1初二复习+三角形的证明章节复习.pdf

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1、三角形的证明章节复习 【知识梳理】 1全等三角形的判定和性质 SAS HL SSS AAS SAS AAS ASA ASA AAS 找夹角（） 已知两边找直角（） 找第三边（） 若边为角的对边，则找任意角（） 找已知角的另一边（） 证三角形全等的思路已知一边一角 边为角的邻边找已知边的对角（） 找夹已知边的另一角（） 找两角的夹边（） 已知两角 找任意一边（） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2等腰三角形的判定与性质 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形

2、 “ 三线合一 ” 的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等 3等边三角形的判定与性质 判定：有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60 的三角形是等边三角形； 有两个叫是60 的三角形是等边三角形 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60 4反证法 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的 结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法 5直角三角形 勾股定理 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理的逆

3、定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为 互逆命题 ，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 . 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理 ， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理 . 7线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形

4、的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。 8角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 【典型例题】 【题型一：全等三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题 1】用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图 所 示 ，则 能 说 明 AOC = BOC 的 依 据 是 （） A SSSB ASA C AASD 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等 【例题 2】如图，

5、 ABC ADE，若 B80 ， C30 ， DAC35 ， 则 EAC 的度数为（） A40B35C30D 25 【例题 3】如图，已知 ABC ABC，AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线 （1）请证明ADAD； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 【变式 1】如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的图形 是 （） A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙 【变式 2】如 图 ， 在 ABC 中 ， D 、 E 分 别 是 边 AC 、 BC 上 的 点 ， 若 ADB EDB EDC ， 则 C 的 度 数 为 （）

6、 A 15B 20C 25D 30 【变式 3】如图 410，在 ABC 中， ACB90 ，ACBC，直线 l 经过顶点C，过 A、B 两点分 别作 l 的垂线 AE、BF，E、F 为垂足 （ 1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证：EFAEBF 图 410 （ 2）如图 411，将直线l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 交于点 D，请你探究直线l 在如下 位置时， EF、AE、BF 之间的关系 ADBD； ADBD； ADBD 图 411 【题型二：等腰三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题 1】（ 1） 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6， 则

7、这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 （） A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 （ 2） 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80 ， 则 它 顶 角 的 度 数 是 （） A 80B 80 或 20C 80 或 50D 20 【例题 2】如 图 ，在 ABC 中 ， BO 平 分 ABC ， CO 平 分 ACB ，DE 过 O 且 平 行 于 BC ， 已 知 ADE 的 周 长 为 10cm， BC 的 长 为 5cm， 求 ABC 的 周 长 【例题 3】如 图 ， MON =43 ， 点 A 在 射 线 OM 上 ， 动 点 P 在 射 线 ON 上 滑 动

8、， 要 使 AOP 为 等 腰 三 角 形 ， 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 （） A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 【例题 4】如 图 ： E 在 ABC 的 AC 边 的 延 长 线 上 ， D 点 在 AB 边 上 ， DE 交 BC 于 点 F， DF =EF ， BD =CE ， 过 D 作 DG AC 交 BC 于 G 求 证 ： （ 1） GDF CEF ； （ 2） ABC 是 等 腰 三 角 形 【变式 1】已 知 ABC 中 ， AB= AC=x， BC =6， 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 （） A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6

9、D x 6 【变式 2】如 图 ， 在 ABC 中 ， ABC 和 ACB 的 平 分 线 交 于 点 E， 过 点 E 作 MN BC 交 AB 于 M， 交 AC 于 N， 若 BM +CN =9， 则 线 段 MN 的 长 为 （） A 6 B 7 C 8 D 9 【变式 3】如 图 ，是 一 个 5 5 的 正 方 形 网 格 ，网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 点 A 和 点 B 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 若 ABC 为 等 腰 三 角 形 ， 满 足 条 件 的 C 点 的 个 数 为 （） A

10、 6 B 7 C 8 D 9 【变式 4】如下图，在ABC 中， B=90 ，M 是 AC 上任意一点（ M 与 A 不重合） MD BC，交 ABC 的平分线于点D，求证： MD =MA. 【题型三：等边三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题 1】如 图 ， AC =CD =DA =BC =DE 则 BAE 是 BAC 的 （） A4 倍B 3 倍 C2 倍D1 倍 【例题 2】如 图 ， 等 边 ABC 的 周 长 是 9， D 是 AC 边 上 的 中 点 ， E 在 BC 的 延 长 线 上 若 DE =DB ， 则 CE 的 长 为 【例题 3】如 图 ， M、 N 点 分 别 在

11、 等 边 三 角 形 的BC、 CA 边 上 ， 且 BM =CN ， AM 、 BN 交 于 点 Q （ 1） 求 证 ： BQM =60； （ 2）如 图 ，如 果 点 M、 N 分 别 移 动 到 BC 、 CA 的 延 长 线 上 ，其 它 条 件 不 变 ，（ 1）中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 若 成 立 ， 给 予 证 明 ； 若 不 成 立 ， 说 明 理 由 【变式 1】如 图 ， 等 边 ABC 中 ， 点 D、 E 分 别 为 BC、 CA 上 的 两 点 ， 且 BD =CE ， 连 接 AD 、 BE 交 于 F 点 ， 则 FAE+ AEF 的 度 数

12、是 （） A 60B 110C 120D 135 【变式 2】如 图 ， C 为 线 段 BD 上 一 点 （ 不 与 点 B， D 重 合 ） ， 在 BD 同 侧 分 别 作 正 三 角 形 ABC 和 正 三 角 形 CDE ， AD 与 BE 交 于 一 点 F，AD 与 CE 交 于 点 H， BE 与 AC 交 于 点 G （ 1） 求 证 ： BE=AD ； （ 2） 求 AFG 的 度 数 ； （ 3） 求 证 ： CG =CH 【题型四：有关直角三角形定理的应用】 【例题 1】如 图 ， 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=4， AD =3， 折 叠 纸 片 使 AD 边

13、 与 对 角 线 BD 重 合 ， 折 痕 为 DG ， 则 AG 的 长 为 （） A 1 B 4 3 C 3 2 D 2 【例题 2】6如 图 ，在 5 5 的 方 格 纸 中 ，每 一 个 小 正 方 形 的 边 长 都 为 1， BCD 是 不 是 直 角 ? 请 说 明 理 由 【例题 3】如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=30 ， AD 是 BAC 的 平 分 线 ， 若 CD =2， 那 么 BD 等 于 （） A 6 B 4 C 3 D 2 【变式 1】如 图 矩 形 纸 片 ABCD中 ，已 知 AD =8 ，折 叠 纸 片 使 AB 边 与 对 角 线 AC

14、 重 合 ， 点 B 落 在 点 F 处 ， 折 痕 为 AE， 且 EF=3 则 AB 的 长 为 （） A 3 B 4 C 5 D 6 【变式 2】正 方 形 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 边 长 都 是 1每 个 小 格 的 顶 点 叫 做 格 点 ，以 格 点 为 顶 点 分 别 按 下 列 要 求 画 三 角 形 ： （ 1） 在 图 1 中 ， 画 ABC ， 使 ABC 的 三 边 长 分 别 为 3、2 2、5； （ 2） 在 图 2 中 ， 画 DEF ， 使 DEF为 钝 角 三 角 形 且 面 积 为 2 【变式 3】如 图 ， AC =BC =10 cm ，

15、B=15 ， AD BC 于 点 D， 则 AD 的 长 为 （） A 3cmB 4cmC 5cmD 6cm 【题型五：线段的垂直平分线定理的应用】 【例题 1】如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=15 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 E， 交 BC 于 D， BD =8 ， 则 AC= 【例题 2】如 图 ， 在 ABC 中 ， 分 别 以 点 A 和 点 B 为 圆 心 ， 大 于 2 1 AB 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 M ， N， 作 直 线 MN ， 交 BC 于 点 D， 连 接 AD 若 ADC 的 周 长 为 10 ，

16、 AB =7， 则 ABC 的 周 长 为 （） A 7 B 14 C 17 D 20 【例题 3】如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， B=90 ， ED 是 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 交 AC 于 点 D ， 交 BC 于 点 E 已 知 BAE =10， 则 C 的 度 数 为 （） A 30B 40C 50D 60 【例题 4】如 图 所 示 ，在 Rt ABC 中 ， ACB =90 ， AC =BC ，D 为 BC 边 上 的 中 点 ，CE AD 于 点 E， BF AC 交 CE 的 延 长 线 于 点 F， 求 证 ： AB 垂 直 平 分 DF 【变式 1】如 图

17、， 在 ABC 中 ， 已 知 AC =29 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 点 D ， 交 AC 于 点 E BCE 的 周 长 等 于 50， 则 BC 的 长 为 （） A 2lB 22 C 23 D 24 【变式 2】如 图 ， A、 B 表 示 两 个 仓 库 ， 要 在 A、 B 一 侧 的 河 岸 边 建 造 一 个 码 头 ， 使 它 到 两 个 仓 库 的 距 离 相 等 ， 码 头 应 建 在 什 么 位 置 ? 你 能 画 图 说 明 吗 ? 【变式 3】如 图 ，AD 为 BAC 的 角 平 分 ，线 段 AD 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 M，

18、交 AC 于 N， 试 说 明 MD AC 【变式 4】如 图 ，在 ABC 中 ， AB=AC ， D 是 AB 的 中 点 ，且DE AB， BCE 的 周 长 为 8cm， 且 AC BC =2cm， 求 AB、 BC 的 长 【题型六：角平分线定理的应用】 【例题 1】如 图 ， Rt ABC 中 ， C=90 ， ABC 的 平 分 线 BD 交 AC 于 D ， 若 CD =3cm， 则 点 D 到 AB 的 距 离 DE 是 （） A 5cmB 4cm C 3cmD 2cm 【例题 2】如 图 ， 直 线 a、 b、 c， 表 示 三 条 相 互 交 叉 的 公 路 ， 现 拟

19、建 一 个 货 物 中 转 站 ， 要 求 它 到 三 条 公 路 的 距 离 都 相 等 ， 则 可 以 供 选 择 的 地 址 有 （） A 一 处B 四 处C 七 处D 无 数 处 【例题 3】求 作 一 点 P， 使 PC =PD ， 且 点 P 到 AC， AB 的 距 离 相 等 （ 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 ） 【例题 4】（ 1）班 同 学 上 数 学 活 动 课 ，利 用 角 尺 平 分 一 个 角（ 如 图 所 示 ）设 计 了 如 下 方 案 ： （ ） AOB 是 一 个 任 意 角 ， 将 角 尺 的 直 角 顶 点 P 介 于 射

20、线 OA 、 OB 之 间 ， 移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相 同 的 刻 度 与 M 、 N 重 合 ， 即 PM =PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB 的 平 分 线 （ ） AOB 是 一 个 任 意 角 ，在 边 OA 、 OB 上 分 别 取 OM=ON ，将 角 尺 的 直 角 顶 点 P 介 于 射 线 OA 、 OB 之 间 ， 移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相 同 的 刻 度 与 M、 N 重 合 ， 即 PM =PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB 的 平 分 线 （ 1） 方 案 （ ） 、 方

21、案 （ ） 是 否 可 行 ? 若 可 行 ， 请 证 明 ； 若 不 可 行 ， 请 说 明 理 由 ； （ 2） 在 方 案 （ ） PM =PN 的 情 况 下 ， 继 续 移 动 角 尺 ， 同 时 使PM OA ， PN OB 此 方 案 是 否 可 行 ? 请 说 明 理 由 【变式 1】如 图 ， OP 平 分 MON ， PA ON 于 点 A， 点 Q 是 射 线 OM 上 的 一 个 动 点 ， 若 PA=2， 则 PQ 的 最 小 值 为 （） A 1 B 2 C 3 D 4 【变式 2】如 图 ，利 用 尺 规 求 作 所 有 点 P，使 点 P 同 时 满 足 下 列

22、 两 个 条 件 ： 点 P 到 A， B 两 点 的 距 离 相 等 ； 点 P 到 直 线 l1， l2的 距 离 相 等 （ 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 ） 【变式 3】已 知 ：如 图 所 示 ， ABC 中 ， C=90 ，AD 是 BAC 的 平 分 线 ，DE AB 于 E， F 在 AC 上 ， BD =DF 求 证 ： CF =EB 【题型七：反证法、互逆命题、互逆定理】 【例题 1】否定 “ 自然数 a、b、c 中恰有一个偶数” 时的正确反正假设为（） Aa、b、c 都是奇数Ba、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 Ca、b、c 都是偶数Da

23、、b、c 中至少有两个偶数 【例题 2】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （ 1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0，那么 a=0， b=0； （ 4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 【变式1】用反证法证明命题“ 三角形的内角中至少有一个不大于60 ”时，反证假设正确的是 （） A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60 【变式 2】证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角 【巩固练习】 1 使 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 是 （） A 一 个

24、 锐 角 对 应 相 等B 两 个 锐 角 对 应 相 等 C 一 条 边 对 应 相 等D 两 条 边 对 应 相 等 2 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， AC =9 ， BC =12 ， 则 点 C 到 AB 的 距 离 是 （） A 36 5 B 12 25 C 9 4 D 3 3 4 3 三 角 形 内 有 一 点 到 三 角 形 三 顶 点 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 一 定 是 三 角 形 的 （） A 三 条 中 线 的 交 点B 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 C 三 条 高 的 交 点D 三 条 角 平 分 线 的 交 点 4 如 图 ， 在 ABC

25、中 ， DE 垂 直 平 分 AB， FG 垂 直 平 分 AC ， BC =13 cm， 则 AEG 的 周 长 为 （） A 6.5 cmB 13cm C 26cmD 15 5 如 图 ， 点 D 为 线 段 AB 与 线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 的 交 点 ， A=35 ， 则 D 等 于 （） A 50B 65C 55D 70 6 如 图 ， ABC =50 ， AD 垂 直 平 分 线 段 BC 于 点 D ， ABC 的 平 分 线 交 AD 于 E， 连 接 EC ； 则 AEC 等 于 （） A 100B 105C 115D 120 7 如 图 ， POA = POB

26、 ， PD OA 于 点 D， PE OB 于 点 E， OP =13 ， OD =12 ， PD =5， 则 PE=（） A 13 B 12 C 5 D 1 8 如 下 图 左 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 点 P 在 AB 上 ， 且 PC 平 分 ACB 若 PB =3， AC =10 ， 则 PAC 的 面 积 为 9已 知 ：如 上 图 右 ， AB CD ，O 为 BAC 、 ACD 的 平 分 线 的 交 点 ， OE AC 于 点 E， 若 两 平 行 线 间 的 距 离 为 6， 则 OE = 10 如 图 ， ACB和 ECD都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， A，

27、C， D 三 点 在 同 一 直 线 上 ， 连 接 BD ， AE ， 并 延 长 AE 交 BD 于 F （ 1） 求 证 ： ACE BCD ； （ 2） 直 线 AE 与 BD 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 11 已 知 ： 如 图 ， B= C=90 ， M 是 BC 的 中 点 ， DM 平 分 ADC （ 1） 若 连 接 AM ， 则 AM 是 否 平 分 BAD ? 请 你 证 明 你 的 结 论 ； （ 2） 线 段 DM 与 AM 有 怎 样 的 位 置 关 系 ? 请 说 明 理 由 12 如 图 ， AD 为 ABC 的 角 平 分 线 ， DE

28、 AB， DF AC ，垂 足 分 别 为 E， F，连 接 EF， EF 交 AD 于 点 G、 试 判 断 线 段 AD 与 EF 的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 13 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 垂 直 平 分 AB ， 分 别 交 AB、 BC 于 D、 E 点 MN 垂 直 平 分 AC ， 分 别 交 AC 、 BC 于 M、 N 点 （ 1） 若 BAC =100， 求 EAN 的 度 数 ； （ 2） 若 BAC =70， 求 EAN 的 度 数 ； （ 3） 若 BAC =（ 90） ， 直 接 写 出 用 表 示 EAN 大 小 的 代 数 式

29、 【课后练习】 1 利 用 基 本 尺 规 作 图 ， 下 列 条 件 中 ， 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 （） A 已 知 斜 边 和 一 锐 角B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角 C 已 知 斜 边 和 一 直 角 边D 已 知 两 个 锐 角 2 如 图 ， 直 线 l 上 有 三 个 正 方 形 a， b， c， 若 a， c 的 面 积 分 别 为 5 和 11， 则 b 的 面 积 为 （） A 4 B 6 C 16 D 55 3 如 图 ， 有 A、 B、 C 三 个 居 民 小 区 的 位 置 成 三 角 形 ， 现 决 定 在 三 个 小 区

30、之 间 修 建 一 个 购 物 超 市 ， 使 超 市 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 ， 则 超 市 应 建 在 （） A 在 AC ， BC 两 边 高 线 的 交 点 处 B 在 AC ， BC 两 边 中 线 的 交 点 处 C 在 AC ， BC 两 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 处 D 在 A， B 两 内 角 平 分 线 的 交 点 处 4 已 知 ： 如 图 ， ABC 的 A ABC ， 边 BC 的 垂 直 平 分 线 DE 分 别 交 AC ， BC 于 D ， E， 则 AD +BD 与 BC 的 关 系 是 （） A 大 于B 小 于 C 等 于D 不

31、能 确 定 5 如 图 有 一 块 直 角 三 角 形 纸 片 ， ACB =90 ， 两 直 角 边 AC =4， BC =8， 线 段 DE 垂 直 平 分 斜 边 AB， 则 CD 等 于 （） A 2 B 2.5 C 3 D 3.5 6 如 图 ， AOB =30 ， OP 平 分 AOB ， PC OB ， PD OB ， 如 果 PC =6， 那 么 PD 等 于 （） A 4 B 3 C 2 D 1 7 如 图 ， OP 平 分 AOB ， PA OA ， PB OB， 垂 足 分 别 为 A， B 下 列 结 论 中 不 一 定 成 立 的 是 （） A PA=PBB PO 平

32、 分 APB C OA=OBD AB 垂 直 平 分 OP 8 2011 年 4 月 21 日 是 重 庆 一 中 80 周 年 校 庆 日 ， 学 校 准 备 进 一 步 美 化 校 园 ， 在 校 内 一 块 四 边 形 草 坪 内 栽 上 一 棵 银 杏 树 如 图 ， 要 求 银 杏 树 的 位 置 点 P 到 边 AB、 BC 的 距 离 相 等 ， 并 且 P 到 点 A、 D 的 距 离 也 相 等 请 用 尺 规 作 图 作 出 银 杏 树 的 位 置 点 P（ 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ） 9 已 知 ， 如 图 ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， AE=CD ， AD 、 BE 相 交 于 点 P （ 1） 求 证 ： AEB CDA ； （ 2） 求 BPQ 的 度 数 ； （ 3） 若 BQ AD 于 Q， PQ =6， PE=2， 求 BE 的 长 10 如 图 ， ABC 中 ， O 是 BC 的 中 点 ， D 是 BAC 平 分 线 上 的 一 点 ， 且 DO BC ， 过 点 D 分 别 作 DM AB 于 M， DN AC 于 N 求 证 ： BM =CN