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1、认识标准差和标准误 概念 标准差和标准误是统计分析中十分重要的统计量，两者有区别也有联系，但是很多初学者往 往弄不清楚其中的差异，或进行一些错误的使用。 统计学的教科书对两个概念的描述也不是很清楚。很多书上是这样表达的：标准差表示数据 的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说.嗯.基本等于 没有解释。 但这往往还是考试的重点，着实让人摸不着头脑。本文不涉及复杂的计算，仅从 理解的角度来介绍二者的区别。 首先是标准差，如教科书所讲，反映数据的离散程度，是方差的开平方。为什么叫“ 标准 ” 差 呢？因为与方差相比，它的单位与原数据相同，使用更方便，应用广泛，成为了统计学中
2、反 映变异的标准，所以叫“ 标准 ” 差。标准差越大，数据的离散程度越大，所谓离散，与“ 集中 ” 相对，也就是分的更散，离中心更远， 这个 “ 中心 ” 就是指均值。 举例来说， 有两组数据如下： A 组1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 组4 4 4 4 5 6 6 6 6 很明显，两组均值都为5，而 A 组数据的波动大得多，B 组数据则更集中，更向“5”靠拢， 通过计算可得A 组标准差为2.582 ，B 组标准差为0.943 ，与上述描述完全符合。这就是标 准差的直观含义。 再看标准误， 教科书上是这么说的，标准误表示抽样误差的大小。那抽样误差又是什么呢？ 仍以 A 组数据为例，我们
3、从中随机抽取3 个数字为一个样本，得到“2 ，7，9” ，算得均值为 6，与 A 组总体的均值 “5”不同，当然这是很容易理解的。再抽一组“3 ，5，8” ，算得均值为 5.333 。 我们发现， 每次抽样得到的均值是不同的，它们与总体的均值也是不同的（当然也有极小概 率相同），这就是“ 抽样误差 ” 。 计算方法 怎么计算它的大小呢？由标准差的概念可知，标准差反映离散程度的大小，那么多次抽取样 本，把这些样本的均值集中起来作为一个新样本，计算它们的标准差，就可以反映它们的离 散程度，离散程度大，说明这些均值偏离总体均值“5”越远，也就是抽样误差越大，这就是 标准误 standard erro
4、r 。 这里的 error 就是 “ 误差 ” 的英文，所以标准误其实应叫做“ 标准误差 ” ， 我们可以理解为由“ 标准差 ” 计算得出的 “ 误差 ” 。 到这里可能有的人会说，我实际中怎么可能这么多次抽样呢，书上的公式也不是这样算的啊。 没错，实际中我们一般只会抽样一次，而教科书上给出的公式就是通过一次样本的数据来计 算标准误，即用样本标准差除以样本量的平方根。至于为什么公式是这样，这个公式准不准， 已有统计学家的前辈们研究过了，我们只要去用就行了。如果想了解其原理，可以去更做深 一步的研究。 举例 标准误在统计学中的应用十分广泛，以最简单的t 检验为例，虽然t 检验是应用最广泛的统 计
5、学方法之一，但很少有人思考过t 值的意义。以单样本t 检验为例，我们发现t 值公式的 分母就是标准误，代表抽样误差，而分子是两均数的差值，也就是实际差异。 所以 t 值就是实际差异与抽样误差的比值，如果实际差异大，t 值就大，抽样误差大，t 值就 小。当 t 值大于某个临界值（可查表得出）时，我们更相信两组数据真的有差异，而不是抽 样误差，结果就比较可靠，比如我们论文中常用的P0.05，反之亦然。 需要注意的一点是，虽然我们用t 检验来举例，教科书也把标准误放在t 检验的章节，但不 代表标准误是均数独有的，也可以是率或其他统计量，因此说标准误是“ 均数的标准差 ” 是片 面的，更合理的说法是“ 统计量的标准差” 。 so，关于 “ 标准差 ” 和“ 标准误 ” 的区别，你get 了吗？ 扫码关注我们