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1、1 1.2.3 直线与平面的位置关系（3） 教学目标： 1. 掌握平面的斜线及其在平面上的射影、直线和平面所成角等有关概念； 2. 掌握求直线和平面所成角的方法； 3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力. 教材分析及教材内容的定位： 直线和平面所成的角是继学习异面直线所成角后的又一个空间角，及后面将学习的二面 角都是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求. 复习异面直线所成的角有利于 学生进行对比和联系，掌握线面所成的角同时也为后继学习作好铺垫. 平面外的直线和其在 平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内 的射影的夹角的大小仅取决
2、于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学 中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念. 应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化， 方 法上需强调解题步骤, 在思想上要注意平面化思想，以及转化与化归思想的渗透. 教学重点： 线面夹角的概念及求法 教学难点： 找到直线和平面所成的角. 教学方法： 合作交流，启发式. 教学过程： 一、问题情境 1问题：观察如图（1）所示的长方体ABCDA1B1C1D1 （1）直线AA1和平面ABCD是什么关系 ? （2）直线A1B，A1C，A1D和平面ABCD是否垂直 ? A B C D A1 C1 B1 D1 A B
3、C D 2 （3）直线A1B，A1C，A1D与点B，C，D它们又如何命名呢？ 二、学生活动 1举出生活中直线和平面不垂直的例子； 2回忆：我们是如何求异面直线所成的角的呢？ 3思考：怎样来刻画直线和平面的不同的倾斜程度呢？ 三、建构数学 1斜线：一条直线与平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线， 斜线与平面的交点叫斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段. 2斜线在平面内的射影：过平面外一点向平面引斜线和垂线，过斜足和垂足的直线就 是斜线在平面内的正投影，简称射影. 3平面的斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角, 叫做直线 和平面所成的角. 说明 : （1）若直
4、线垂直平面, 则直线和平面所成的角为90 ； （2）若直线和平面平行或直线在平面内, 则直线和平面所成的角为0 ； （3） 斜线和平面所成角的取值范围为（0 ，90 ）； 直线和平面所成角 的取值范围为0 ， 90 ； （4）直线PQ与平面 所成的角PQP1是PQ与平面 内经过点Q的直线所成的所有 角中最小的角 . 四、数学运用 1例题 . 例 1 在正方体ABCD- A1B1C1D1中, 求 : （1）直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角 . 例 2 如图，已知AC、AB分别是平面 的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a? ， aBC，求证：aAB
5、 P Q P P1 A1 C1 B1 D1 A B C D a C B A 3 变式： 求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线 在这个平面内的射影垂直 例 3 已知BAC在平面 内，点P在 外，PABPAC求证 : 点P在平面 内 的射影在BAC的角平分线上 2练习 . （1）两条平行直线在平面内的射影可能是：两条平行线；两条相交直线；一条 直线；两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （2）设斜线与平面所成角为，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 （3）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm， 这条线段与平面所成的角是 . （4）如图所示，已知正ABC的边长为6cm ，点O到ABC的各顶点的距离都是4cm 求点O到这个三角形所在平面的距离； 求AO与底面ABC所成的角的大小 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： （1）直线和平面所成的角； （2）直线和平面所成角 的取值范围为0 90 ； （3）求斜线和平面所成角的步骤：作出（或找到）斜线与平面所成的角；证明且 指出所作出的角符合定义；放在直角三角形中计算简称为：一作、二证、三计算 A B C P O E F O A C B