《局部调整法解决数学竞赛题的策略-杭州学军中学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《局部调整法解决数学竞赛题的策略-杭州学军中学.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 数学竞赛中的局部调整策略 郑日锋（浙江省杭州学军中学 310012 ） （本文发表于中等数学 2004年第 4 期） 局部调整法，就是为了解决某个问题，从与问题有实质联系的较宽要求开始， 然后充分利用已 获得的结果作为基础，逐步加强要求，逐步逼近目标，直至最后彻底解决问题的一种解题方法。 这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用，本文举例阐述应用这种方法解题的基本策 略。 例 1 已知锐角三角形ABC中，.CBA在ABC的内部（包括边界）上找一点P，使 得P到三边的距离之和最小。 分析 先对P在ABC边界上时，研究点P在什么位置时，P到三边距离之和最小， 然后再对P在ABC的内部时进行研
2、究。 解 （一）先研究P在ABC的边界上时 （1）若P在边BC上 如图 1，记ABC的顶点CBA,对应的边分别是 cba,，边cba,上的高分别为 cba hhh,， P到边bc,的距离分别为yx,，连PA。 cba hhhcbaCBA, 由面积关系得bybxbyxchb b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ，0(xyxhb当时取等号） 。 即P在点B处时，P到三边距离之和最小。 （2）若P在边AC上，P在点A处时，P到三边距离之和最小。 （3）若P在边AB上，P在点A处时，P到三边距离之和最小。 综合（1） ， （2） ， （3） ，当点P在点A处时，P到三边距离 之和最小。 （二）
3、再研究P在ABC内部时 如图 2，过P作BC的平行线交AB于E，交AC A B C E P F H x y a h z G 图 2 A B C P x y b h 图 1 2 于F，固定x，由（一）知， .EHEGzyx让x变化，有 a hEHEG， a hzyx. 综合（一） （二）知，当点P在A处时， zyx 最小。 评注 本题先对P在边界上进行调整，获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整， 逐 步逼近目标，最终得到问题的整体解决。 例 2 已知正实数 n xxx, 21 ，满足1 21n xxx， 求证：1 1 1 1 1 1 1 21n xnxnxn . 分析 从特殊情形入手，1
4、 21n xxx时不等式成立，然后研究一般情况，通过局 部调整解决问题。 证明 当1 21n xxx时不等式成立。 当 n xxx, 21 中不全为 1 时，其中必有一个属于（ 0，1） ，一个属于), 1(，据对称性， 不妨设 nn xxxxx 211 ,10. （1）若 1 1 1 1 1 1 1 nxnxn n , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 132 n n nnnxnxnxn n n 个 1 1 1 1 1 1 1 21n xnxnxn 。 （2）若 1 1 1 1 1 1 1 nxnxn n ，即 2 1 ) 1(nxx n 3 作第一次调整：令)12
5、(, 1 / 1 / 1 njxxxxxx jjnn 下证 n xnxnxn1 1 1 1 1 1 21 / 2 / 1 1 1 1 1 1 1 n xnxnxn . 即证 nn xxnnxnxn 11 1 1 11 1 1 1 1 1 . 令 xn xf 1 1 )(, 则 )(1()1( )1(2 1 1 1 1 )()( 2 zynyzn zyn znyn zfyf. 记 / 1 2 1 2 )1() 1( nn xxnxxnb，)(1( 1n xxnm， )(1( / 1 / n xxnm 1 1 ),1(2),1)(1( 1 n cnaxxn n ， 的左边=,)()( 1 mb c
6、ma xfxf n 右边=,)()( / / / 1 mb cma xfxf n 0) 1)(1)(1()1)(1( 111 / nnn xxnxxxxnmm，mm / 。 )1( 1 1 )1(20)( 1 2/ / / n xxn n nbcammbca mb cma mb cma 2 1 2 1 2 1 ) 1(,) 1(.)1(nxxnxxnxx nnn 成立。 n xnxnxn1 1 1 1 1 1 21 / 2 / 1 1 1 1 1 1 1 n xnxnxn = / 2 1 1 1 11 n xnxnn ，其中.1 / 3 / 2n xxx 再继续调整，可得 n xnxnxn1
7、1 1 1 1 1 21 1 111 个n nnn . 4 评注 本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为 n 1 ，应注意每次调整应使各变量的积 为 1，而且放大。 例 3 在 1，2，3，1989每个数前添上”号”或“， 使其代数和为最小的非负数， 并写出算式（全俄 1998年数学竞赛题） 解 先证其代数和为奇数。 从简单情形考虑：全添上“ +” ，此时1989995198921是奇数。 对一般情况，只要将若干个“ +”调整为”即可“。 baba与奇偶性相同，故每次调整，其代数和的奇偶性不变，即总和为奇数。 而1)1989198819871986()9876()5432(1， 因此这个
8、最小值是 1。 评注在不断调整，变化过程中，挖掘不变量（或不变性质）使问题迎刃而解。 例 4 空间有 2003个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的 30 组，在任何三个 不同的组中各取一点为顶点作三角形，问要使这种三角形的总数为最大，各组的点数应为多少？ 分析 设分成的 30 组的点数分别是 3021 ,nnn，其中)30,2, 1(ini 互不相等，则满足 题设的三角形的总数为 kj kji i nnnS 301 。问题转化为在,2003 3021 nnn其中 )30, 2, 1(ini 为互不相等的正整数的条件下，求S的最大值。 解 设分成的 30 组的点数分别是 3021
9、,nnn，其中)30, 2, 1(ini 互不相等，则满足题 设的三角形的总数为 kj kji i nnnS 301 。由对称性，不妨设 3021 nnn， （1）在 3021 ,nnn中，让 21,n n变化，其余各组的点数不变，因为 21 nn的值不变，注 意到 kj kji ik kj j k k nnnnnnnnnnS 303303 2 303 121 )(， 要使S的值最大， 只需 21n n 5 的值最大。如果3 12 nn，令1 1 / 1 nn，, 1 2 / 2 nn则 21 / 2 / 1 nnnn， 21122121 / 2 / 1 1) 1)(1(nnnnnnnnnn，
10、S的值变大。因此要使S的值最大，对 任何291i都有 2 1ii nn。 （2）若 3021 ,nnn中，使2 1ii nn（291i）的i的值不少于 2个，不妨设 2,2,291 11jjii nnnnji。类似（1） ，令1, 1 1 / 1 / jjii nnnn，其余 各组的点数不变，则S的值变大。因此要使S的值最大，至多有一个i使2 1ii nn。 （3）若对任何291i，1 1ii nn。设这 30组的点数分别是,13,14 mm 15,m，则20031530m，这是不可能的。 综上，要使S的值最大，对任何291i在 ii nn 1 中恰有一个为 2，其余均为 1。设这 30 组的
11、点数分别是30, 1, 1, 1,mtmtmmm（)291t，则 2003)30()1()1()1(mtmtmmm， 即200346530tm，解得.22,52 tm所以当分成的 30 组的点数分别是 52，53， 73，75，82时，能使三角形的总数最大。 评注 解决本题的关键是把多元函数S视为二元函数，通过调整两个变量的取值，使S的值最 大，最终获得问题的解决。 以上例题说明，局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手， 寻求问题的局部 解决，通过逐步调整，获得问题的全部解决，体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、 多元不等式的证明及操作性问题时常用 . 以下问题供读者练习: 1.求和为 2003的正整数之积的最大值。 （答案： 667 32） 2 设DCBA,为空间四点， 连线段CDBDBCADACAB,中至多有一条长度大于 1， 6 试求这 6条线段长度之和的最大值。 （1985年美国数学竞赛题） （答案：35）