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1、初中数学竞赛辅导讲座19 讲(全套) 第一讲有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等） 。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有 A、B 两点， A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3， 那么满足条件的点B 与原点 O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将 99 98 , 1999 1998 , 98 97 , 1998 1997 这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。 提示 1：四个数都加上 1 不改变大小顺序； 提示 2：先考
2、虑其相反数的大小顺序； 提示 3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数。试确定三个 数 cabab 1 , 1 , 1 的大小关系。 分析：由点 B 在 A 右边，知 b-a 0，而 A、B 都在原点左边，故ab 0,又 c 1 0,故要比 较 cabab 1 , 1 , 1 的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数 a与 b(b a)之间找出无数个有理数。 提示： P= n ab a（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂
3、的问题变得 简单。 例5、 在数 1、2、3、1990前添上“ +”和“ ”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零： n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算1 2 3 2000 2001 2002 提示： 1、逆序相加法。 2、求和公式： S=(首项+末项) 项数 2。 例7、 计算 1+2 3 4+5+6 7 8+9+ 2000+2001+2002 提示：仿例 5，造零。结论： 2003。 例8、 计算 999 9991999999 个个个nnn 提示 1：凑整法，并运用技巧： 1999=10 n
4、+999，999=10n 1。 例9、 计算 ) 2002 1 3 1 2 1 () 2001 1 3 1 2 1 1() 2001 1 3 1 2 1 () 2002 1 3 1 2 1 1 ( 提示：字母代数，整体化：令 2001 1 3 1 2 1 , 2001 1 3 1 2 1 1BA，则 例10、计算 （1） 10099 1 32 1 21 1 ； （2） 10098 1 42 1 31 1 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1） nmmn nm11 ；（2） 1 11 )1( 1 nnnn ； （3）) 11 ( 1 )( 1 mnnmmnn ；（4） )2)(1( 1 )1
5、( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn 。 例 11 计算 n321 1 321 1 21 1 1（n 为自然数） 例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示： 1、 裂项相消：2 n=2n+1 2 n； 2、 错项相减：令 S=1+2+22+23+22000， 则 S=2S S=22001 1。 例 13、比较 2000 2 2000 16 4 8 3 4 2 2 1 S与 2 的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝 对 值 一、知识要点 1、绝对值的代数意义； 2、绝对值的几何意义：（1）|a| 、 （2）|a-b|； 3、绝对值的性质： （1）|-a|
6、=|a|, |a| 0 , |a| a；（2）|a| 2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a|b| ；（4） | | | b a b a （b 0） ； 4、绝对值方程： （1） 最简单的绝对值方程 |x|=a的解： 0 00 0 a a aa x 无解 （2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键： （1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。 三、例题示范 例 1 已知 a 0，化简 |2a-|a| 。 提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。 例 2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a ，则 a+b= ，满足条件的 a 有几个？ 例 3
7、已知 a、b、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a| 。 例 4 已知 a、b、c 是有理数，且 a+b+c=0，abc 0，求 |c ba b ac a cb 的值。 注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。 例 5 已知： 例 6 已知 3 x，化简： m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。 例 7 已知|x+5|+|x-2|=7，求 x 的取值范围。 提示： 1、根轴法； 2、几何法。 例 8 是否存在数 x,使|x+3|-|x-2| 7。 提示： 1、根轴法； 2、几何法。 例 9 m 为有理数，求 |m-2|
8、+|m-4|+|m-6|+|m-8| 的最小值。 提示：结合几何图形，就m 所处的四种位置讨论。 结论：最小值为8。 例 10（北京市 1989年高一数学竞赛题）设x 是实数， 且 f （x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于 _6_. 例 11 （1986 年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15. 对于满足 px15 的 x 的来说， T 的最小值是多少？ 解由已知条件可得： T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x. 当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当
9、 x=15 时，T=30-15=15，故 T 的最小 值是 15. 例 12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0. 试证这两个数都不在-1 与-之间 . 证设两数为 a、b，则 |a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b|-|a|=|a|（|b|-1 ）. ab0，|a| 0，|b| 0. |b| -1=| a b 0，|b| 1. 同理可证 |a| 1. a、b 都不在 -1 与 1 之间. 例 13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别 有电脑 15、7、11、3、14 台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二 小、二小给三
10、小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3 台，即为 乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？ 例 14 解方程 （1）|3x-1|=8 （2） |x-2|-1|= 2 1 （3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6. 例 15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解 . 分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0 ，分别得 x=-3,x=1,-3,1 将全部实数分成3 段：x-3 或-3x1 或 x1，然后在每一段上去绝对值符号解方程， 例如，当 x-3 时，|x+3|=-x-
11、3,|x-1|=1-x,故方程化为 -x-3+x-1=x+1 ，x=-5，x=-5 满足 x-3 ，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解， 这种方法叫做“零点”分段法，x=-3 ，x=1 叫做零点 . 第三讲一次方程（组） 一、基础知识 1、方程的定义：含有未知数的等式。 2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程：ax=b。 其解的情况： 。，ba ；，ba a b x，a 无解时当 解这任意数时当 有唯一解时当 0,0 0 ;0 5、一次方程组
12、：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元 一次方程组，三元一次方程组。 6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。 二、例题示范 例1、 解方程186)4 3 2 ( 5 1 7 1 9 1x 例2、 关于 x 的方程 6 2 3 2bkxakx 中，a,b为定值，无论 k 为何值时，方程的解总 是 1，求 a、b 的值。 提示：用赋值法，对k 赋以某一值后求之。 例 3、（第 36 届美国中学数学竞赛题）设a，ab，b是实数，且a和 a不为零，如果 方程 ax+b=0的解小于 a / x+b=0 的解
13、，求 a，ab，b应满足的条件。 例 4 解关于 x 的方程1)1( 2 axxa. 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a 进行讨论 例 5 k为何值时，方程9x-3=kx+14 有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k 进行讨论。 例 6 （1982 年天津初中数学竞赛题） 已知关于 x， y 的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+52a=0， 当 a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证 明对任何 a 值它都能使方程成立吗？ 分析依题意，即要证明存在一组与a 无关的 x，y 的值，使等式 (a-1)x+(a+
14、2)y+5-2a=0 恒成立，令 a 取两个特殊值（如a=1 或 a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方 程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法 例 7（1989年上海初一试题），方程 并且 abc0，那么 x_ 提示： 1、去分母求解； 2、将 3 改写为 b b a a c c 。 例 8（第 4 届美国数学邀请赛试题）若x1,x 2,x3,x4和 x5满足下列方程组： 962 482 242 122 62 54321 4321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx x 确定 3x4+
15、2x5的值. 说明：整体代换方法是一种重要的解题策略. 例 9 解方程组 )3(3 )2(2 )1(1 mmzyx mzmyx mzymx 提示：仿例 8，注意就 m讨论。 例 10 如果方程组 0253 032 myx myx （1）的解是方程 2x-y=4（2）的解，求 m 的值。 提示： 1、从（ 1）中解出 x,y 用 m 表示，再代入（ 2）求 m ； 2、在（ 1）中用消元法消去m 再与（ 2）联立求出 x,y，再代入（ 1）求 m。 例 11 如果方程 ax+by+cz=d 对一切 x,y,z 都成立，求 a,b,c,d的值。 提示：赋值法。 例 12 解方程组 3 32 xz
16、xzzy x 。 提示：引进新未知数 第四讲列方程（组）解应用题 一、知识要点 1、列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等. 2、列方程解应用题要领： （1） 善于将生活语言代数化； （2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3） 善于寻找数量间的等量关系。 二、例题示范 1、合理设立未知元 例 1 一群男女学生若干人， 如果女生走了 15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后， 男生又走了 45 人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？ 提示： （1）直接设元 （2）列方程组： 例 2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时
17、候重合？ 例 3 甲、乙、丙、丁四个孩子共有45 本书，如果甲减 2 本，乙加 2 本，丙增加一倍， 丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？ 提示： （1）设四个孩子的书一样多时每人有x 本书，列方程； （2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t 本书，列方程组： 例 4 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送， 先由 A给 B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数， 依同法再由 B给 A、C现有豆数， 后由 C给 A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64 粒，问原来三人各有豆多少粒？ 提示：用列表法分析数量关系。 例 5
18、 如果某一年的 5 月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的 5 月 4 日是星期几？ 提示：间接设元 .设第一个星期五的日期为x， 例 6 甲、乙两人分别从A、B 两地相向匀速前进，第一次相遇在距A 点 700 米处，然 后继续前进，甲到B 地，乙到 A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点 400 米处，求 A、B 两地间的距离是多少米？ 提示：直接设元。 例 7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率。 提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为： 商品利润率 =（商品售价商品进价）商品进价 1
19、00%。 例 8 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时 12 千米的速 度下坡后，以每小时9 千米的速度走平路到B地，共用 55 分钟. 回来时，他以每小时8 千米的速度通过平路后， 以每小时 4 千米的速度上坡， 从 B地到 A地共用 2 1 1小时，求 A、 B两地相距多少千米？ 提示： 1 （选间接元）设坡路长x 千米 2 选直接元辅以间接元）设坡路长为x 千米， A、B两地相距 y 千米 3 （选间接元）设下坡需x 小时，上坡需 y 小时， 2、设立辅助未知数 例 9 （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8% ，而售价保持不变，那么 他的利润（
20、按进货价而定）可由目前的x% 增加到 (x+10)%，x 等于多少？ 提示：引入辅助元进货价M ，则 0.92M是打折扣的价格， x 是利润，以百分比表示， 那么写出售货价（固定不变）的等式。 例 10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和 n 千克，且含铜百分数 不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起 熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？ 提示：采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x 千克，并设 m千克的铜合金中 含铜百分数为 q1，n 千克的铜合金中含铜百分数为q2。 例 11 有一片牧场，草每天都在匀速生长 ( 草
21、每天增长量相等 ) 如果放牧 24 头牛，则 6 天 吃完牧草；如果放牧21头牛，则 8 天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草. 提示设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16 头牛 z 天吃完牧草，再设牧场原有 草量是 a. 布列含参方程组。 例 12 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40 秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15 秒 钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间? 提示：要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/ 秒，因此可以选择V 作参 数 3、方程与不等式结合 例 13 数学测验中共有20 道选择题。评分方法是：每答对一
22、题给6 分，答错一题扣2 分，不答不给分。有一个学生只有一道题没答，并且他的成绩在60 分以上，那么他至 少答对多少题？ 提示：利用方程、不等式组成的混合组求解。 第五讲整数指数 一、知识要点 1、定义： an n aaaa 个 （n 2,n 为自然数） 2、整数指数幂的运算法则： （1） nmnm aaa （2） 0, 1 0,1 0, anm a anm anma aaa mn nm nmnm （3） mnnm aa )(， nnn baab)(，)0()(b b a b a n n n 3、规定： a 0=1(a 0) a p= p a 1 (a 0,p 是自然数 )。 4、当 a，m
23、为正整数时， a m 的末位数字的规律： 记 m=4p+q，q=1,2,3 之一，则 qp a 4 的末位数字与 q a的末位数字相同。 二、例题示范 例 1、计算 (1) 5523(2) (3a 2b3c)( 5a3bc2) (3) (3a 2b3c)3 (4) (15a 2b3c) ( 5a3bc2) 例 2、求 100310021001 1373的末位数字。 提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。 例 3、12 3021377 是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。 提示：运用规律2。 例4、 求证：)5432( |5 2000199919981997 。 提示：考虑
24、能被5 整除的数的特征，并结合规律2。 例 5、已知 n 是正整数，且 x2n=2，求(3x3n)24(x2)2n的值。 提示：将所求表达式用x2n表示出来。 例 6、求方程 (y+x) 1949 +(z+x) 1999+(x+y)2002=2 的整数解。 提示： |y+z|,|z+x|,|x+y| 都不超过 1，分情况讨论。 例 7、若 n 为自然数，求证： 10|(n 1985 n 1949 )。 提示： n 的末位数字对乘方的次数呈现以4 为周期的循环。 例8、 若 yx yx9292，求 x 和 y。 结论： x=5,y=2。 例 9、对任意自然数 n 和 k，试证： n4+24k+2
25、是合数。 提示： n4+24k+2=(n2+22k+1)2(2n 2k)2。 例 10、对任意有理数 x，等式 ax 4x+b+5=0 成立，求 (a+b) 2003. 第六讲整式的运算 一、知识要点 1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整式的乘除： （1） 记号 f(x)，f(a)； （2） 多项式长除法； （3） 余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数 r 等于 f(a)； （4） 因数定理： (x-a)|f(x)f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减 例1、 已知单项式 0.25xbyc与单项式0.125x m-1y2n-1 的
26、和为 0.625axnym，求 abc的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。 例2、 已知 A=3x 2n 8x n+axn+1 bx n-1， B=2xn+1 ax n 3x 2n+2bxn-1， A B 中 xn+1 项的系数为 3， x n-1 项的系数为12，求 3A 2B。 例3、 已知 a b=5，ab= 1，求(2a+3b 2ab) (a+4b+ab) (3ab+2b 2a)的值。 提示：先化简，再求值。 例4、 化简： x 2x+3x 4x+5x +2001x 2002x。 例5、 已知 x=2002，化简 |4x 2 5x+9| 4|x 2+2x+2|+3x+7。 提
27、示：先去掉绝对值，再化简求值。 例 6、5 个数 1, 2, 3,1,2 中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三 个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5 个数之积为 n5，求 n1+n2+n3+n4+n5的 值。 例 7、 王老板承包了一个养鱼场， 第一年产鱼 m 千克， 预计第二年产鱼量增长率为200%， 以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1） 写出第五年的预计产鱼量； （2） 由于环境污染， 实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？比 预计产鱼量少多少？ 2、整式的乘除 例 1、已知 f(x)=2x+3 ，求 f(2),f(-1),f(
28、a),f(x 2),f(f(x) 。 例 2、计算： (2x+1) (3x2) (6x 4) (4x+2) 长除法与综合除法： 一个一元多项式f(x) 除以另一个多项式g(x)，存在下列关系： f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x) 的次数小于除式g(x)的次数。当r(x)=0 时，称 f(x) 能被 g(x)整 除。 例 3、 （1）用竖式计算 (x 3 3x+4x+5)(x 2)。 （2）用综合除法计算上例。 （3）记 f(x)= x 3 3x+4x+5, 计算 f(2)，并考察f(2) 与上面所计算得出的余数之间的关系。 例 4、证明余数定理和因数定理。 证：设多项式f(
29、x) 除以所得的商式为q(x)，余数为r，则有 f(x)=(xb)q(x)+r ，将 x=b 代入等式的两边，得 f(b)=(bb)q(b)+r ，故 r=f(b) 。 特别地，当r=0 时， f(x)= (xb)q(x)，即 f(x) 有因式 (x b)，或称 f(x) 能被(x b)整除。 例 5、证明多项式f(x)=x 4 5x 3 7x 2+15x 4 能被 x 1整除。 例 6、多项式2x 4 3x 3 +ax 2 +7x+b 能被 x 2 +x 2 整除，求a,b 的值。 提示： （1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。 例 7、若 3x 3 x=1，求 f(x)=9x
30、 4+12x3 3x 2 7x+2001 的值。 提示：用长除法，从f(x) 中化出3x3 x 1。 例 8、多项式f(x) 除以 (x 1)和(x 2)所得的余数分别为3 和 5，求 f(x) 除以 (x 1)(x 2)所得的余式。 提示：设f(x)= (x1)(x 2)q(x)+(ax+b) ，由 f(1)和 f(2) 的值推出。 例 9、试确定a,b 的值，使f(x)= 2x 4 3x 3+ax2+5x+b 能被 (x+1)( x 2)整除。 第七讲乘法公式 一、知识要点 1、乘法公式 平方差公式： (a+b)(a b)=a 2 b 2 完全平方公式： (a b) 2=a2 2ab+b
31、2 立方和公式： (a+b)(a 2 ab+b 2)=a3+b3 立方差公式： (a b)( a2+ab+b 2)=a3 b 3 2、乘法公式的推广 （1）(a+b)(a b)=a 2 b 2 的推广 由(a+b)(a b)=a 2 b 2, (a b)( a2+ab+b2)=a3 b 3，猜想： (a b)( )=a 4 b 4 (a b)( )=a 5 b 5 (a b)( )=a n b n 特别地，当 a=1,b=q时，(1 q)( )=1 q n 从而导出等比数列的求和公式。 （2）多项式的平方 由(a b)2=a 2 2ab+b 2，推出 (a+b+c) 2=( ) , (a+b+
32、c+d) 2=( ) 猜想： (a1+a2+an)=( )。 当其中出现负号时如何处理？ （3）二项式 (a+b)n的展开式 一个二项式的 n 次方展开有 n+1 项； 字母 a按降幂排列，字母b 按升幂排列，每项的次数都是n； 各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。 二、乘法公式的应用 例 1、运用公式计算 (1) (3a+4b)(3a 4b) (2) (3a+4b) 2 例 2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。 （1）(2x y)2(2x+y) 2 (2)0.01a 2 49b 2 (3)25(a 2b) 64(b+2a) 例 3、填空 (1) x 2+y2 2xy=( ) 2 (2
33、) x 4 2x 2y2+y4=( ) 2 (3) 49m 2+14m+1=( ) 2 (4) 64a 2 16a(x+y)+(x+y) 2 (5) 若 m 2n2+A+4=(mn+2)2,则 A= ; (6) 已知 ax 2 6x+1=(ax+b) 2，则 a= ,b= ; (7) 已知 x 2+2(m 3)x+16 是完全平方式，则 m= . 例 4、计算 (1) 20000 2 19999 20001 (2) 37 2+26 37+132 (3) 31.5 2 3 31.5+1.5 2 100。 提示： （1）19999=20000 1 例 5、计算（ 1）(1+2)(1+22)(1+2
34、4)(1+28)(1+216)(1+232)+1。 （2）(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)(1+32n)。 例 6、已知 x+y=10,x 3+y3=100,求 x2+y2。 提示： （1）由 x3+y 3=(x+y)3 3xy(x+y)，x 2+y2=(x+y)2 2xy 导出； （2）将 x+y=10，平方，立方可解。 例 7、已知3 1 a a，求 2 2 1 a a， 3 3 1 a a， 4 4 1 a a的值。 例 8、已知 a+b=1,a 2+b2=2，求 a3+b3， a4+b4， a7+b7 的值。 提示：由 (a3+b3)(a 4+b4)= a7+b7+a3b
35、4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)导出 a7+b7 的值。 例 9、已知 a+b+c=0,a 2+b2+c2=1 求下列各式的值： （1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4 例 10、已知 a,b,c,d为正有理数，且满足a 4+b4+c4+d4=4abcd，求证 a=b=c=d。 提示：用配方法。 例 11、已知 x,y,z 是有理数，且满足x=6 3y,x+3y 2z2=0,求 x2y+z的值。 例 12、计算 1949219502+195121952 2+20012 2002 2。 第八讲不等式 一、知识要点 1、不等式的主要性质： （1）不等式的两边加上（或减去）同一
36、个数或整式，所得不等式与原不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向. （4）若 AB，BC，则 AC； （5）若 AB，CD，则 A+B C+D ； （6）若 AB，CD，则 A CB D 。 2、比较两个数的大小的常用方法： （1） 比差法：若 A B0，则 AB； （2） 比商法：若 B A 1，当 A、B同正时， AB；A、B同负时， AB； （3） 倒数法：若 A、B同号，且 A 1 B 1 ，则 AB 。 3、一元一次不等式： （1） 基本形式： axb (a0); （2）
37、一元一次不等式的解： 当 a0 时，x a b , 当 a0 时，x a b . 二、例题示范 例 1、已知 a0,1b0, 则 a,ab,ab 2 之间的大小关系如何？ 例 2、满足 3 12 2 2xx 的 x 中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？ 例 3、一个一元一次不等式组的解是2 x 3，试写出两个这样的不等式组。 例 4、若 x+y+z=30,3+y z=50,x,y,z均为非负数，求 M=5x+4y+2z的最大值和最小值。 提示：将 y,z 用 x 表示，利用 x,y,z非负，转化为解关于x 的不等式组。 例 5、设 a,b,c是不全相等的实数，那么a 2+b2+c2与 a
38、b+bc+ca的大小关系如何？ 例 6、已知 a,b 为常数，若 ax+b0 的解集是 x 3 1 ，求 bx a0 的解集。 提示：如何确定a,b 的正负性？ 例 7、解关于 x 的不等式 ax 2x 3a (a1)。 例 8、解不等式 |x2|+|x+1| 3 提示：去掉绝对值，讨论。 例 9、 （1）比较两个分数与 n n 19 99 (n 为正整数 ) 的大小； （2）从上面两个数的大小关系，你发现了什么规律？ （3）根据你自己确定的 n n 19 99 与 19 99 之间正整数的个数来确定相应的正整数n 的个 数。 例 10 （上海 1989年初二竞赛题） 如果关于 x 的不等式
39、(2a-b)x+a-5b 0 的解为 x 7 10 ， 那么关于 x 的不等式 axb 的解是多少？ 例 11、已知不等式1 2 5x 2 2ax 的角是 x 2 1 的一部分，试求 a 的取值范围。 例 12、设整数 a,b 满足 a 2+b2+2ab+3b,求 a,b 的值。 提示：将原不等式两边同乘以4 并整理得 (2a-b) 2+3(b-2)24 (1) ， 又因为 a,b 都是整数。故 (2a-b) 2+3(b-2)2 3。若(b-2) 2 1，则 3(b-2) 2 3，这不可能。 故 0 (b-2) 21，从而 b=2.将 b=2代入（ 1）得(a-1)21, 故(a-1)2=0，
40、 a=1.所以 a=1,b=2. 第九讲恒等变形 一、知识要点 1、代数式的恒等：两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的值都相等，则称 这两个代数式恒等。 2、恒等变形：通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形。 二、例题示范 例 1、已知 a+b+c=2,a 2+b2+c2=8,求 ab+bc+ca的值。 例 2、已知 y=ax5+bx3+cx+d，当 x=0 时，y= 3；当 x= 5 时,y=9。当 x=5 时，求 y 的值。 提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质。 例 3、若 14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2，求 a:b:c。 提
41、示：用配方法。 注：配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用有关性质来解题. 例 4、求证 (a2+b2+c2)(m2+n2+k2) (am+bn+ck)2=(an bm)2+(bk cn)2+cm ak)2 提示：配方。 例 5、求证： 2(a b)(a c)+2(b c)(b a)+2(c a)(c b)=(b c)2+(c a)2+(a b)2。 提示： 1、两边化简。 2、左边配方。 例 6、设 x+2z=3y,试判断 x29y2+4z2+4xz 的值是不是定值，如果是定值，求出它的值； 否则，请说明理由。 例 7、已知 a+b+c=3, a 2+b2+c2=3，求 a2002
42、+b 2002 +c 2002 的值。 例 8、证明：对于任何四个连续自然数的积与1 的和一定是某个整数的平方。 提示：配方。 例 9 、已知 a 2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0, 求 ab+cd 的值。 提示：根据条件，利用1 乘任何数不变进行恒等变形。 例 10、（1984 年重庆初中竞赛题）设x、y、z 为实数，且 (y-z) 2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 例 11、设 a+b+c=3m,求证:(m-a) 3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 第十讲代数式的值 一、知
43、识要点 求代数式的值的主要方法： 1、利用特殊值； 2、先化简代数式，后代入求值； 3、化简条件后代入代数式求值； 4、同时化简代数式和条件式再代入求值； 5、整体代入法； 6、换元法。 二、例题示范 例 1、已知 a 为有理数，且 a 3+a2+a+1=0,求 1+a+a2+a3+a2001的值。 提示：整体代入法。 例 2 （迎春杯初中一年级第八届试题）若 例 3、已知 a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。 提示：将条件式变形后代入化简。 例 4、当 a= 0.2,b= 0.04 时，求代数式)( 4 1 )16.0( 72 71 )( 73 72 2 babab
44、a值。 例 5、已知 x2+4x=1,求代数式 x5+6x4+7x34x28x+1 的值。 提示：利用多项式除法及x 2+4x 1=0。 例 6、(1987 年北京初二数学竞赛题 ) 如果 a 是 x 2-3x+1=0 的根, 试求 的值. 例 7、已知 x,y,z 是有理数，且 x=8 y,z2=xy 16，求 x,y,z 的值。 提示：配方，利用几个非负数之和为零，则各个非负数都是零。 例 8、已知 x,y,z,w 满足方程组 52 52 72 22 wzyx wzyx wzyx wzyx 求 xyzw 的值。 例 9、已知 a+b+c=3,(a 1)3+(b 1)3+(c 1)3=0,且
45、 a=2,求 a2+b2+c2的值。 例 10 若求 x+y+z 的值. 提示令 例 11（x-3 ） 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则 a+b+c+d+e+f=_, b+c+d+e=_. 例 12、若 a,c,d是整数， b 是正整数，且 a+b=c,b+c=d,c+d=a ，求 a+b+c+d的最大值。 （1991 年全国初中联赛题） 第十一讲直线与线段 一、知识要点 1、直线： （1）直线可向两方无限延伸； （2）过两点有且只有一条直线。 2、射线： 3、线段：直线上两点和它们之间的部分称为线段，线段有两个端点。两点间的所有连 线中，线段最短。 4、三角形两边之和大于第三
46、边。 二、例题示范 例 1、如图，请用线段a,b,c来表示 x。 练习 1、线段 AB 长 5cm，在 AB 上取点 C，若 AC 长 x，BC 长为 y，则 y 与 x 的关系 式是_ ，x 取值范围是 _。在下面空处作出简图。 练习2、线段PC=1cm，延长PC 至 D，若 CD=x，PD=y，则 y 与 x 的关系式是 _ ，x 取值范围是 _。在下面空处作出简图。 例 2、在一条直线上，如果给定n 个点，那么以它们为端点的线段共有多少条？若从左 至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2,an-1，求所有线段的长度之和。 提示：长度之和S=a1(n-1) 1+a2(n-2) 2+an-1
47、1 (n-1) 例 3、如图，点 C、D、E 是线段 AB 的四等分点，点F、G 是线段 AB 的三等侵占为， 已知 AB=12cm，求 CF+DF+EF 的长。 例 4、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种，求证：必存在同颜色的三个点，使 其中一点是另两点连线段的中点。 提示：用构造法。并且用5 个点来保证满足条件的点。 例 5、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D，请在直线上找出一点P， 使 PA+PB+PC+PD最小。 例 6、直线上分布着 2002 个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。 试求至少可以得出多少个互不重合的中点。 提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着n 个点，结论为 2n 3。 例 7、点 A、B 在直线 MN 的两侧，请在 MN 上求一点 P，使 PA+PB 为最小。