高中数学竞赛讲义六.pdf

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1、1 / 15 高中数学竞赛讲义= -sin, cos( + =-cos, tan( + =tan, cot( + =cot。=-sin, cos(-=cos, tan(- =-tan, cot(-=cot 。 =sin, cos( -=-cos, tan=( -=-tan, cot( -=-cot。 的性质。单调区间：在区间2k, 2k + 上单调递减，在区间2k - , 2 k 上单调递增。最小正周期为2 。奇偶性：偶函数。 对称性：直线x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时， y取最大值1；当且仅当x=2k - 时， y 取最小值 -1。值域为 -1， 1。

2、这里 k Z.xHAQX74J0X 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+在开区间 (k -, k+ 上为增函数 , 最小正周期为 ，值域为 =cos cossinsin,sin( =sincoscossin。 tan(= Zzz6ZB2Ltk 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, sincos=sin(+sin(-,cossin=sin(+-sin(-,dvzfvkwMI1 coscos=cos(+cos(-,sinsin=-cos(+-

3、cos(- .rqyn14ZNXI 定理 8 倍角公式 :sin2=2sincos, cos2=cos2-sin 2=2cos2-1=1-2sin2, EmxvxOtOco tan2= 定理 9 半角公式 :sin=,cos=, 3 / 15 tan= 定理 10 万能公式 : , , 定理 11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2 0，则取始边在x 轴正半轴，终边经 过点 (a, b的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 .SixE2yXPq5 asin +bcos =sin(+. 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c分别 是角 A，B， C 的对

4、边， R 为 ABC 外接圆半径。6ewMyirQFL 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c 2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。kavU42VRUs 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移 得 y=sin(x+的图象 的图象 (0的图象 (, 0(|A|叫作振幅 的图 象向右平移个单位得到y=Asinx 的图象。y6v3ALoS89 定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1，函数 y=cosx(x0, 的反函数叫反余弦函数，记作y=arcco

5、sx(x-1, 1. 函数 4 / 15 y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +. y=cosx(x 0, 的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, + .M2ub6vSTnP 定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1，方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+( -1 narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ。恒等式： arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.0YujCfmUCw 定理

6、16 若，则 sinx, 试比较 cos(sinx与 sin(cosx的大小。 【解】若，则 cosx1且 cosx-1，所以 cos， 所以 sin(cosx 0,又 00， 所以 cos(sinxsin(cosx. 若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sin cosx=sin(x+cos(-cosx=sin(cosx. 综上，当 x(0, 时，总有 cos(sinx. 例 3 已知 ，为锐角，且x 0，求证： 【证明】若+，则 x0，由 -0 得 cos=sin, 5 / 15 所以 0sin(-=cos, 所以 0cos(-=sin0, 所以1。又 0=cos，所以1， 所以

7、，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨 论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|的最小正周期。 【解】首先， T=2是函数的周期=cosx，所以 co|x|=cosx）；其 次，当且仅当x=k+时， y=0=sin2sin(2cos ，所以 T0=2 。GMsIasNXkA 4三角最值问题。 例 5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】令 sinx=, 则有 y= 因为，所以， 所以1， 所以当，即 x=2k -(k Z时， ymin=0， 6 / 15 当，即 x=2k+(kZ时， ymax=

8、2. 【解法二】因为 y=sinx+, =2 22(a2+b2）， 且|sinx|1，所以 0sinx+2， 所以当=sinx，即 x=2k+(kZ时, ymax=2， 当=-sinx，即 x=2k -(kZ时 , ymin=0。 例 6 设 00, cos0. 所以 sin取得最大 值。 例 7 若 A，B，C 为 ABC 三个内角，试求sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】因为 sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 7 / 15 又因为， 由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin, 所以 sinA+sinB+sinC3sin=, 当 A=B=C=时，

9、 ，求证： an. 【证明】由题设an0，令 an=tanan, an，则 an= 因为，an，所以 an= ，所以 an= 又因为 a0=tana1=1，所以 a0= ，所以。 又因为当 0x，所以 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数 后，证明是很容易的。 6图象变换：y=sinx(xR与 y=Asin(x+(A, , 0. 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍， 然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+的图象；也可以由 y=s

10、inx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变 为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+的图象。7EqZcWLZNX 例 10 例 10 已知 f(x=sin(x+(0, 0 是 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数，求和的值。lzq7IGf02E 【解】由 f(x是偶函数，所以f(-x=f(x，所以 sin(+=sin(-x+，所以 cos sinx=0，对任意xR 成立。zvpgeqJ1hk 又 0 ，解得=， 9 / 15 因为 f(x图象关于对称，所以=0。 取 x=0，得=0，所以 sin 所以(kZ，即=(2k+1

11、 (kZ. 又0，取 k=0 时，此时f(x=sin(2x+在0，上是减函数； 取 k=1 时，=2，此时 f(x=sin(2x+在0，上是减函数； 取 k=2 时，此时 f(x=sin(x+在0，上不是单调函数， 综上，=或 2。 7三角公式的应用。 例 11 已知 sin( -=，sin( +=- ，且 - ，+，求 sin2,cos2 的值。 NrpoJac3v1 【解】因为 - ，所以 cos( -= - 又因为 + ，所以 cos( += 所以 sin2=sin( +(-= sin( + cos( -+ cos( + sin( -=,1nowfTG4KI cos2=cos( +-(

12、- = cos( +cos( - + sin( +sin( - = -1.fjnFLDa5Zo 例 12 已知 ABC 的三个内角A，B，C 成等差数列，且，试 求的值。 【解】因为 A=120 0-C，所以 cos =cos(60 0 -C， 10 / 15 又由于 =， 所以=0。 解得或。 又0，所以。 例 13 求证： tan20 +4cos70 . 【解】tan20 +4cos70 =+4sin20 三、基础训练题 1已知锐角x 的终边上一点A 的坐标为 (2sin3, -2cos3，则 x 的弧度数为 _。tfnNhnE6e5 2适合-2cscx的角的集合为_。 3给出下列命题：0

13、 ，则 为第一或第二象限角；0. 上述四个命 题中，正确的命题有_个。HbmVN777sL 4已知 sinx+cosx=(x(0, ，则 cotx=_。 11 / 15 5简谐振动x1=Asin和 x2=Bsin叠加后得到的合振动是 x=_。 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1=5sin(x-2=5cos(x+3=5cos(x-4，则1，2， 3，4分别是第 _象限角。 V7l4jRB8Hs 7满足 sin(sinx+x=cos(cosx-x的锐角 x 共有 _个。 8已知，则=_。 9=_。 10cot15 cos25 cot35 cot85 =_。 11已知 , (0, ,

14、tan, sin( + = ，求 cos 的值。 12已知函数f(x=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。 四、高考水平训练题 1已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c0，当扇形面积最大 时， a=_.83lcPA59W9 2. 函数 f(x=2sinx(sinx+cosx的单调递减区间是_. 3. 函数的值域为 _. 4. 方程=0 的实根个数为 _. 5. 若 sina+cosa=tana, a，则_a(1+tan2 (1+tan44 (1+ tan45 =_. 7. 若 0=cos(x-cosx的所有锐角x. 13. 已知 f(x=(kA0, kZ, 且 AR，的

15、最大值和最小 值； 0, k=-1，求 f(x的单调区间； 至少取得一次最大值和一次最小值。mZkklkzaaP 五、联赛一试水平训练题=的一个最大值点与一个最小值点，则 实数 k 的取值范围是_.AVktR43bpw 3f(=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为 _. 4方程 sinx+cosx+a=0 在=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是_. 6设 sina0cosa, 且 sincos，则的取值范围是 _. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0， 中有 _个解 . 8若 x, yR, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y的最小值为 _.2MiJTy0dTT

16、9若 0sin m (1-sin_1- sin 2m+1 .gIiSpiue7A 10cot70 +4cos70 =_. 11. 在方程组中消去 x, y，求出关于a, b, c 的关系式。 12已知 ， ，且 cos 2+cos2+cos2 =1 ，求 tan tan tan 的最小值。 13 / 15 13关于 x, y的方程组有唯一一组解，且sin , sin , sin 互不 相等，求sin+sin+sin 的值。uEh0U1Yfmh 14求满足等式sinxy=sinx+siny 的所有实数对=asinax+cosax(a0在一个最小正周期长的区间上 的图象与函数g(x=的图象所围成的

17、封闭图形的面积是_.IAg9qLsgBX 2若，则 y=tan-tan+cos的最大值是 _. 3在 ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a 2+9b2-19c2=0，则 =_.WwghWvVhPE 4设 f(x=x 2- x, = arcsin , = arctan, = arccos, =arccot, 将 f( , f( , f( , f( 从小到大排列为_.asfpsfpi4k 5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 _.ooeyYZTjj1

18、6在锐角 ABC 中， cosA=cos sin , cosB=cos sin , cosC=cos sin ，则 tan tan tan =_. BkeGuInkxI 7已知矩形的两边长分别为tan和 1+cos(0，且对任何xR, f(x=sinx 2+ x+cos0，则此矩形面积的取值范围是_.PgdO0sRlMo 8在锐角 ABC 中， sinA+sinB+sinC 的取值范围是_. 9已知当x0, 1，不等式x 2cos -x(1-x+(1- x 2sin 0 恒成立，则的取值范围是 _.3cdXwckm15 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，

19、则 cos 2x+ cos2y+ cos 2z=_. h8c52WOngM 14 / 15 11已知 a1, a2, ,an是 n个实常数，考虑关于 x 的函数： f(x=cos(a1+x+ cos(a2+x +cos(an+x。求证：若实数x1, x2满足 f(x1=f(x2=0，则存在整数m，使得 x2- x1=m. v4bdyGious 12在 ABC 中，已知，求证：此三角形中有一个内角 为。 13求证：对任意自然数n, 均有 |sin1|+|sin2|+|sin(3n-1|+|sin3n|.J0bm4qMpJ9 六、联赛二试水平训练题 1已知 x0, y0, 且 x+y sin(x+

20、y+w( sinx-siny+siny0.bR9C6TJscw 4已知 ， ， 为锐角，且cos 2+cos2+cos2 =1 ，求证； 2+(x+asin +asin2pN9LBDdtrd 6. 设 n, m 都是正整数，并且nm，求证：对一切x都有 2|sin n x-cos nx| 3|sin nx-cosn x|.DJ8T7nHuGT 7在 ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 8求的有的实数a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2 na, 中的每一项均为负数。 QF81D7bvUA 15 / 15 9已知i ，tan 1tan2tann=2, nN +, 若对任意一组满足上述条件的 1，2，n都有 cos1+cos2+cosn ，求 的最小值 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。