 f(x的单调区间 ; ( 证明 : 对任意的t0, 存在唯一的s, 使( )tf s . ( 设(中所确定的s关于 t的函数为( )sg t , 证明 : 当 2 et时, 有 2ln( )1 5ln2 g t t . 24 / 26 25 / 26 26 / 26 27处的切线 .uEh0U1Yfmh (I 求 l 的方程； (II 证明：除切点(1，0之外，曲线C 在直线 l 的下方 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。