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1、- 1 - 湖南省 2013 届高考压轴卷数学文试题 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4 页。时间 120 分钟，满分150 分。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4考生必须保
2、持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、 选择题 (本大题共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请将所选答案填在答题卡中对应位置) 1.复数 2 3 1 i i 的共轭复数是 A34iB 3+4i C34iD 3+4i 2已知全集RU，集合21 x Ax， 2 340Bx xx，则AB （） A0x xB10x xx或C4x xD14xx 3.已知数列 n a满足: )(12,1 * 11 Nnaaa nn ，则 12 a（） A.2 10-1 B.211-1 C.212-1 D.213-1 4.对xR
3、 ， “关于x 的不等式f(x)0有解”等价于( ) (A) Rx0，使得 f(x 0)0 成立 （B)Rx0，使得 f(x 0）0成立 (C) Rx ，f(x)0 成立（D) Rx ，f(x) 0 成立 5过抛物线 y 2 =2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60o 的直 l 与抛物线在第一、四象限分别交 于 A、B 两点，则 AF BF （） A5 B4 C3 D2 6给出 30个数： 1，2，3，5，8，13, 要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序 框图如图所示，那么框图中判断框处和执行框处应分别填入 （ ） Ai30 ？和 ppi1 Bi31 ？和 ppi1 - 2 - C
4、i31 ？和 ppi Di30 ？和 ppi 7已知,A B是单位圆上的动点，且3AB，单位圆的圆心为O，则OAAB（） A 3 2 B 3 2 C 3 2 D 3 2 8在空间中，a、b 是两条不同的直线， 、是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( ) A若 a ，ba，则 b B若 a ，b ，a ，b ，则 C若 ，b ，则 b D若 ，a ，则 a 9函数 yx e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) AyexByx1e Cy2ex3e Dy2exe 二填空题： ( 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10已知实数 X,满足约束条件，则目标函数 Z=X-y的最小值等
5、于 _. 11.已知, x yR，且满足22xyxy+=，那么+4xy的最小值是 12. 在极坐标系中，点A的坐标为曲线 c 的方程 为，则 0A (O 为极点）所在直 线被曲线 C所截弦的长度为 _. 13如图所示，在边长为1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率 为 14. 已知双曲线 C:)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与抛物线 y 2=8x 有公共的焦点 F， 它们在第一象限内 的交点为 M.若双曲线 C的离心率为 2，则|MF|=_. - 3 - 15. 给出下列四个命题： 命题，则, 当时,不等式的解集为非空； 当 X1时，有 设
6、有五个函数 . ，其中既是偶函数又在上是增函 数的有 2 个. 其中真命题的序号是 _. 三、解答题：（前三题各 12 分，后三道题各13 分，满分 75 分。解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 16(本小题满分 12 分) 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cosA2cosC cosB 2ca b . (1)求 sinC sinA的值； (2)若 cosB1 4，b2，求 ABC 的面积 S. 17. ( 本小题满分 12分） 某学校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情 况，在这批树苗中随机抽取了 50 棵测量高度 (单位
7、: 厘米），其统计数据如下表所示： 将频率作为概率，解决下列问题： (I ）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65 厘米的概率是多少？ (II)为进一步了解这批树苗的情况，再从高度在35,45) 中的树苗 A，B，C中移出 2 棵， 从高度在 85 ，95 中的树苗 D ，E，F，G ，H中移出 1 棵进行试验研究，则树苗A和树苗 D同 时被移出的概率是多少？ 18.（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)=xlnx，g.3 2 axxx (I) 求函数 f(x) 的单调区间和最小值 （II ）若对一切xgxfx2 , 0恒成立，求实数a的取值范围。 19. （本题满分 13 分） - 4
8、- 如图，已知在四棱锥P- ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD=2，AB=1，PA平面 ABCD ， E，F 分别是线段 AB，BC 的中点 (1)证明： PFFD； (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G，使得 EG平面 PFD； (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，求二面角 A-PD-F 的余弦值 20.（本题满分 13 分） 设满足以下两个条件的有穷数列a1, a2,an为 n（n=2,3,4, ）阶“梦想数列”： a1+a2 +a3 +,+an =0 |a1|+|a 2|+|a3|+ , +|an|=1 分别写出一个单调递增的3 阶和 4 阶“梦想数列”
9、； 若某 21 阶“梦想数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式； 记 n 阶“梦想数列”的前k 项和为 sk（k=1,2,3，, ，n）试证： |sk| 2 1 21. ( 本小题满分 13分） 设椭圆的左、右顶点分别为 A、 B，点p在椭圆上且异于 A、B两点， O 为坐标原点. (1) 若直线AP 与BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率； (2) 对于由(1) 得到的椭圆 C，过点P的直线l 交 X轴于点Q(- 1,0 ) ，交x轴于点 M， 若，求直线 l 的斜率 . 2013湖南省高考预测卷数学文数学文答案 一 选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案A C C A C D
10、 C D D 二 填空题 10. -1 11.32 212. 3213. 1 6 14. 5 15. 三解答题 16解： (1)由正弦定理，设 a sinA b sinB c sinCk， - 5 - 则2ca b 2ksinCksinA ksinB 2sinCsinA sinB . 所以 cosA2cosC cosB 2sinCsinA sinB 即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得 sin(AB)2sin(BC) 又 ABC ， 所以 sinC2sinA.因此 sinC sinA2. 6 分 (2)由 sinC sinA2 得 c2a. 由余弦定理 b
11、 2a2c22accosB 及 cosB1 4，b2， 得 4a24a24a2 1 4 解得 a1，从而 c2 又因为 cosB1 4，且 0B ，所以 sinB 15 4 . 因此 S1 2acsinB 1 212 15 4 15 4 . 12 分 17.解：在 65cm以上的频数为15+10+5+30 ,2 分 在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65cm的概率为 P1= 50 30 = 5 3 ,5 分 事件“从 (35,45) 中移出 2 棵树苗，事件从(85,95) 中移出 1 棵树苗，”包含的基本事件是15 个，其 中满足在 (35,45) 中和 (85,95) 中的树苗同时被移出的
12、事件共2 个,10 分 其概率p2= 15 2 12分 18 （本题满分12 分） 解： （）显然函数f（x）的定义域为,0x. 1ln)(xxf，令0)(xf，解得： e x 1 ,3 分 当)(, 1 , 0xf e x0；当)(, 1 xf e x0 . - 6 - 函数 f（x）的单调递减区间是 e 1 ,0，单调递增区间是, 1 e . ,5 分 且 f最小值（x）= f极小值（ e 1 ） e 1 . ,6 分 （）对一切3ln2,0 2 axxxxx恒成立， 即：对一切 x xxax 3 ln2, 0恒成立， ,9 分 令,0, 3 ln2)(x x xxxh ，则 2 2 2
13、323 1 2 )( x xx xx xh 令0)(xh，解得：3,1 xx（舍）,10 分 当)(,1 , 0xhx0；当)(, 1xhx0 当1x时， h（x）取得最小值4)1(h. a h最小值（x）=4，实数a的取值范围是4,a. ,12 分 19.(1)证明： PA平面 ABCD，BAD90 ，AB1，AD2，建立如图所示的空间直 角坐标系 A-xyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0) 不妨令 P(0,0，t)，PF(1,1，t)，DF(1，1,0)， PF DF 11 1( 1) ( t)0 0， 即PFFD. 4 分 (2)解：设平面 P
14、FD 的法向量为 n(x，y，z)， 由 0, 0, n PF n DF 得 xytz0， xy0， 令 z1，解得： xy t 2. n t 2， t 2，1 . 设 G 点坐标为 (0,0，m)，E 1 2，0，0 ，则 EG 1 2，0，m ， 要使 EG平面 PFD，只需EG n0，即1 2 t 20 t 2 1mm t 40，得 m 1 4t，从而满足 AG 1 4AP 的点 G 即为所求 8 分 (3)解： AB平面 PAD，AB是平面 P AD 的法向量，易得AB (1,0,0)，又 PA平面 ABCD， PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，得PBA45 ， P A1，
15、平面 PFD 的法向量为n 1 2， 1 2，1 . cosAB，n AB n AB n 1 2 1 4 1 41 6 6 . 故所求二面角A-PD-F 的余弦值为 6 6 . 13 分 20. （本小题满分13 分） 解：（）数列 11 ,0, 22 为单调递增的三阶“梦想数列”， 数列 31 1 3 , 88 8 8 为单调递增的四阶“梦想数列”. ,4 分 - 7 - （）设等差数列的公差为d， 21+, 所以， 即， , d=,(n,*Nn) ,9 分 （）当k=n 时，显然 1 0 2 n S成立,10 分 当 kn 时，据条件得 1212 () kkkkn Saaaaaa ， 即
16、nkkkk aaaaaaS 2121 ， 1212 2 kkkkn Saaaaaa 1212 1 kkkn aaaaaa , 1 (1,2,3, ). 2 k Skn ,13 分 21. 解 : (1) 由已知0,0 ,aBaA, 设axyxP 000, . ,1 分 则直线AP的斜率 ax y kAP 0 0 , 直线BP的斜率 ax y kAP 0 0 . 由1 2 2 0 2 2 0 y a x , 得 2 2 0 2 2 0 2 a xa y. ,2 分 AP k AP k ax y 0 0 22 0 2 2 2 0 2 22 0 2 0 0 0 2 2 a xa a xa ax y
17、ax y ,3 分 2 12 2 a , 得4 2 a, ,4 分 2 1 4 24 2 e. ,5 分 椭圆的离心率 2 2 e. ,6 分 (2) 由题意知直线l的斜率存在 . ,7 分 设直线 l 的斜率为 k , 直线l的方程为1xky,8 分 则有kM, 0， 设axyxP 000, ，由于QMP,三点共线，且PQMP2 - 8 - 根据题意，得 0000 , 12,yxkyx,9 分 解得 ky x 0 0 2 或 3 3 2 0 0 k y x ,10 分 又点P在椭圆上，又由（1）知椭圆C的方程为1 24 22 yx 所以 1 24 2 22 k , 或1 2 3 4 3 2 22 k , 由解得0 2 k，即0k, 此时点P与椭圆左端点A重合 , 0k舍去 ; ,11 分 由解得16 2 k，即4k,12 分 直线直线l的斜率4k. ,13 分