《高中数学论文：巧解外接球的问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学论文：巧解外接球的问题.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 / 7 快速解决巧解外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面 体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是 高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问 题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元 素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作 用. 一、直接法 (公式法 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 1、构造正方体 例 5 rqyn14ZNXI 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则
2、其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.EmxvxOtOco 设其外接球的半径为，则有. 故其外接球的表面积. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就 3 / 7 可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径 .设其外接球的半径为，则有.SixE2yXPq5 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为 ，几何体的外接球直径为体对角线长即 【例题】：在四面体
3、中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。6ewMyirQFL 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为的长 即： 所以 球的表面积为 例 6 y6v3ALoS89 例 72006 年山东高考题）在等腰梯形中， 为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则 三棱锥的外接球的体积为 ） .M2ub6vSTnP A. B. C. D. 解析： 如图 3）因为，所以 ，即三棱锥为正四面体，至此，这与例 6 就完全相同了，故选C. 例 8 2008 年浙江高考题）已知球的面上四点A、B、C、 D， ，则球的体
4、积等于 . 解读：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快 便可找到球的直径，由于，联想长方体中的相应线段关 系，构造如图4 所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.如图 4） 0YujCfmUCw 2、构造长方体 例 92008 年安徽高考题）已知点A、 B、C、D 在同一个球面上， ，若，则球的体积是 . 解读：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O 为球心， 为半径，要求B、C 两点间的球面距离，只要求出即可，在 图 3 图 4 5 / 7 中，求出，所以，故 B、C 两点间的球
5、面距离是.如图 5） eUts8ZQVRd 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三.多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面 积是 A. B. C. D. 解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得. .这个球的表面积是.选 C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 四.寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都 在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图 1 所 示.由球的截面的性质，可得. 又，球
6、心必在所在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在中，由，得. . 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截 面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球 半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问 题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.sQsAEJkW5T 五 .确定球心位置法 例 5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角 6 / 7 ，则四面体的外接球的体积为 A. B. C.
7、 D. 解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知 .点到四面体的四个顶点的 距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2 所示 .外接球的半径.故 .选 C.GMsIasNXkA 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且， ，,求球的体积。 解：且，, 因为所以知 所以所以可得图形为： 在中斜边为 在中斜边为 取斜边的中点， 在中 7 / 7 在中 所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点， 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。