不等式基础必备(修正版).pdf

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1、不等式基 础必备 1、均值定理： QnAnGnHn（当且 仅当 a1 a2.an时取等号） 注解： Q 平方平均 值： Q a1 2 a 2 2 . a n 2 ； n n n A 算术平均值： A a1a2.a n ； nnn Gn几何平均值： Gn n ；a1a2.an Hn调和平均 值：Hn n ；即：n 1 1 . 1 1 1 1 Hn a1 a2 an a1 a2 . an 其中， a1, a2, .an0 例如： a11 ， a22 ，求 Qn、 An、 Gn、 Hn，并比 较它们的大小 . 12 22 A 1 2 解： Q 5 1.6 ； 1.5 ； n 2 2 n 2 Gn 2

2、 1.4 ； Hn 2 2 4 1.3 1 2 2 1 1 2 1 3 1 2 2 可见：有 Qn AnGnHn 从大到小的 顺序是： 平方算 术，几何 调和 2、指数不等式：e x 1 x （当且 仅当 x0 时取等号） 注解：由于要求不等式右 边 1 x 0 ，故： x 1 记忆方法见函数图. 曲线 ye x在x R区间都处在直线 y 1 x 的上 方，仅在 x 0 处相切. 即： e x 1 x ，当 y y e x y 1 x O x 且仅当 x0 时取等号 . 第1页 例如： x 1 时，左边 e x2.718 ，右边1x 2 故： e x 1 x 3、对数不等式：ln xx 1 （

3、当且 仅当 x1 时 取等号） 注解：由于 0 和负数没有 对数，所以： x 0 y y x 1 记忆方法见函数图. y ln x 曲线 y ln x 在x 0区间都处在直线 y x 1 O x 的下方， 仅在 x 1 处相切. 即： ln x x 1 ， 当且仅当 x 1 时取等号 也可以由 e x 1 x 得： e y 1 y 两边取对数： y 1ln y ，即：ln xx 1 例如： x e 时，左边ln xln e1，右边 x 1 e 1 1.718 1 ，故： ln x x 1 著名的对数不等式是： x ln(1 x) x (x 1) 1 x 4 、柯西不等式： (a 2 a 2 .

4、 a 2 )(b2 b 2 . b 2 ) (a b a b . a b ) 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n （当且仅当 a1 a2 . an 时取等号） b b b 1 2 n 注解：设向量 A (a1 , a2 , ., an ) ，向量 B(b1 , b2 , ., bn ) ， 其中： a1, a2, .an为 A 在正交系中的各分量； b1, b2, .bn为 B 正交系中的各分量. 则 2 2 2 2 ， 2 2 2 2 ， A a1 a2 . an B b1 b2 . bn A B a1b1a2b2.anbn 由向量公式： A B A B cosA, B得：

5、A BA B 两边自乘得： 2 2 2 A B ( A B) 第2页 将上面的 结果代入得： (a12a22.an2)(b12b22.bn2) (a1b1a2b2.anbn)2 这正是柯西不等式 . 例如： a11 ， a22 ， b13 ， b24 则： a12 1 ， a224 ， (a12a22)5 ； b129 ， b2216 ， (b12 b22) 25 ； (a12a22)(b12b22) 5 25125 ； a b 3 ， a b 8 ， (a b a b )2 112 121 . 1 1 2 2 1 1 2 2 (a 2 a 2 )(b 2 b 2 ) 125 121 1 2

6、1 2 故： (a 2 a 2 )(b 2 b 2 ) (a b a b )2 1 2 1 2 1 1 2 2 5 、琴生不等式： 注解 ： 设在 x a, b 区间 f ( x) 为上凸函数，如 图 即 f ( x) 的二次 导数 f ( x) 0 ，A f (a) f (b) f ( a b ) B 则：2 2 O a b 图中， A 点为均值的函数值， B 点为函数的均 值. 即：对于上凸函数，函数的均 值不大于均 值的函数 值. 设在 xa, b 区间 f ( x) 为下凸函数，如 图 即 f ( x) 的二次 导数 f ( x) 0 ， f (a) f (b) a b ) B 则：

7、f ( A 2 2 O a b 图中， A 点为均值的函数值， B 点为函数的均 值. 即：对于下凸函数，函数的均 值不小于均 值的函数 值. 第3页 上面的 式，称 为琴生不等式 . 例如：对于函数 f ( x) sin x ，在 x 0, 区间为上凸函数， 因为 f ( x) cos x ， f ( x) sin x 0 （ x 0, ） 故： f ( x) sin x 在 x 0, 区间为上凸函数 . 此时， a 0 ， b ，则 a b A 2 2 f (a) f (0) 0 ， f (b) f ( ) 0 即： f (a) f (b) 0 0 0 ； O B 2 2 而 f ( a

8、b ) f ( ) 1 . 故： f (a) f (b) f ( a b ) 2 2 2 2 例如：二次函数 f ( x) x22x 1 因为 f ( x)2x 2 ， f ( x) 2 0 所以 f ( x) 下凸函数 . 在 x 0, 2 区间有： f (0) 1 ， f (2) 1 ， f (1) 0 f (0) f (2) 0 2 O 1 2 即：1 ， f ( ) f (1) 0 2 2 故： f (0) f (2) f ( 0 2 ) 2 2 其实，在 x R 区间，都满足 f (a) f (b) f ( a b ) 2 2 推广为一般形式 对于 x(a, b) 的上凸函数，即 :

9、 f ( x)0 ，有： f ( x1) f ( x2) . f ( xn) f ( x1 x2. xn ) （ x1 , x2 , ., xn (a, b) ） n n 对于 x(a, b) 的下凸函数，即 : f ( x) 0 ，有： 第4页 f ( x1) f ( x2) . f ( xn) f ( x1 x2. xn ) （ x1 , x2 , ., xn (a, b) ） n n . 这就是琴生不等式 注意不等号的方向与二次导数的方向一致 . 6、伯努利不等式：(1x)n1 nx （x 1 ） 注解：由二项式定理得： (1x)nCn0Cn1 x Cn2 x2.Cnn xn 1 nx

10、g( x) 在 x1 时， g( x) 0 ，即： (1 x)n1nx （仅当n1 时取等 号） 例如：当 x1 ， n 2 时，左 边 (1 x)n(1 1)2 4 ，右 边 1 nx 1 2 1 3 故： (1 x)n1 nx 7、向量不等式： 向量三角形： a b a b 和 a b a b 向量点乘： a ba b 注解： 由 a ， b ， ab 构成的三角形，由三角形两边之和大于第三 边得. 由 a ， b ， ab 构成的三角形，由三角形两边之差小于第三 边得； 由向量 积的公式得： a b a b cosa, ba b ，即： a b a b ； 若 a(a1 , a2 , a

11、3 ) ， b(b1 , b2 , b3 ) ，则： a ba1b1 a2b2a3b3 上面这几种基本不等式的 简单记忆 方法： 均值定理四兄弟， 对数指数 俩伴侣； 柯西琴生伯努利，向量三角点乘积. 上述不等式的解法 统称“ 公式法 ”.凡解证不等式，首先考 虑用上述的不等式，能使用的尽 量使用 . 不能直接使用的，但经过变 形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不 第5页 等式. 二、求不等式的基本方法 1、作差法： 将比 较的两 对象相减后，其差与0比较大小的方法. 注解：最常用的是构建函数法. 例如， 证明 f ( x) g( x) ，则构建 h( x) 2、作商法： 将比较

12、的两正数 对象相比后，其商与1 比较大小的方法 . 注解： 例如， f ( x)0 ， g( x)0 ，证明 f ( x)g( x) . 将其变形为 f ( x) g( x) 3、公式法： 用前面不等式的公式得到结果的方法 . 注解：即均值定理、柯西不等式等 . 4、单调性法： 利用函数在某区 间的单调性得出大小的方法 . 注解： 例如，函数 f ( x) 在区 间 x a, b 单调递 增，则有： f ( x)f (a) ， f ( x) g( x) 与 1 比大小 . f ( x)f (b) . 5、放缩法：由等式的一 边经过 放大或 缩小将等式 变为不等式；或者大者 变得更大，小者 变得

13、更小；从而使 问题得到解决的方法 . 注解： 例如， n 0 ，原本 n2n2，将右 边减小变为 n2n(n 1) 式就是放 缩法的结果. 6、判别式法： 如果一个二次函数 过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有 解的条件是：判 别式0 . 这里就自然出 现了不等式 . 注解：本方法用于 处理二次函数 时，包括二次函数的分式 . 7、换元法： 将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是 简化. 注解：特别是三角 换元法. 因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常 用的三角恒等式必 须熟悉. 第6页 8、裂项相消法： 将一 项式子分裂成两 项或多项，在求和

14、 过程中有部分 项相互抵消，从而 得到简明结果的方法 . 注解： 例如，在放 缩法中的 式， 进一步得： 1 1 1 1 n2 n(n 1) n 1 n n 这样，如果是求和 1 ，则可得结果： 2 k 1 k n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 (1 ) 2 2 2 k 1 n k 1 k k 2 k k 2 k n 其中的 1 1 1 是裂项. n(n 1) n 1 n 在求和 过程中，好多 项相互抵消 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) 1 k 1 n 1n k 2 k 1 2 2 3 n 9、倒序相加法： 将一个多 项求和的式

15、子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法. 注解： 例如，求 Sn1 2 3.n . 其倒序后 为： Snn(n1).21 . 这两个式子按序相加后得： 2Sn(1n)(2n 1). (n1) 其中，每个 圆括号内的 值都是 (n1) ，共有 n 项. 故结果是： 2Snn(n 1) ，即：Sn n(n 2 1) 10、极值法（最 值法）：求出函数 f ( x) 在某个区 间的极值，加上 边界值找出最 值，那么函 数的最 值就是出 现不等式的方法 . 注解：函数 f ( x) 在xR 区间的最大 值是 8 ，则有 f ( x) 8 11、积分法： 积分实际上是求和，是 简化求和运算的一种方法

16、.如果函数是 单调的， 函数 第7页 的每一小区 间内就会出 现不等号，求和后依然存在不等号. 注解：积分法最好要画出 简明图，可以看出 单调 性和不等的量 . 上面这几种求不等式的基本方法简单记忆 ： 作差与 0 比大小，作商与 1 比高下； 套用公式得 结果， 单调放缩有小大； 二次函数 过零点，判 别式与 换元法； 倒序相加来求和，裂项相消去 简化； 极值最值亦可得， 单调积 分好方法 . 更进一步的内容参 见后面附： 不等式中 级水平必 备. 例题 1 已知： a, b 0 ， n N * ，n 2，求证： an b n ( a b )n 2 2 证明： 均值定理：An Gn an(

17、a n bn ) ( a n bn ) . ( a n bn ) n an ( a n bn ).( a n bn ) 2 2 2 n 2 2 n 1 n 1 n 1 n an b n an b n n 1 an b n 即： a (n 1)( ) nan ( ) na( ) n 2 2 2 n an b n an b n n 1 同理： b (n 1)( ) nb( ) n 2 2 由 两式相加得： a n b n n 1 (anbn ) (n 1)(anb n ) n(a b)( ) n 2 an b n a b an bn n 1 an b n a b an b n n 1 即： 2n

18、( ) 2n( )( ) n ，即： ( ) ( )( ) n 2 2 2 2 2 2 即： ( an b n )n ( a b )n ( an b n )n 1 ，即： a n bn ( a b ) n 2 2 2 2 2 琴生不等式 第 8 页 构建函数： f ( x) xn（x 0） 则： f ( x) nxn 1， f ( x) n(n 1)xn 2 0 代入琴生不等式 f (a) f (b) f ( a b ) 得：an b n ( a b )n 2 2 2 2 权方和不等式 权方和不等式：若（ a 0 ， b 0 ， m 0 或 m 1 ） n m 1 n m 1 a k ak 则

19、： k 1 b m m k 1 n k b k k 1 这就是权方和不等式，它是柯西不等式的推论. an bn an bn (a b) n 本题： 2 1 1 1 1 (2n 1 ) n 1 (2n 1 ) n 1 (2n 1 2n 1 ) n 1 (a b)n (a b)n (a b) n (a b)n a b n 1 1 n n n 1 1 n 1 n 1 2 2 (2 2n 1 ) (2 n 1 ) (2n 1 ) 例题 2 不等式x 1 x 2 5 的解集 为（）. 解析 ： 首先将区 间按绝对值 内各项变 号点来分段 . 绝对值 x 1 内的变号点为x1 0 ，即： x11 绝对值

20、x 2 内的变号点为x2 0 ，即： x22 于是，整个 实数区间被这两个点分成了 3 段，即： (, 2) ， 2, 1) ，1,) 在 ( , 2) 区间：x1 0 ， x 20 ， 即： x 1( x1) ， x 2( x2) ， 代入 x 1 x 2 5 得： ( x 1)( x2)5 ， 即： 2x 1 5 ，即： 2x 6 ，即： x 3 x 3 满足区间 ( , 2) 要求，故： x ( , 3 在 2, 1) 区间：x 1 0，x 2 0， 第9 页 即： x 1( x1) ， x 2( x2) 代入 x 1 x 2 5 得： ( x 1)( x2) 5 ， 即： 35 .不满

21、足不等式区 间要求，即本区 间无解 . 在1, ) 区间：x1 0 ， x 20 ， 代入 x 1 x 2 5 得： ( x 1)( x2) 5 ， 即： 2x 1 5 ，即： 2x 4 ，即： x 2 x 2 满足区间1, ) 要求，故： x 2, ) 综上，本题的解集 为 ( , 3 2, ) .本题答案 (, 3 2,) . 附： 不等式中 级水平必 备(修正版 )-tobeenough 一、幂平均不等式 1、幂平均函数： 设 x1, x2, ., xn0 ，则幂 平均函数定 义为： M (0) n x1 x2.xn；(1) 1 x r x r . x r 2 n r M (r) 1 (

22、2) n (1) (2) 这两个式子称 为幂平均函数 . 2、幂平均不等式： 幂平均函数在 实数空间是连续且单调递 增的 . . 利用其增减性得到的不等式称为幂 平均不等式 x r x r . x r 3、在r 0 点的证明： 设函数 f (r) ln 1 2 n n x r ln x x r ln x . x r ln x n 则： f (r) 1 1 2 2 n x1 r x 2 r . xnr x 0 ln x x 0 ln x . x0 ln x n ln( x x .x ) 于是： f (0) 1 1 2 2 n 1 2 n ln n x1x2 .xn 0 . xn 0 n x10

23、x2 即：e f (0) e ln n x1 x2. xn n x1 x2.xn 第 10 页 r x r . xr 1 x r 而： M (r) 1 2 n n 1 r r . xn r f (r) 则： ln M (r) ln x1 x2 r n r 故： ln M (0) lim ln M (r) lim f (r) lim f (r) f (0) f (0) r r 0 r 0 r 0 r 0 则： M (0) e f (0) n x1 x2.xn. (1) 式证毕. 将 代入 得： M (0) 二、 幂平均不等式的推 论 1 、调和平均 值 在 r 1 点：由 (2) 式得： x 1

24、 x 1 . x 1 1 n M ( 1) 1 2 n H n (3) 1 1 1 n . x1 x2 xn 故 r 1 的幂平均值是调和平均 值. 2、几何平均 值 在 r 0 点：由已证明过的 (1) 式： M (0) n x1 x2.xnGn(4) 故 r 0 的幂平均值是几何平均 值. 3、算术平均值 在 r 1 点： 由 (2) 式得： x 1 1 . x 1 1 x 2 1 x 1 x 2 . x n M (1) 1 n A (5) n n n 故 r 1 的幂平均值是算术平均值. 4、平方平均 值 在 r 2 点： 由 (2) 式得： 第11页 x 2 2 . x 2 1 x x

25、 2 x 2 . x 2 2 2 M (2) 1 n n 1 2 n Q (6) n n n 故 r 2 的幂平均值是平方平均 值. 5、推论：根据幂平均函数在 实数空间是连续且单调递 增， r 由1 0 12 可得： HnGnAnQn(7 ) 当且仅当 x1x2.xn时取等号 . 以上是由 幂平均不等式推 导的均值定理，在 处理更高次方 时，即 r2 时， (2) 式仍 适用. 三、加 权不等式 1、加权不等式： 若 1 ,2 , ., n 0, 1 ，且 1 2 . n 1 ，则 i 就是 权重， 当 ak 0 （ k 1, 2, ., n ）时，恒有： 1a1 2a2 . nan a1

26、1 a2 2 . an n(8) 成立. . (8) 式就是加 权不等式 2、对n 2时：此时(8) 式为： 1a12a2 a1 1 a2 2 取 1 2 1 a1 a2 ，上式变为：a1a2 2 2 这是二元的均 值不等式 . 3、对n3 时：此时 (8) 式为： 1a12a23a3 a1 1 a2 2 a3 3 取 123 1 ，上式 变为 ：a1a2a3 3 a1a2a3 33 这是三元的均 值不等式 . 4、评价：此加权不等式 为均值加权，由于 权重的灵活配置，加 权不等式比均 值不 等式 更加灵活，也更加高效 . 四、加 权琴生不等式 第12页 1、琴生不等式： 对于向下凸函数，函数

27、的均值不小于均 值的函数 值.用数学式子表达 为： f ( x1) f ( x2) . f ( xn) f ( x1 x2. xn ) (9) n n 左边是函数的平均 值，右边是平均 值的函数 值. 对于向上凸函数，只需在函数前面加一个负号就可以直接采用 (9) 式. 2、加权琴生不等式： 若函数 f ( x1,x2, ., xn)在a, b区间连续 ，且在 (a, b) 区间为向下凸 函数，若 1 ,2 , ., n 0, 1 ，且 12 . n 1 ，对 于一切 x1, x2, ., xn(a, b) ， 则： 1 f ( x1 ) . n f ( xn ) f ( 1 x1 . n x

28、n ) (10) 当 12 .n 1 时， (10) 式就化为 (9) 式. n . 因此， (10) 式是更普遍的琴生不等式 3、推：设函数 f ，在区间a, b R 时， f 是一个连续函数，则：论 对一切 x, y a, b，恒有： 1 f ( x) 1 f ( y) f ( x y )(11) 2 2 2 对一切 x, y a, b，(0, 1) ，恒有： f ( x) (1 ) f ( y) f ( x (1 ) y) (12) 4、向下凸函数判据： 设函数 f ，在区 间a, bR 时， f 是一个 连续函数 . 如果 f ( x) f ( y) f ( x y ) 成立，则 f

29、为向下凸函数 . 2 2 如果 f ( x) 0 ，则 f 为向下凸函数. 五、柯西不等式 1、柯西不等式： 设 a1, a2, ., an, b1, b2, ., bn为实数，则： (a 2 . a 2 )(b 2 . b 2 ) (a b . a b )2 (13) 1 n 1 n 1 1 n n 这就是著名的柯西不等式 . 2、推论 1 ：设 a1, a2, ., an 0 ， b 1 , b2, ., b n 0 ，则： 第13页 (a1a2 . an )(b1b2 . bn ) a1b1 a2b2 . anbn (14) 3、推论 2 ：设 a1, a2, ., an 0 ， b 1

30、, b2, ., bn 0 ，则： a 2 a2 a 2 (a a 2 . a )2 1 2 . n 1 n (15) b b b b . b b 1 2 n 1 2 n . (15) 式被称 为权方和不等式 4、推论 3 ：设 a1, a2, ., an 0 ， b1, b2, ., bn 0 ，则： a1 a2 . an 1 ( a1 a2 . an )2 (16) b 2 a1 a2. an b 2 b 2 b1 b2 bn 1 2 n 5、推论 4 ：设 a1, a2, ., an 0 ， b 1, b2, ., bn 0 ，则： a1 a2 . an (a1a2 . an )2 (1

31、7 ) b b b a b a b . a b 1 2 n 1 1 2 2 n n 六、伯努利不等式 1 设 x1, x2, ., xn 1 ，则： 、伯努利不等式： (1 x1 )(1 x2 ).(1 xn ) 1 x1x2 . xn (18) 2、当 x1x2, ., xnx 时： (1 x)n1 nx (19) 可见， (19) 式是 (18) 式的特例， (18) 式更普遍. 七、切 线法不等式 即：设限法 x (m, n) ，直线 y ax b 与 f 相切1、切线法：设 f ( x) 为实值 向下凸函数， m, n R ， 于 (m, n) ，假设：在 x (m, n) 区间，始终

32、有： f ( x) ax b (20) 则： (20) 式就称 为切线不等式. 当 f ( x)axb 时，前面加 负号就可以采用(20) 式 2、指数不等式：e xx 1 （x1 ） 函数为： f ( x)e x，为向下凸函数 . 第14页 则： f (0)e 0 1 ， f (0) e0 1 ， 在 x 0 处的切线方程为： y f (0)( x 0) f (0) x 1 故：在 x1 区间，由 (20) 式得： f ( x)x1 ，即： e xx 1(21) (21) 式就是指数不等式 . 3、对数不等式：ln xx 1（x 0 ） 函数为： f ( x)ln x ，为向上凸函数. 设

33、g( x)f ( x) ln x ，则 g( x) 为向下凸函数 . 则： g (1) 1 x x 1 1 ， g(1)ln xx 10 ， 在 x 1 处的切线方程为： y g (1)( x 1) g(1) ( x 1) 故：在 x 0 区间，由 (20) 式得： g( x) ( x1) ， 即： ln x( x1) ，即：ln xx 1(22) (22) 式就是 对数不等式 . 八、定 义符号 对于 3 个对称变量的不等式， 为了简化书写，便于 计算，我 们定义两个简化求和符号 . 定义（ cyclic ）：为单轮换 求和：展开 项数为3. cyc P( x, y, z)P( x, y,

34、z)P( y, z, x)P(z, x, y)(23) cyc (23) 式为单轮换 求和定 义式. 根据定 义： 单个求和：x x y z ； cyc x2 x2 y 2 z2 ； cyc x3 x3 y 3 z3 . cyc 双积求和：xy xy yz zx ； cyc 第15页 x 2 y x 2 y y 2 z z 2 x ； cyc x3 y x 3 y y3 z z3 x ； cyc x3 y 2 x3 y2 y3 z2 z3 x2 . cyc 三积求和：xyz xyz yzx zxy3xyz ； cyc x2 yz x 2 yz y2 zx z2 xy xyz ( x y z )

35、 xyz x ； cyccyc x2 y 2 z x2 y2 z y2 z2 x z2 x2 y xyz ( xy yz zx ) xyz xy ； cyccyc x3 yz x 3 yz y3 zx z3 xy xyz ( x2 y2 z2 ) xyz x 2 . cyccyc 定义（ symmetric ）：为双轮换求和：展开 项数为6. sym P( x, y, z) P( x, y, z) P( y, z, x) P(z, x, y) P( x, z, y) P(z, y, x) P( y, x, z) sym P( x, y, z)P( x, z, y)(24) cyccyc (24

36、) 式为双轮换求和定 义式. 根据定 义： 单个求和：xxy 2( x y z)2 x ； symcyccyccyc x 2x2y2 2( x2 y2 z2 ) 2 x 2 ； symcyccyccyc x3x3y 3 2( x3 y3 z3 ) 2 x 3 . symcyccyccyc 双积求和：xyxyxz 2( xy yz zx)2 xy ； symcyccyccyc x2 y x 2 y x2 z y2 z y2 x z2 x z2 yx2 ( y z)xy( x y) ； symcyccyc x3 y x 3 y x3 z y3 z y3 x z3 x z3 y sym x3( y

37、z )xy( x2 y 2 )x( y 3 z3 ). cyccyc cyc 三积求和：xyz6 xyz . sym x2 yz x 2 yz x2 zy y2 zx y2 xz z2 xy z2 yx 2xyz x ； symcyc x2 y 2 z x2 y2 z x2 z2 y y2 z2 x y2 x2 z z2 x2 y z2 y2 x 2xyz xy ； symcyc 和的平方： 第16页 ( x y z )2x2y2z 2 2( xy yz zx ) 2 x2 2 xy 简写为：x cyc cyc cyc 和的立方： ( x y z )3x3 y 3 z3 3( x2 y y2

38、z z2 x xy2 yz 2 zx 2 ) 6 xyz 3 x3 3 x 2 y 6 xyzx3 3 ( x2 y xyz ) ； 简写为：x cyc sym cycsym cyc 九、舒 尔不等式 1、舒尔不等式： 设 x, y, z0 ，对任何r0 ，恒有： xr( x y)( x z)yr( y z)( y x)z r (z x)(z y)0 简写为：xr( x y)( x z)0(25) cyc (25) 式这就是舒尔不等式 . 2、对 r1 的特例： x3 y 3 z3 3xyz x2 y sym 3 2 y 3 2 y (26) 简写为： x 3xyzx ，或（） x xyzx

39、cyc sym cyc sym 由于： x( x y)( x z) x3 x2 y x2 z xyz 所以： x( x y)( x z)x3x2( y z )xyz cyc cyc cyc cyc x3x2( y z ) 3xyz cycsym 代入 (25) 式得 (26) 式. ( yz x)(z x y)( x y z)xyz(27 ) 由于： ( yz x)(z x y)( x y z) z ( x y)z ( x y)( x y z) z2 ( x y)2 ( x y z ) z 2 ( x y) ( x y)2( x y) z 3 z( x y)2 z 2 x z2 y ( x y

40、)( x2 y2 ) z3 z( x2 2xy y 2 ) z 2 x z2 y ( x3 x2 y y2 x y3 ) z 3 z( x2 2xy y2 ) 第17页 x3x2 y 2xyz cycsym 所以 (27 ) 式为：x3x2 y 2xyz xyz cycsym 即：x33xyzx2 y ，这正是 (26) 式. cycsym 4( x y z )( xy yz zx ) ( x y z )3 9xyz 简写为： 4( x)( xy) ( x)3 9xyz (28) cyc cyc cyc 不等式左 边： 4( x y z)( xy yz zx ) 4( x2 y xyz zx

41、2 xy2 y2 z xyz xyz yz2 z2 x) 4 x 2 y 3xyz sym 不等式右 边： ( x y z )39xyzx 3 3 x2 y 15 xyz cyc sym 代入 (28) 式得： 4 x3 3 x 2 y 15 xyz x 2 y 3xyz sym cyc sym 即： x 2 yx3 3xyz ，即： x3 3xyzx2 y ，这正是 (26) 式. sym cyc cyc sym 2( xy yz zx ) ( x2 y 2 z2 ) 9xyz (29) x y z 简写为： 2 xyx 2 9xyx x cyc cyc cyc 由 ( x y z )2(

42、xy yz zx ) ( x2y 2 z2 ) 9xyz得左边为： 2( x y z )( xy yz zx ) ( x y z )( x2 y 2 z2 ) 2 x2 y 3xyz x3 x2 y sym cyc sym 移项合并得：x33xyzx2 y ，这正是 (26) 式. cycsym x2 y 2 z2 3 3 x2 y2 z 2 2( xy yz zx ) 简写为：x233 x2 y2 z 2 xy(30) cycsym 第18页 由 x y z 3 3 xyz 代入 (29) 式得： 9xyz 9xyz 2( xy yz zx ) ( x2 y 2 z2 ) 3 3 x 2 y

43、 2 z 2 x y z 3 3 xyz 即： x2y 2 z23 3 x2 y 2 z2 2( xy yzzx) . 对于 r1 时，与此 类似推导. 十、缪尔海德不等式 1、缪尔 海德不等式： 设 a1, a2, a3, b1, b2, b3为实 数，且 a1a2a30 ， b1b2 b30 ， a1b1， a1 a2b1b2， a1 a2a3b1b2 b3； 设 x, y, z 0 ，则有： x a 1 y a 2 z a 3 x a 1 z a 2 y a 3 y a 1 x a 2 z a 3 y a 1 z a 2 x a 3 z a 1 x a 2 y a 3 z a 1 y a

44、 2 x a 3 x b 1 y b 2 z b 3xb1 z b 2 y a 3 y b 1 x b 2 z b 3 y b 1 z b 2 x b 3 z b 1 x b 2 y b 3 z b 1 y b 2 x b 3 简 写 为 ：x a 1 y a 2 z a 3 x b 1 y b 2 z b 3 (31) sym sym . 这就是 缪 尔 海德定理 2 x 1 a1 x 2 a 2 .xn a nx1 b 1 x 2 b 2 .x n b n (32) 、推广为一般式： sym sym 十一、赫尔德不等式 1、赫尔德不等式： 设 a1, a2, a3， b1, b2, b3，

45、 c1, c2, c3为正实数， 则有： (a 3 a 3 a 3)(b 3 b 3 b 3 )(c 3 c 3 c 3 ) (a b c a 2 b c 2 a b c )3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 3 3 3 3 a 3 3 b 3 c 3 a b c 3 (33) 简写为：3 3 i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 2 n m a i m n (34) 、推广为一般式： a ij i ij i 1 j 1 j 1 i 1 3、推 ： (1 a1 )(1 a2 ).(1 an ) (1 n )n (35) 论a1a2.an 十二、排序不等式

46、1、正序和： 前面 缪尔 海德不等式的前提就是一个数列的有序化，即数是按从大到小、或 第19页 者从小到大排列， 这种按一定增减性排列的数就是有序数. 当有序数列an和 bn 的增减性相同 时： Sna1b1a2b2.anbn 称为正序和 . 2、反序和： 当有序数列 an是从小到大排列，bn是从大到小排列时： Sna1b1a2b2.anbn 称为反序和 .当然，若an时从大到小排列，bn是从小到大排列 时， Sn也是反序 和. 3、乱序和： 当数列 an无序排列，或者bn无序排列，或者两者都无序排列时： Sna1b1a2b2.anbn 称为乱序和 . 4、排序不等式：正序和 乱序和反序和(3

47、6) (36) 式称 为排序不等式 . 十三、切比雪夫不等式 1、切比雪夫不等式：设 x1, x2, ., xn和 y1, y2, ., yn为任意两 组实数，若xn与 yn的升 降同序 .即： 若 x1 x2. xn，则 y1 y2. yn； 若 x1 x2. xn，则 y1 y 2 . yn. 1 n 1 n 1 n 则：x i y i x y (37 ) i i n i 1 n i 1 n i 1 (37 ) 式称 为切比雪夫不等式 . 练习 第20页 练习 1 设 a, b, c是一个三角形的三 边长，求证： b a cc b a a c b 2 . 练习 2 设 a, b, c 0

48、，求证： b a c c b a a c b 2 3 . 练习 3 设 x, y, z1 ，且 1 x 1 y 1 z 2 ，求 证 ： xy z x 1 y 1 z 1 . 练习 4 设 x1, x2, .,xn为任意实数，证明不等式： x1 x2 xn . n . 1 x1 2 1 x1 2 x 2 2 1 x1 2 . xn 2 练习 5 设 x, y 0，且 x y 2，求证： x2y2( x2y2) 2 . 练习 6 设 a, b 0 ，且a b 1 ，求 证： a2 b2 1 . a 1 b 1 3 练习 7 设 a, b, c 0 ，且abc 1，求证： 1 1 1 1 . a b 1 b c 1 c a 1 练习 8 设 x, y, z 0 ，且 xyz 1 ，求 证： x3 y3 z 3 3 . (1 y)(1 z) (1 z)(1 x) (1 x)(1 y) 4 a b c 3 . 练习 9 设 a,b, c 0，求证： 3 a2 1 b 2 1 c 2 2 1 练习 10 已知 x, y 1 ，求证： x y 1( x y xy ) 1 . 练习 11 对实数 x1,