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1、二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题备考策略 主标题： 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词： 不等式，二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，备考策略 难度： 2 重要程度： 5 内容： 1. 画出不等式组 3 0 05 x yx yx 表示的平面区域? 思维规律解题 考点 1 二元一次不等式(组)与平面区域 例 1. 若实数xy，满足不等式组 10 220 220 xy xy xy ，则点),(yxP所组成的平面区域的面积 为 【答案】 2 3 【解析】不等式组 10 220 220
2、xy xy xy 表示的平面区域如图中的三角形ABC（包括边界） ，解 方程组 022 022 yx yx 可得 )2,2(A ，对022yx，令0x得1y，即)1 ,0(B，对 022yx，令0y得1x，即)0, 1(C， 所以点),(yxP所组成的平面区域的面积为 2 3 11 2 1 2)11 ( 2 1 例 2. 若实数x，y满足约束条件4 2 yx xy xyk ，已知点, x y所表示的平面区域为三角形， 则实数k的取值范围为 【答案】,2 【解析】作出可行域如图所示： 由 4 yx xy 得： 2 2 x y ，所以点的坐标为2,2，要使所表示的平面区域为三角形， 则点必须在直线
3、2xyk的下方，所以2 22k，即2k，所以实数k的取值范 围是,2 考点 2 线性规划中目标函数的最值问题 例 3. 已知实数x，y满足 10 220 220. xy xy xy ， ，则3xy的最小值为（） A4 B3 C0 D1 【答案】 A 【解析】不等式组 10 220 220 xy xy xy 表示的平面区域如图中的三角形ABC（包括边界） ，解 方程组 022 022 yx yx 可得)2,2(A，平移直线03yx，当经过点)2,2(A时yx3取得 最小值4322. 例 4. 已知实数yx,满足不等式组 0 02 1 ykx yx x ，若目标函数yxz2仅在点),1 ( k处取
4、 得最小值，则实数k 的取值范围是（） A),2 B),2( C), 1 D), 1( 【答案】 B 【解析】作出可行域如图所示： 作直线 0: l20xy，再作一组平行于 0 l的直线:l2xyz，当直线l经过点C时， 2zxy取得最小值，因为目标函数2zxy仅在点C 1,k处取得最小值，所以直线 0kxy的斜率大于直线2xyz的斜率，即2k， 所以实数k的取值范围是 2, 考点 3 线性规划在实际问题中的应用 例 5. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40 个工 时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120 台，且冰箱至少生产20 台. 已知生产这些家电产 品
5、每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称空调器彩电冰箱 工时 2 1 3 1 4 1 产值 / 千元432 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元 为单位） 解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱yx120台，产值为z 千元， 则依题意得2402)120(234yxyxyxz，（4 分） 且 x，y 满足 .0 ,0 ,20120 ,40)120( 4 1 3 1 2 1 y x yx yxyx 即 .0 , 0 ,100 ,1203 y x yx yx （8 分） 可行域如图所示. （ 10 分） 解方程组 ,100 ,1203 yx y
6、x 得 .90 ,10 y x 即 M （10， 90）. （11 分） 让目标函数表示的直线zyx2402在可行域上平移， 可得2402yxz在 M （10，90）处取得最大值，且 35024090102 max z（千元） . （13 分） 120 100 10040Ox y M yx=100- yx=120-3 答：每周应生产空调器10 台，彩电90 台，冰箱20 台，才能使产值最高，最高产值是350 千元 . （14 分） 考点 4 求非线性目标函数的最大（小）值 例 6.已知实数 、满足24 2 yx xy y , 若存在、满足 222 (1)(1)(0)xyrr， 则的最小值为（）
7、 A1 B C D 【答案】 B 【解析】可行域为直线,24,2yx xyy围成的三角形区域，, x y到点1,1的 距离最小值为2，所以r的最小值为2 xyxy r 2 4 2 3 5 2 3 例 7. 设不等式组 1 230 x xy yx 所表示的平面区域是 1，平面区域2与1关于直线 3490xy对称，对于 1中的任意一点A与2中的任意一点 B AB，的最小值等于 （） A.2 B.4 C. 12 5 D. 28 5 【答案】 B 【解析】由题意知，所求的AB的最小值，即为区域 1中的点到直线 3490xy的距 离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可 得 点11 ，到 直 线3490xy的 距 离 最 小 ， 故AB的 最 小 值 为 3 14 19 24 5 ，所以选B. 例 8. 已知 x ，y满足条件 50 0 3 xy xy x ，则 2 3 xy z x 的最小值（） A 2 3 B 1 3 C 13 6 D 4 【答案】 B 【解析】根据题意，画出不等式组所表示的区域，即可行域，而 21 =1+ 33 xyy z xx ， 3 1 x y 可看成区域内一点),(yx与点)1 ,3(P连线的斜率，从而可知， 3 2 33 )3(1 ) 3 1 ( minPC k x y ， 3 1 3 2 1 min z，故选 B