4初二复习+分式与分式方程复习.pdf

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1、知识梳理 一、分式 1、分式的概念、有无意义或等于零的条件 (1) 概念：形如，且 A、B 为整式， B 中含字母。 (2) 分式有意义的条件：分母不等于零； (3) 分式无意义的条件：分母等于零； (4) 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。（在分式有意义的前提下，才可讨论分式值为零） 说明： (1) 分式中的分母必须含有字母，但作为分子的整式不一定含有字母；(2) 分式值为零，则分子为零， 分母不为零。二者缺一不可；(3) 分式无意义，则分母为零。 2、分式的基本性质、约分、最简分式 基本性质 ：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，符号表示： ( 其

2、中 A，B，M 是整式，且M0)。 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形，称为约分。 说明： (1) 约分的依据是分式的基本性质；(2) 如果分式的分子和分母是多项式，要先对多项式分解因式，然 后再约分； (3) 约分一定要彻底，化成最简分式(在分式化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为 最简分式。 )。 3、分式的乘除法 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 分式的乘方：分式的乘方，等于把分子和分母分别乘方，式子表示为：（n 为正整数）。 说明：

3、 (1) 当分式的分子，分母为多项式时，要先分解因式，再进行分式的乘除运算；(2) 进行分式的乘除混 合运算时，一定要按从左到右的顺序进行；(3) 分式乘除运算的结果必须为最简分式或整式，并注意其结果的正 负性。 4、分式的加减法则 (1) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，最后化简为最简分式。 (2) 异分母分式相加减，先通分（确定分式的最简公分母），然后再按同分母分式相加减的法则进行。 5 、分式的加、减、乘、除混合运算 分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的。 二、分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

4、。 2.解分式方程 （1）基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“ 去分母 ” ，即方程两边同乘以最简公分母 （2）一般地，解分式方程时，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整 式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就 不是原分式方程的解(即原方程的增根) （3）解分式方程的一般步聚是：(1)去分母，把分式方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根； (4)结论 （4）分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须要检 验是否为原

5、方程的根，又要检验是否符合题意。 【提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工程问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、 航行这一类型】 例题精讲 【题型一】【例 1】代数式 2 1 , 1 3 xxa x xx 中，分式的个数是（） A1 B2 C3 D 4 练习：当x时，分式 4 2 2 x x 有意义。当x时，分式 1 87 2 x xx 的值为零。 当x时，分式 x x 612 1 2 的值为负数。当x时，分式 x x 32 2 的值为 1。 【例 2】下列分式是最简分式的是（ ） A.B.C.D. 练习： 1.下列分式中，计算正确的是 ( ) A、 3 2 )(3 )(2

6、acba cb B 、 baba ba1 22 C、 1 )( )( 2 2 ba ba D、 xyyxxy yx1 2 22 2. 在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立： 来源 :Z|xx|k.Com (1) 2 ab2xa 2b2 ； (2) a 3 ab 2 ab 2 a ab . 【方法技巧】分式中分母含有字母的且不为零；掌握分式约分的方法，明白最简分式的概念。 【题型二】【例 1】化简 x 2 x1 x 1x 练习： 1.化简 aa a aa a 22 1 1 31 3 【例 2】先化简，再求值： 2 11 (1) 22 a aa ，其中2a。 练习： 1.先化简，再求值： 2

7、22 412 4422 a aaaaa ，其中 a是方程 2 310xx 的根 2. 已知 x23x10，求 x2 1 x 2的值 3.已知 1 x1 1，求 2 x1x 1的值 【题型三】【例 1】解下列方程： （1）0 1 3 5 22 x x x x （2） 4 16 2 2 2 2 2 x x x x x 练习： 2 2 24 4 1 2 xx x x x 0 1 2 2 1 xx 【例 2】行程问题 : 甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车行30 千米到 B 地，甲比乙每小时少走3 千米，结果 乙先到 40 分钟。若设乙每小时走x 千米，则可列方程( ) A. 30302 33xx

8、B. 30302 33xx C. 30302 33xx D. 30302 33xx 销售问题： 某校用 420 元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5 元，结果比用原价多买了20 瓶， 求原价每瓶多少元? 设原价每瓶x元，则可列出方程为( ) A20 5.0 420420 xx B20 420 5 .0 420 xx C5 .0 20 420420 xx D5 .0 420 20 420 xx 工程问题： 一台甲型拖拉机4 天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1 天耕完这块地的另一半。 乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 练习： 1.为了适应国民经济持续快速协调的发

9、展，自 2004 年 4 月 18 日起， 全国铁路实施第五次提速，提速后， 火车由天津到上海的时间缩短了7.42 小时 . 若天津到上海的路程为1326 千米，问提速前后的速度各是多少？ 2. 我军某部由驻地到距离30 千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5 倍， 才能按要求提前2 小时到达，求急行军的速度。 3. 轮船顺水航行80 千米所需要的时间和逆水航行60 千米所用的时间相同。已知水流的速度是3 千米 /时，求轮 船在静水中的速度。 4.根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长300 米的盲道 .铺设了 60 米后，由于采用新的施工方式， 实际

10、每天修建盲道的长度比原计划增加10 米，结果共用了8 天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多 少米？ 5. 在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要60 天；若 由甲队先做20 天，剩下的工程由甲、乙合做24 天可完成 （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5 万元，乙队施工一天需付工程款2 万元若该工程计划在70 天内完成，在 不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 6. 某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨，已知现在采煤33000 吨煤所需的时

11、间和原计划采23100 吨煤的时 间相同，问现在平均每天采煤多少吨。 7. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用 p 表示 d。 巩固训练 一、选择题 1. 下列分式是最简分式的是（） A. 1 1 m m B. 3 xyy xy C. 22 xy xy D. 61 32 m m 2. 将分式 2 x xy 中的x、y的值同时扩大 2倍，则分式的值（ ） A.扩大2倍 B.缩小到原来的 2 1 C.保持不变 D.无法确定 3. 若分式 1 1 2 x x 的值为零，则 错误！未找到引用源。的值为 ( ) A.错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源

12、。B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。 4. 对于下列说法，错误的个数是（） 错误！未找到引用源。 是分式； 当 1x 时， 2 1 1 1 x x x 成立；当 错误！未找到引用源。 时，分式 3 3 x x 的值是零； 1 1abaa b ； 2aaa xyxy ； 3 23 2 x x . A.6 B.5 C.4 D.3 5. 计算 2 11 11 11xx 的结果是（） A.1 B.错误！未找到引用源。 C. 1x x D. 1 x x 6. 设一项工程的工程量为1，甲单独做需要错误！未找到引用源。天完成，乙单独做需要错误！未找到引用源。 天完成，

13、则甲、乙两人合做一天的工作量为（） A.错误！未找到引用源。 B. 1 ab C. 2 ab D. 11 ab 7. 分式方程 1 31 xx xx 的解为（） A.1xB.1x C.3x D.3x 8. 下列关于分式方程增根的说法正确的是( ) A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 9. 某人生产一种零件, 计划在 错误！未找到引用源。天内完成 ,若每天多生产错误！未找到引用源。个, 则错误！ 未找到引用源。天完成且还多生产错误！未找到引用源。个，问原计划每天生产多少个零件?设原计划每天生 产错

14、误！未找到引用源。个零件 , 列方程得 ( ) A. 3010 25 6 x x B. 3010 25 6 x x C. 30 2510 6 x x D. 3010 2510 6 x x 10. 某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则超过规定日 期 3 天，现在甲、乙两队合做2 天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期. 如果设规定日期 为错误！未找到引用源。天，下面所列方程中错误的是( ) A. 2 1 3 x xx B. 23 3xx C. 112 21 33 x xxx D. 1 1 3 x xx 二、填空题 11. 若分式 3

15、3 x x 的值为零，则x . 12. 将下列分式约分：(1) 2 5 8x x 错误！未找到引用源。；(2) 2 2 35 7 mn nm 错误！未找到引用源。； (3) 2 2 )( )( ab ba 错误！未找到引用源。 . 13. 计算： 2 2 23 3 62 c ab bc ba = . 14. 已知 错误！未找到引用源。 ，则 22 2 nm m nm n nm m _. 15. 当x_时，分式 1 3 x 无意义；当x_时，分式 3 9 2 x x 的值为 16. 若方程2 55 xm xx 有增根5x，则 m_. 17. 为改善生态环境, 防止水土流失 , 某村拟在荒坡地上种

16、植960 棵树 , 由于青年团员的支持, 每日比原计划多种 20 棵, 结果提前4 天完成任务 , 原计划每天种植多少棵树?设原计划每天种植错误！未找到引用源。棵树，根据 题意可列方程_. 18. 在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛当时洪水流速为10 km/h ，张师傅奉命用冲锋舟去救援， 他发现沿洪水顺流以最大速度航行2 km 所用时间，与以最大速度逆流航行1.2 km 所用时间相等.请你计算出 该冲锋舟在静水中的最大航速为 . 三、解答题 19. 计算与化简： （1） 2 22xy yx ；（2） 2 22 11 444 aa aaa ； （3） 2 21 42 a aa ；（

17、 4） 2 1 1 a a a . 20. （6 分）先化简，再求值： 22 2 69 3 baba aba , 其中 8a 错误！未找到引用源。 ， 2 1 b. 21. 若 x 1 y 1 错误！未找到引用源。 ，求 yxyx yxyx 2 232 的值 . 22. 当 x=3 错误！未找到引用源。时，求 222 112 2442xxxxxx 的值 23. 已知 2 3 2130 2 abab ，求代数式 22 1 baa a ababab 的值 24. 解下列分式方程： （1） 7 30100 xx ；（2）1 32 54 32 97 x x x x . 25. 某人骑自行车比步行每小时

18、快8 km, 坐汽车比骑自行车每小时快16 km, 此人从 错误！未找到引用源。 地出发 , 先步行 4 km, 然后乘坐汽车10 km 就到达 错误！未找到引用源。地 , 他又骑自行车从错误！未找到引用源。地 返回 错误！未找到引用源。地, 结果往返所用的时间相等, 求此人步行的速度. 【能力提升】 1. 要使分式 2 3 x x 有意义，则x 须满足的条件为 2. 若，且，则的 值等于. 3. 、已知，则. 4. mn n nm m 22 。1 1 1 2 a a a 。 5. 已知3 11 yx 。则分式 yxyx yxyx 2 232 的值为。 6. 若x0，则 3 1 3 1 xx

19、。 7. 若分式 1x x 的值是整数，则整数x的值是。 8. 请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： 1 1 2 2 23 x x xx xx 。 9.已知分式方程k x k 1 31 无解，则k的值是 二、选择题： 1. 在代数式 13x x 、 2 1 2 x 、 2 3 y x 、 2 3 a ba 、 1 1 2 x x 、 a 中，分式的个数是（） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2. 对于非零的两个实数a、b，规定 11 ab ba . 若1(1)1x则x的值为（） A. 2 3 B. 1 C. 2 1 D. 2 1 3.若解方程 3 3 3

20、x m x x 出现增根，则m的值为 ( ) A 0 B 1 C3 D1 4. 如果 x y 3，则 xy y 等于 A 4 3 Bxy C4 D x y 5. 化简 2 1 1 a a a 的结果是 ( ) A . 1 1a B. 1 1a C. 21 1 a a D. 2 1 1 aa a 三、解答题 1. 已知2012x，求代数式 693 1 x x xx 的值 2.已知 a=25, 25b,求2 b a a b 的值. 3. 若关于 x 的方程 x x x k 3 4 2 3 有增根，试求 k 的值. 4. A,B 两地相距 80 千米，一辆公共汽车从A 地出发开往 B 地，2 小时后

21、，又从 A 地开来一辆小汽 车，小汽车的速度是公共汽车的3 倍,结果小汽车比公共汽车早到40 分钟到达 B 地,求两种车的 速度. 课后作业 1分式的值为 0，则 x 的值为（） A 1 B 0 C 1 D 0 或 1 2 3若方程 2 1 2 xa x 的 解是 正数，求a 的取值范围关于这道题，某同学做出如下解答 解：去分母得，22xax， 化简得，32xa， 故 2 3 a x 欲使方程的根为正数，则 2 0 3 a ，解得，2a 所以 ，当2a时，方程 2 1 2 xa x 的解是正数 上述解法是否有误？若有错误，请说明错误的原因，并写出正确的解答过程；若没有错误，请说出每一步 解法的

22、依据 4. 先化 简 2 2 12 1 11 xx xx ，然后从不等式组 13 24 x x 的解集中选取一个你认为符合题意的 x 的值代入 求值 5.探索：若 32 3 11 xm xx ，则m_； 若 53 5 22 xm xx ，则m_ 来源 : 学科网 总结：若 axbm a xcxc （其中 a，b，c 为常数），则m_ 应用：若代数式 43 1 x x 的值为整数，求满足条件的整数x 的值 6. 列方程（组）解应用题： 某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200 元，已知甲班比乙班多8 人，乙班人均捐款是甲 班人均捐款的倍，求：甲、乙两班各有多少名学生? 7. 今

23、年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A 种板材48 000 m2 和 B 种板材 24 000 m2 的任务 （1）若该厂安排210 人生产这两种板材，每人每天能生产A 种板材 60 m2 或 B 种板材 40 m2，则应分别安排多 少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？ （2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400 间，已知搭建1 间甲型板房和 1 间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示： 板房A种板材（ m2 ）B种板材（ m2 ） 安置人数 来源 : 学科 网 ZXXK 甲型108 61 12 乙型156 51 10 则这 400 间板房最多能安置多少灾民？