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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理章末分层突破自我校对圆心角定理圆内接四边形性质定理圆的切线弦切角定理相交弦定理切线长定理与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类：圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决(2015湖南高考)如图21，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：图2
2、1(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.【精彩点拨】(1)在四边形OMEN中，由OMAB，ONCD证明MENNOM180；(2)四边形OMEN的对角互补，O，M，E，N四点共圆，利用割线定理证明【规范解答】(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.再练一题1如图22所示，EB，EC是O的两条切线，B，C是切点，A，D是O上两点，如果E46，DCF32，求BAD.图22【解】法
3、一：EB，EC是O的切线，ECEB.又E46，ECB67.DCF32，BCD180673281.BADBCD180，BAD1808199.法二：连接AC，如图所示，EB，EC是O的切线，EBEC.又E46，ECB67.EF切O于点C，BACECB67，CADDCF32，BADBACDAC673299.圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形是中学数学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中涉及圆内接四边形的判定和性质较多如图23，已知ABC内接于O，AD平分BAC，交O于点D，过D作O的切线与AC的延长线交于点E.图23(1)求证：BCDE；(2)若AB3，BD2，求CE的长(3)在题设条件下
4、，为使BDEC是平行四边形，ABC应满足怎样的条件？(不要求证明)【规范解答】(1)证明：连接CD.因为DE是O的切线，所以CDECBD.因为CBDDAC，所以CDEDAC.因为AD平分BAC，所以BADDAC.所以CDEBAD.因为BADBCD，所以CDEBCD.所以BCDE.(2)因为AD平分BAC，BCDCBD.所以BDCD2.因为BCDE，所以EACBADB.又由(1)中已证得CDEBAD，所以ABDDCE.所以.所以CE.(3)BAC2ACB.再练一题2如图24，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BDBC，CECA，AD，BE相交于点P.图24求证：(1)四点P，D
5、，C，E共圆；(2)APCP.【证明】(1)在ABC中，由BDBC，CECA知，ABDBCE，即ADBBEC，即ADCBEC180，所以四点P，D，C，E共圆(2)如图，连接DE.在CDE中，CD2CE，ACD60，由余弦定理知CED90.由四点P，D，C，E共圆知，DPCDEC，所以APCP.与圆有关的比例线段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题过程中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论如图25，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E
6、，F，C四点共圆图25(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【规范解答】(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA.由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90.因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积
7、的比值为.再练一题3ABC中，ABAC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是O的切线交AC于M(如图26)求证：DC2ACCM.图26【证明】连接AD，OD.AB是直径，ADBC.OAOD，BADODA.又ABAC，ADBC，BADCAD，则CADODA，ODAC.DM是O切线，ODDM.则DMAC，DC2ACCM.运动变化思想运动变化思想要求用运动变化的眼光去看问题，识别静中的动、动中的静的特殊情况，在解题时，抓住不变的规律去解决动中的结论如图27(1)，已知O1，O2外切于点P，A是O1上一点，直线AC切O2于点C，交O1于点B，直线AP交O2于点D.图27(1)求证：PC平分B
8、PD；(2)如图27(2)，将“O1，O2外切于点P”改为“O1，O2内切于点P”，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并证明你的结论【规范解答】(1)证明：如图(3)，可过点P作两圆的公切线PM，交AC于点M，则BPMA，MPCMCP.BPCBPMMPCAMCPCPD，PC平分BPD.(2)(1)中的结论仍然成立证明如下：如图(4)所示，过点P作两圆的公切线PM，则MPBA，MPCBCP.BPCMPCMPBBCPACPA.PC平分BPD.再练一题4. (2015陕西高考)如图28，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.图28(1)证明：CBDDBA；(2)若AD
9、3DC，BC，求O的直径【解】(1)证明：因为DE为O直径，所以BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，则3.又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.1. (2015天津高考)如图29，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()图29A.B3C.D.【解析】由题意可设AMMNNBx，由圆的相交弦定理得即解得x2，NE.【答案】A2. (
10、2015重庆高考)如图210，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_.图210【解析】由题意设EDx，则CE2x.PCPDPA2，3(33x)36，x3.AEEBCEED，EB2.【答案】23(2015广东高考)如图211，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB4，CE2，则AD_.图211【解析】由CE2BEAE得(2)2BE(4BE)，解得BE2.连接OC(图略)，则OC2，OCDE.又ADDE，ADOC，则，即AD3.【答案】34(2015
11、湖北高考)如图212，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则_.图212【解析】由切割线定理，得PA2PBPC.由弦切角定理，得PABPCA.又APBCPA，故ABPCAP，则.【答案】5(2015全国卷)如图213，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点图213(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积【解】(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF，从
12、而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为2(2)2.章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在O中，AOB84，则弦AB所对的圆周角是() A42B138C84D42或138【解析】弦AB所对的弧的
13、度数为84或276，故其所对的圆周角为42或138.【答案】D2如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB16，CD10，则四边形的周长为()图1A50 B52C54D56【解析】由切线长定理知CDABADBC.ABCD26，ABBCCDAD52.【答案】B3如图2，O经过O1的圆心，ADB，ACB，则与之间的关系是()图2A B1802C(90) D(180)【解析】如图所示，分别连接AO1，BO1.根据圆内接四边形的性质定理，可得AO1BADB180，AO1B180ADB180.ACBAO1B，(180)，故选D.【答案】D4.如图3所示，A50，ABC60，BD是O的直径，则AEB等于()图
14、3A70 B110C90D120【解析】由题意知，DA50，BCD90，CBD905040，又ACB180506070，AEBCBDACB4070110.【答案】B5如图4，ABC内接于O，ABAC，直线MN切O于点C，BEMN交AC于点E，若AB6，BC4，则AE()图4A. B.C1D.【解析】MN为O的切线，BCMA.MNBE，BCMEBC，AEBC.又ACBBCE，ABCBEC，.ABAC，BEBC，.EC，AE6.【答案】A6如图5，已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆，A80，则BIC等于()图5A80B100C120D130【解析】A80，ABCACB100.IBCABC，
15、ICBACB，IBCICB(ABCACB)50，BIC18050130.【答案】D7如图6，已知O的直径与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC5，则O的半径为()图6A. B.C10D5【解析】连接OC，则有COP60，OCPC，PO2CO，CO5，即CO.【答案】A8(2016焦作模拟)如图7，已知AB是O的直径，CDAB于P，EF是过点P的弦，已知AB10，PA2，PE5，则CD和EF分别为()图7A8和7B7和C7和8D8和【解析】PAPBPC2，PC216，PC4，CD8.PEPFPC2，PF，EF5.【答案】D9如图8，已知AT切O于T.若AT6，AE3，A
16、D4，DE2，则BC()图8A3 B4C6D8【解析】AT为O的切线，AT2ADAC.AT6，AD4，AC9.ADEB，EADCAB，EADCAB，即，BC6.【答案】C10如图9，圆内接ABC的外角ACH的平分线与圆交于D点，DPAC，垂足是P，DHBH，垂足是H，下列结论：CHCP；APBH；DH为圆的切线其中一定成立的是()图9A BCD【解析】显然可由PCDHCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以BADHCDACD，即，故成立；而，连接BD，则ADBD，DAPDBH，所以RtAPDRtBHD，得APBH，成立；对于，不能判定DH是圆的切线，故应选D.【答案】D11.如图10
17、，在O中，MN为直径，点A在O上，且AON60，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，O的半径为1，则APBP的最小值为()图10A1 B.C.1D.【解析】如图，过点B作BBMN，交O于点B，连接AB交MN于点P，即点P在点P处时，APBP最小易知B与B点关于MN对称，依题意AON60，则BONBON30，所以AOB90，AB.故PAPB的最小值为，故选D.【答案】D12如图11所示，PT与O切于T，CT是O的直径，PBA是割线，与O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD2，AD3，BD4，那么PB()图11A10 B20C5D8【解析】根据相交弦定理，可得ADDBCDDT，342DT
18、，解得DT6，圆的半径r4，AB7，不妨设PBx，则PAx7，根据切割线定理，可得PT2PBPA，PT2x(x7)，在RtPTD中，DT2PT2PD2，36PT2(x4)2，36x(x7)(x4)2，解得x20.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.图12【解析】由题意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.【答案】514如图13，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P
19、，PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_图13【解析】由相交弦定理得PAPBPCPD.又PAPB2，PD1，则PC4，CDPCPD5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，OE.【答案】15.如图14，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_图14【解析】因为ABAC，所以ABCC.因为AE与圆相切，所以EABC.所以ABCEAB，所以AEBC.又因为ACDE，所以四边形AEBC是平行四边形由切割线定理可得AE2EBED，于是62EB(EB5)，所以EB4(负值
20、舍去)，因此AC4，BC6.又因为AFCDFB，所以，解得CF.【答案】16(2016北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC4，PB8，则tanCOP_，OBC的面积是_图15【解析】因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2PAPB，所以428PA，解得PA2.设圆的半径为R，则22R8，解得R3.在直角OCP中，tanCOP，sinCOP.所以sinBOCsinCOP.所以OBC的面积是R2sinBOC32.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图16，AB是O的直径，弦BD，
21、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)BEDEACCECE2；(2)E，F，C，B四点共圆图16【证明】(1)连接CD，由圆周角性质可知ECDEBA.故ABECDE，BECEAEDE，BEDEACCECE2.(2)AB是O的直径，所以ECB90，CDBE.EFBF，FDBE，E，F，C，B四点与点D等距，E，F，C，B四点共圆18(本小题满分12分)(2016全国卷)如图17，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点图17(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD.【解】(1)连接PB，BC，则
22、BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因为，所以PBAPCB.又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)证明：因为PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上又O也在CD的垂直平分线上，因此OGCD.19(本小题满分12分)如图18，已知PE切O于点E，割线PBA交O于A，B两点，APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：图18(1)CEDE；(2).【证明】(1)PE切
23、O于点E，ABEP.PC平分APE，ACPABEPDPE.ECDACPA，EDCBEPDPE，ECDEDC，CEDE.(2)PDBEDC，EDCECD，PDBPCE，BPDEPC，PBDPEC，.同理PDEPCA，.DECE，.20(本小题满分12分)如图19，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：图19(1)CDBC；(2)BCDGBD.【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB
24、，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB.又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.21(本小题满分12分)(2016全国卷)如图20，OAB是等腰三角形，AOB120，以O为圆心，OA为半径作圆图20(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.【证明】(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切(2)因为OA2OD，所以O
25、不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.22(本小题满分12分)如图21，已知CP为O的直径，AC切O于点C，AB切O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD2BP.图21求证：(1)PC3BP；(2)ACPC.【证明】(1)BD是O的切线，BPC是O的割线，BD2BPBC.BD2BP，4BP2BPBC，4BPBC.BCBPPC.4BPBPPC，PC3BP.(2)连接DO.AB切O于点D，AC切O于点C，ODBACB90.BB，ODBACB，AC2DO，又PC2DO，ACPC.最新精品资料