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1、 精品资料23.2 解直角三角形及其应用第4课时 坡度问题教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题.【难点】理解坡度的概念和有关术语.教学过程一、创设情境,导入新知师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.教师多媒体课件出示:例:
2、如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32和28.求路基下底的宽.(精确到0.1米)师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡面角,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).学生思考.二、问题探究1.回忆旧知识.师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.学生看课本.老师作图:师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.2.练习.教师
3、多媒体课件出示:(1)一斜坡的坡角为30,则它的坡度为;(2)坡度通常写成1的形式.如果一个坡度为12.5,则这个坡角为;(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=,AD=;若AB=10,CD=4,i=,则h=.师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.教师找学生回答,然后集体订正.【答案】(1)(2)m2048(3)4350.6三、例题讲解【例1】如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏
4、东30的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.解:过点C作CDAB于点D,设CD=x n mile. 在RtACD中,AD=.在RtBCD中,BD=.由AB=AD-BD,得AB=-=20,即-=20,解方程,得x=1010.答:这船继续向东航行是安全的.【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,ADBC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=11.6,斜坡CD的坡度i=12.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角和
5、(精确到1)的值.解:过点C作CDAD于点F,得CF=BE,EF=BC,A=,D=.BE=5.8 m,=,=,AE=1.65.8=9.28(m),DF=2.55.8=14.5(m).AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.533.6(m).由tan=i=,tan=i=,得32,21.答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32和21.【例3】已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为.求证:tan=k.证明:由是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图,设x1
6、x2,则y1y2.过点P1、P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R,得P2P1R=.在RtP2P1R中,tan=.P1、P2都在直线y=kx+b上,y1=kx1+b,y2=kx2+b.由-,得y2-y1=k(x2-x1),k=.即tan=k.四、巩固练习1.为抗洪需修筑一坡度为34的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为,那么的正切值为()A.B.C.D.【答案】D2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=12,则斜坡AB的长为米.【答案】63.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面
7、的坡度为.【答案】124.如图,斜坡AC的坡度为1,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.【答案】设旗杆高为x,在RtADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE的比),B=60,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:1.732)【答案】52.0师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你们还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.