长方体与正方体(二).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具 体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱 c b a H G F E D C B A 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等 (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形) 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()Sabbcca 长方体 ； 长方体的体积：Vabc 长方体 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形 如果它的

2、棱长为a，那么： 2 6Sa 正方体 ， 3 Va 正方体 长方体与正方体的体积 立体图形的体积计算常用公式： 立体图形示例体积公式相关要素 长方体 Vabh VSh 三要素：a、 b 、 h 二要素： S、 h 正方体 3 Va VSh 一要素：a 二要素： S、 h 不规则形体的体积常用方法： 化虚为实法 切片转化法 先补后去法 实际操作法 画图建模法 【例1】一个长方体的棱长之和是28 厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长 例题精讲 长方体与正方体（二） 专业文档 珍贵文档 方体的体积等于立方厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希

3、望杯，6 年级，第16 题， 6 分 【解析】 由题意知长、宽、高的和为2847，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、 2、4，所以体积为8 立方厘米 【答案】 8 【例2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a） ，从左向右看到的视图是图 （b） ，从上向下看到的视图是图（c） ，则这堆木块最多共有_块。 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，8 题 【解析】 对于图 c 来说，每个小方块都摞了2 层，最多有6块。 【答案】 6 【例3】一根长方体木料，体积是0.078 立方米已知这根木料长1.3 米宽为

4、3 分米，高该是多少分米?孙 健同学把高错算为3 分米这样，这根木料的体积要比0.078 立方米多多少 ? 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】小数报，决赛 【解析】 0.078(1.30.3)0.2 (米) 0.2 米2 分米 1.30.30.30.0780.039 (立方米 ) 所以这根木料的高是2 分米；算错后，这根木料的体积比0.078 立方米多 0.039立方米 【答案】 0.039 【例4】如图，两个同样的铁环连在一起长28 厘米，每个铁环长16 厘米。 8 个这样的铁环依此连在一起长 厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】

5、希望杯，四年级，复赛，第10 题， 4 分 【解析】 两个铁环连在一起， 重叠的部分长16 2-284 厘米，8 个这样的铁环依此连在一起长16 8-4 7100 厘米。 【答案】 100 【例5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加 固所用尼龙编织条分别为365 厘米， 405厘米， 485 厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是5 厘 米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米? 高 宽 长 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，口试 专业文档 珍贵文档 【解析】 长方体中 高宽 1 (3655)180 2 ， 高

6、长 1 (4055)200 2 ， 长宽 1 (4855)240 2 ， ：长宽20 ， ：长130，从而宽110， 代入 得高70 所以长方体体积为 70110 1301001000 (立方厘米 )1.001 (立方米 ) 【答案】 1.001 【例6】某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235 厘米、 445 厘米、 515 厘米的 尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5 厘米，那么这个长方体包装箱的 体积是立方米。 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，9 题 【解析】 长方形的长为 ：44551523

7、554180 （厘米）； 长方形的宽为 : 51551802275 （厘米）； 长方形的高为：2355752240 （厘米）； 长方形的体积为: 6 1807540100.54（立方米）。 【答案】 0.54 【例7】一个长方体的表面积是33.66 平方分米，其中一个面的长是2.3 分米，宽是2.1分米，它的体积是 _立方分米 . 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 长方体的高是 30 (33.662.12.32)2(2.12.3) 11 (分米 ). 长方体的体积是 3019 2.12.313 11110 (立方分米 ) 【答案】 19 13 11

8、0 【例8】把一根长 2.4 米的长方体木料锯成5 段(如图 )，表面积比原来增加了96 平方厘米 这根木料原来的 体积是 _立方厘米 2.4米 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】96812 (平方厘米 )， 122402880 (立方厘米 ) 所以这根木料原来的体积为2880 立方厘米 专业文档 珍贵文档 【答案】 2880 【例9】一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图 )将这个长方体切成12 个小长方体，这些 小长方体的表面之和为600 平方分米求这个大长方体的体积 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】

9、小数报，决赛 【解析】 设大长方体的宽(高)为a分米，则长为2a ，右 (左)面积为 2 a ，其余面的面积为 2 2a ，根据题意， 222 22862600aaa所以 2 25a，5a 大长方体的体积2555250 (立方分米 ) 【答案】 250 【例10】 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16 平 方厘米 .求所成形体的体积. 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4 个侧面正方形的面积，表面积减少了16 平方 厘米，每个正方形侧面为1644 平方厘米，每个正方体棱长为

10、2厘米，三个小正方体体积(即所成 形体的体积 )是 3 3224 立方厘米 . 【答案】 24 【例11】 小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图， 那么他最多用了_块木块，最少用了_ _块木块。 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，决赛，第8 题， 10 分 【解析】 从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 3213 2122 3213 0013 0020 3000 【答案】最多25，最少 9 【例12】 边长为 5的正方形，被分割成55 的小方格。每个小方格上堆放边长为1cm的

11、正方体积木，个数如 图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。 共贴张红纸。恰贴3张红纸的有块积木。 专业文档 珍贵文档 15331 12543 23425 23421 54141 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第11 题， 12 分 【解析】 从正面看，需要贴5525（张） ； 从左边看，需要贴5455524 （张） ； 从右边看，需要贴5455524 （张） ； 从前面看，需要5545524 （张） ； 从后面看，需要5545524 （张） ； 再看中间凹进去的部分，需要贴644224426

12、（张） ， 所以一共需要贴252424242426147 （张）； 先看四条边上，有 14块积木贴 3张红纸； 非边上的积木，有1块积木恰好贴3张， 所以一共有 14115（块）积木。 【答案】共贴26 张，共有15 块 【例13】 有一个长方体， 长是宽的2 倍，宽是高的3倍； 长的 1 2 与高的 1 3 之和比宽多1 厘米 这个长方体的 体积是立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 长的 1 2 即宽，所以高的 1 3 就是 1 厘米，高是3 厘米，宽是3 39 厘米，长是 9218厘米，体积是 39 18486(立方厘米 ) 【答案】

13、486 【巩固】一个长方体的各条棱长的和是48 厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体 积是 _ 立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48412 (厘米 )， 于是它的宽与高都等于12(21 1)3 (厘米 )， 它的长是 326厘米 所以这个长方体的体积是63354(立方厘米 ) 【答案】 54 【例14】 把 11 块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是 3 288cm ，则大长方体的 表面积为多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答

14、【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐 含的数量关系 专业文档 珍贵文档 由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3: 2 ，四个高等于一 个长，所以长、高之比为4:1 ，长、宽、高之比为12 :8:3，设砖的长为12 单位，那么体积应该为 1283288个立方单位，所以一个单位长度就是1 厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24 厘米， 12 厘米， 11 厘米，所以大长方体的表面积为：24121211112421368（）平方厘米 【答案】 1368 【例15】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长

15、分别是6 米、 3 米、 2 米把两堆碎石分别沉没在中、 小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6 厘米和4 厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池 的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积 因此，沉入水池中的碎石的体积是 330.060.54 (米 3)， 而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16(米 3) 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7 (米 3) 把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7 米 3而大水池的底面积是 6636 (

16、米 3)所以水面升高了 0.7 0.736 36 (米) 70 36 (厘米 ) 17 118(厘米 ) 故大水池的水面升高了 17 118厘米 【答案】 17 118 【例16】 一个正方体容器，容器内部边长为24 厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现将一些碎铁块放入容 器中，铁块沉入水底，水面上升2.5 厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新 放入池中，则水面升高几厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米，则有水面升高后水的总体积原来水 的体积铁块浸入水中的体积， 22 242417.2xS

17、x 铁块的底面积 ， 其中 2 24242.5S铁块的底面积 ，得到242.5S铁块的底面积，解得19.2x， 所以水面升高了19.217.22(厘米 ) 【答案】 2 【例17】 如图，有一个棱长为10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4 厘米的正方 形孔（边平行于正方体的棱），且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15 厘 米、12 厘米、 9 厘米，内部有水，水深3 厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水 下部分的体积为立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，初赛，6 年级 【解析】 可以把正方体铁块看作三

18、层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为 3厘米； 中间一层为4个长方体 立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体. 由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中， 而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了h 厘米，则中间一层在水中的部分 恰好为 h厘米 . 由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即： 专业文档 珍贵文档 222 1512(104 )334hh ，解得 7 4 h， 故铁块在水下部分的体积为 7 1512315 4 (立方厘米 ). 【答案】 315 【例18】

19、 把 1 个棱长是3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数如 果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 因为小正方体的棱长只可能是2 厘米或 1 厘米必须分割出棱长是2 厘米的小正方体才能使数量减 少显然，棱长是3 厘米的正方体只能切割出一个棱长为2 厘米的小正方体，剩余部分再切割出 33322227819 个棱长是 1 厘米的小正方体， 这样总共可以分割成11920 (个)小正方 体 【答案】 20 【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长40 厘米，宽12

20、 厘米，高7 厘米，在这个盒子里放长5 厘米，宽 4 厘米，高3 厘米的长方体木块最多可放块 444 4 3 33 33 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 上图表明 3 4 的长方形可以填满7 12 的长方形 于是 534的长方体可以填满407 12 的长方体，即盒子中最多可放这种长方体 407 12(534)56 (个) 【答案】 56 【例19】 有甲、乙、丙3 种大小的正方体木块，棱长比是1: 2 :3如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正 方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型

21、】解答 【解析】 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3一个甲种木块的体积是1，一个乙种木块的体积 是 2228，一个丙种木块的体积是33327 由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为325 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5 时，体积是555125 要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多由于棱长为5，所以其中丙种木块 只能有 1 个 有了 1 个丙种木块后，乙种木块最多可以有4217块 丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是8756 ，余下的体积为125275642所以还需要 甲种木块42142块 所以共需要至少174250 块 【答案】 50 【例2

22、0】 用1 12、 1 13、1 22三种小木块拼成333的正方体现有足够多的1 22的小木块， 还有14 块 1 13 的小木块，如果要拼成10 个 333 的正方体，则最少需要1 1 2的小木块 _块 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【解析】1 1 2、1 13 、1 22三种木块的体积分别为2，3，4，其中只有 3 为奇数， 2，4 都是偶数 因为 33327 ，体积为奇数，所以每个333的正方体中，1 13的木块要有奇数块 专业文档 珍贵文档 当只用1 块11 3 时，剩下的体积为24，但无法完全用1 22完成，还需要1 1 2的小木块，由 于 24 和 4 都是

23、4 的倍数，所以1 12的小木块的体积和也是4 的倍数，至少要用2 块1 12的小 木块检验可知用1 块1 13 的小木块、2块1 1 2的小木块和5块122的小木块可以拼成333 的正方体 当用 3 块 1 13 的小木块时，体积剩下18，可以再用4 块1 22的小木块和1 块1 1 2的小木块 拼成 当用 5 块 1 13的小木块时， 体积剩下12，此时可以再用3 块122的小木块拼成， 即此时不需要 用1 1 2的小木块拼成 为了尽量少用1 1 2的木块，所以要尽量多用其他木块而一共只有14 块1 13 的木块，所以可 以在 8 个 333的正方体中各用1 块 1 13 的木块，另2 个

24、 333的正方体各用3 块 1 13 的木 块；也可以在9 个 333的正方体中各用1 块11 3 的木块，另 1 个 333的正方体用5 块1 13 的木块前者需要281218 个，后者需要2918 个，数量相同，所以最少需要1 12的木 块 18 块 【答案】 18 【例21】 把一个长方体形状的木料分割成3 小块，使这3 小块的体积相等已知这长方体的长为15 厘米， 宽为 12 厘米，高为9 厘米分割时要求只能锯两次，如图1 就是一种分割线的图除这种分割的 方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2 的各图中 图 1 图 2 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解

25、答 【解析】 分割方法很多，如图3，给出以下9 种分割方法： 专业文档 珍贵文档 图 4 【答案】答案不唯一，给出以下9 种分割方法： 图 4 【例22】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是 3: 4:5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛 【解析】 由于分出的三个长方体的底面积相同，所以体积之比等于三个长方体的高之比，设正方体的棱长为 1， 三个长方体的高分别为 1 h ， 2h ，3 h ，所以123 1hhh，根据 “ 分成三个长方体.这三个

26、长方体的表 面积比是 3: 4:5 ” 得 123 (24 ):(24):(24)3: 4:5hhh， 而 123123(24)(24)(24)64()10hhhhhh，所以有 1 3 2410 345 h ，解得 1 1 8 h， 同理得 2 1 3 h， 3 13 24 h，所以 123 1 1 13 :3:8:13 8 3 24 hhh，即体积比为 3:8 :13 。 【答案】 3:8 :13 【例23】 如图从长为13 厘米，宽为9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2 厘米的正方形，然后，沿虚线 折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？ 13 9 2 【考点】长方体与正方体【难度

27、】 3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 容器的底面积是 专业文档 珍贵文档 (134)(94)45 (平方厘米 )， 高为 2 厘米，所以容器的体积是， 45290(立方厘米 ) 【答案】 90 【巩固】现有一张长40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁皮盒(焊 接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米? 10 30 焊上 焊上 10 3520 焊上 焊上 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】祖冲之杯 【解析】 如图，在 4020 的长方形铁皮的四角截去边长5 厘米的正方形铁皮，然后

28、焊接成长方形无盖铁皮 盒这个铁皮盒的长405530(厘米 ) 宽205510(厘米 )，高5 (厘米 ) 体积301051500 (立方厘米 ) 如图，在 4020长方形铁皮的左侧两角上割下边长5 厘米的正方形(二块 )，紧密焊接 到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535 (厘米 )， 宽205510(厘米 )， 高5 (厘米 )， 体积351051750 (立方厘米 ) 如图，在 4020的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5 厘米的长方形铁皮(共二块 )，分别焊到 上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的 长40555520 (厘米 )， 宽20 (厘米 )， 高5 (厘米 )

29、， 体积202052000 (立方厘米 ) 因此，最后一种容积最大 【答案】 2000 【例24】 一个长、宽、高分别为21厘米、 15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正 方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的 切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 5 星【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于 21:15 :127 :5: 4 ，为了方便起见.我们先考虑长、 宽、高分别为7厘米、 5 厘米、4厘米的长方体. 因为 754，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是

30、4厘米，第二次切时，切下棱长为 3厘米的 正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求 那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、 9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体 积应是： 333 21 15 1212961107（立方厘米）. 专业文档 珍贵文档 12 12 9 9 9 6 6 6 3 12 12 6 3 9 12 【答案】 1107 【例25】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如 下图右那么这个几何体至少用了块木块 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 这道题很多同学认为答案

31、是26 块这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块其 实，有些格不放，看起来也是这样的 如右图，带阴影的3 块不放时，小正方体块数最少，为23 块 【答案】 23 【巩固】 右图是由22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成 的长方体有多少个？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 正方体只可能有两种： 由 1 个小正方体构成的正方体，有22 个； 由 8 个小正方体构成的222的正方体，有4 个 所以共有正方体22426 (个) 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，

32、其中上下位有13 个，左右位有13 个，前后位有14 个，共有 13131440 (个) 专业文档 珍贵文档 【答案】 40 【例26】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面 )的积木颜色不同， 标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？ A 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17 块. 【答案】 17 【巩固】这个图形，是否能够由1 1 2的长方体搭构而成？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 每一个1 12的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方

33、体，而黑色积木有17 块，白色积木有15 块，所以该图形不能够由1 1 2的长方体搭构而成. 【答案】 17 【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字) 先将写着2 的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2 的立方体相邻(见 左下图 )依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少? 3 3 2 23 32 3 3 2 23 231 1 1 1 1 1 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图 ) 专业文档 珍贵文档 7

34、65 4 34 56 5 第三层 654 3 23 45 4 第二层第一层 3 43 21 2 345 上面的 9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27同理，下面的9 个 数之和是45， 下面、左面、后面的所有数之和都是45 所以六个面上所有数之和是(2745)3216 【答案】 216 【例27】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图 和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？ 正视图俯 视 图侧视图 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 本题还原的技巧在于反用“ 切片法 ” ，根据俯视图，最

35、底层必有这么11 个，这是不能再少的； 第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7 块； 第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求： 所堆的立体的体积至少是11718 当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件 【答案】 18 【例28】 用一些棱长是1 的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看 这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的表面积最多是_ ab 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛 【解析】 根据题意，这个立体应当有2 层，由于这个立体图形是码成的而不是粘成的，这就意味着，这个立 体图形的每一个小正方

36、体的下端必然有其他正方体支撑，所以这个立体图形的俯视图实际上可以看 作该图形的 “ 地基 ” 我们在此基础上构造立体图形，结合图b ，构筑 “ 地基 ” 以上的第二层的建筑，由 视角分析，A、B、C 3 个位置上都至少有一个正方体(如左下图 )，在“ 地基 ” 的基础上构筑第二层时， 随着第二层小正方体数目的增多，由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有3 个，那么裸 露在外面的面至少也有3 个，所以每增加一个小正方体，其表面积不会减少那么当第二层的小正 方体最多时，其表面积也最大而小正方体最多的情况如右下图所示， 专业文档 珍贵文档 C B A 根据 “ 三视图法 ” ，该图形上、下面积

37、为8216 (平方厘米 )，前、后面积为8216 (平方厘米 )，左、 右面积为 8216 (平方厘米 )(注意，左、右方向的面中，有4 个从该图形以外的左、右方向无法观 察到 )，所以此立体的表面积为16161648 平方厘米 【答案】 48 【例29】用棱长为 1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘 成这个立体最多需要块小立方体 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级 【解析】 根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方体，白色部 分则不可以有小立方体 这些小立方体可以分为角上的

38、和棱上的两种，其中角上的有 3 2864 个，棱上的有12 个（每条棱 上 1 个） ，所以总共最多有641276个 【答案】 76 【例30】第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004 年 5 月 10 日在潮州举行， 北京的选手们用N 个 大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9 的模型 (如图 )问： N 最 大为多少？N 最小为多少 ? 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 可以将 2004 这个模型分为5 行，第一行有11 个方块，第二行有7 个方块，第三行有10 个方块，第 四行有 6 个方块，第五行有10

39、 个方块 因为从左边看是9 的模型，所以第一行的宽度为3 个方块，第二行的宽度为2 个方块，第三行的宽 度为 3 个方块，第四行的宽度为1 个方块，第五行的宽度为3 个方块， 113721036 1103113，所以 N 最大为 113 1171061044， 所以 N 至少是 44 块但是，仅用 44 块显然不能满足从左边看是9 的模型所 以必须再加上一些木块以满足从左边看是9 的模型 模型 “9”有 3列，右面一列5 个方块已经满足，中间一列有3 个方块，所以得加上3 个；由于模型是 粘贴出来而不是摆出来的，所以加上中间一列的3 块并不能减少右边一列的方块而左边一列有4 个方块，这4 个也

40、得加上，加上左边一列的4 块后，由于其中的上面3 块是连续的，所以可以在右 面一列去掉2 块，仍然不会改变从正面看是2004 的效果 4434249，所以 N 最小为 49 专业文档 珍贵文档 【答案】 49 【例31】有很多白色或黑色的棱长是1cm 的小正方体取其中的27 个，拼成一个棱长是3cm的大正方体， 每一面都各用2 个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都 相同，因此，用8 个或 9 个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外，还可以 拼成每面的图案都相同的大正方体 问：在下图的中找出可以拼成每面都相同的图案 问：在问中，可以按要求拼成的大正方

41、体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几 个？ 例图 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】日本算术奥林匹克 【解析】 本题主要考查学生的空间想象能力在原来的棱长为1cm的小正方体中，由于每一个的6 个面的颜 色都是相同的，要么是白色，要么是黑色，所以，在拼成的棱长为3cm 的大正方体中，如果出现有 某一面上有黑色的小正方形，那么就要注意与这个小正方形同属一个小正方体的其他面也应当是黑 色的 ：图中的 可以； ：最多用10 个，最少用4 个 图 必然有黑色立方体出现角上，在选定了某一个顶点为黑色立方体后，相邻的正面出现了图所 示的图案，则在上面必定是出现与选定的

42、这个顶点相邻部分有一面是黑的，然而此时左面的情况就 是至少三块成黑色了，与图所示的图案不可能相同所以图不可以； 图 的正面如图所示，则上面也必定在某一个角上，如果是在相邻的角，则某一面上有3 块黑色的； 如果是在对角，而对角的情况与图 所示的图案不同所以图不可以； 图 可以，如下左图所示通过“ 切片法 ” ，可以知道最少5块，而最多可用6 块（有一块在大立方体 的中间，从表面看不到的那块）； 图 可以，如下左图所示可以看出最少有 4块，最多有 5 块； 图 中，最少有 9 块黑块，最多有10 块 请注意这里从最多角度考虑，所以把最中心的一块算在内，其实这一块从六个方向都看不到； 图 中，最少有

43、 6 块，最多有7 块； 专业文档 珍贵文档 图 中，当把上下前后四个面染好后，左右两个面是无法染成相同图案的所以图不可以 【答案】图中的 可以；最多用10 个，最少用4 个 【例32】 一个长、宽、高分别为12、9、7 厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个底面 为 4 平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个长方体剩下部分的体积是立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】三帆中学 【解析】 如图，将长方体剩下的部分分割成六块，其中两块都是中间有一个长方体贯穿孔的长方体，另外四 块是相同大小的长方体前面两块的体积之和为974122590立方厘米，后面四个长

44、方 体的体积之和为 9272 2470 22 立方厘米，所以原长方体剩下部分的体积为59070660 立 方厘米 7 9 12 【答案】 660 【例33】如图所示， 一个 555的立方体， 在一个方向上开有1 15的孔， 在另一个方向上开有21 5的 孔，在第三个方向上开有3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】武汉明心杯 【解析】 求体积： 开了 3 1 5的孔，挖去3 1515 ，开了 1 1 5 的孔， 挖去 1 1 514；开了 2 1 5的孔， 挖去 2 15(22)6， 剩余部分的体积是：5 55(154

45、6)100 (另解 )将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：22412100 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为55612138 ，内部的面积可以分为前 专业文档 珍贵文档 后、左右、上下三个方向，面积分别为2251 51 21 320 、 215351 3132 、 2151 51 1214 ，所以总的表面积为 138203214204 (另解 )运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32 上下方向：30左右方向：40 11221 1121 2222 1121 12211 2 2 11211

46、1111 222 1111 11211 2 11211 2222 222 2222 11211 2 2 总表面积为2323040204 【总结】 “ 切片法 ” ：全面打洞 (例如本题，五层一样) 挖块成线 (例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖) 这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 【答案】 204 【巩固】如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的 其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的 部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分请问剩下的部分共有多少个小正方体？ 第8题【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】香港保良局，小学数学世界邀请赛 【解析】

47、对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目） 的题目一般可以采用“ 切片法 ” 来做，所谓 “ 切片法 ” ，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片 或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加 采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分 第1层第2层第3层第4层第5层 从图中可以看出，第1、 2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有22 个、 11 个、 11 个、 6 个、 22 个， 所以总共还剩下22111162272 （个）小正方体 【答案】 72 【巩固】一个由125 个同样的小正方体组成的大正方体，从

48、这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方 体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图中剩下的小正方体有多少个？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 解法一： (用“ 容斥原理 ” 来解 )由正面图形抽出的小正方体有5 525个，由侧面图形抽出的小正方体 专业文档 珍贵文档 有 5 525个，由底面图形抽出的小正方体有4520 个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方 体有 1 22 1228 个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1 3227 个，底面图 形和侧面图形重合抽出的小正方体有1 21 1227 个， 三个面的图形共同重合抽出的小正方体 有 4 个根据容

49、斥原理，252520877452 ，所以共抽出了52 个小正方体 1255273， 所以右图中剩下的小正方体有73 个 注意这里的三者共同抽出的小正方体是4 个，必须知道是哪4 块，这是最让人头疼的事 但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“ 花墙 ” 这里，化虚为实的思想方法很重要 解法二： (用“ 切片法 ” 来解 ) 可以从上到下切五层，得： 从上到下五层，如图： 或者，从右到左五片，如图： 请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向 比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即 如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图： 第(2)步，把从右向左的两块成线