上海市2013届高考压轴卷数学文试题.pdf

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1、上海市 2013 届高三下学期高考压轴卷数学文试 题 考生注意： 1.答卷前， 考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚， 并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有23 道题，满分150 分，考试时间120 分钟 . 一.填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数2 log (1)yx 的定义域为. 2.复数z满足2)1(iz（其中i为虚单位），则z . 3.已知 | 1a ,| | 2b ,向量 a 与 b 的夹角为 60 ,则 |ab . 4.直线 0xy 被圆 22 40xxy 截得的弦长

2、为 5.在等差数列 n a 中，若 1 1a ，前 5 项的和 5 25S ，则 2013 a . 6.若函数 2 log,0 ( ) ( ),0 x x f x g xx 是奇函数，则( 8)g. 7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果 为. 8.不等式组 2 0 1 x y yx 表示的平面区域的面积是. 9.直 线l的参数 方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt （ 其 中t为 参数 ） ，圆C的 极坐 标方 程为 ) 4 cos(2， 过 直 线 上 的 点 向 圆 引 切 线 ， 则 切 线 长 的 最 小 值 是. 10. 若 直 线10xy与 圆 22 (

3、)2xay有 公 共 点 ， 则 实 数a取 值 范 围 是. 11.在ABC中，若 2,60 ,7aBb，则 c. 12.设 11 11 2 210 10 )2()2()2() 32)(2(xaxaxaaxx，则 210 aaa 11 a的值为 13.平行四边形 ABCD 中，E为 CD 的中点若在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M ， 则点 M 取自ABE内部的概率为. 14.给出定义：若 11 22 mxm(其中m为整数 )，则m叫做离实数 x最近的整数， 记作 x，即 xm.在此基础上给出下列关于函数( ) f xxx 的四个命题： ( )yf x的定义域是R，值域是 1 1 (

4、, 2 2 ；点( ,0)k是( )yf x的图像的对称 中心，其中kZ； 函数( )yf x的最小正周期为1； 函数( )yfx在 1 3 (, 2 2 上是增函数则上述命题中真命题的序号是 二.选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分. 15.已知函数 sin ,sincos , ( ) cos ,sincos , xxx f x xxx 则下面结论中正确的是（） A.( )f x是奇函数B.( )f x的值域是 1,1 C.( )f x是偶函数D.( )f x的值域是 2 ,

5、1 2 16.已知axxxxf 23 3 1 )(在区间 2, 1上有反函数， 则实数a的取值范围为 （） A.3,(B.), 1C.)1 , 3( D.),1 3,( 17.已知锐角,A B满足)tan(tan2BAA,则Btan的最大值为（） A.22B.2C. 2 2 D. 4 2 18.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 3 ，双曲线1 22 22 yx 的渐近线与 椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（） A.1 28 22 yx B.1 612 22 yx C.1 416 22 yx D.1 520 22

6、yx 三解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分）本题共2 小题，第（）小题6 分，第（）小题6 分. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a. 22 sin 13cos 17sin13 cos17； 22 sin 15cos 15sin15 cos15； 22 sin 18cos 12sin18 cos12； 22 sin ( 18 )cos 48sin( 18 )cos48； 22 sin ( 25 )cos 55sin( 25 )cos55. （）试从上述五个式子中选

7、择一个,求出常数a； （）根据 (1)的计算结果 ,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论 . 20.(本题满分 14 分）本题共2 小题，第（）小题6 分，第（）小题8 分. 如图,在长方体 1111 ABCDABC D中, 11 1,2ADA AAB,点E在棱AB上. （）求异面直线 1 D E与 1 A D所成的角； （）若二面角 1 DECD的大小为45,求点B到平面 1 D EC的距离 . 21.(本题满分 14 分）本题共2 小题，第（）小题6分，第 （）小题8 分. 某药厂在动物体内进行新药试验已知每投放剂量为m的药剂后， 经过x小时该药 剂 在 动 物 体 内 释

8、放 的 浓 度y( 毫 克 / 升 ) 满 足 函 数( )ymf x ， 其 中 2 1 25 , ( 04 ) ( ) 2 lg10,(4) xxx f x xxx 当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4 (毫克 /升) 时，称为该药剂达到有效 （）若2m，试问该药达到 有效 时，一共可持续多少小时（取整数小时）? （）为了使在8 小时之内（从投放药剂算起包括8 小时）达到 有效，求应该投放的药 剂量m的最小值（m取整数） . 22.(本题满分 16 分）本题共3 小题，第（）小题4 分，第（）小题6 分，第（） 小题 6分. 已知椭圆 2 2 1 4 y x 的左，右两个顶点分别为A、B，

9、曲线C是以A、B两点为 顶点，焦距为 2 5的双曲线 .设点 P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于 另一点T. （）求曲线C的方程； （）设P、T两点的横坐标分别为 1 x、 2 x，求证 12 xx为一定值； （）设T AB与POB（其中O为坐标原点） 的面积分别为 1 S与 2 S，且 15PA PB ， 求 22 12 SS的取值范围 . 23.(本题满分 18 分）本题共3 小题，第（）小题4 分，第（）小题6 分，第（） 小题 8 分. 设正数数列 n a的前n项和为 n S，且对任意的 nN ， n S是 2 n a和 n a的等差中项 （）求数列 n a的通项公式； （

10、）在集合|2 ,10001500Mm mk kZk且中，是否存在正整数m，使得 不等式 2 1005 2 n n a S对一切满足 nm的正整数 n都成立？若存在，则这样的正 整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数 m的值；若不存在，请说明理 由； （）请构造一个与数列 n S 有关的数列 n u ，使得 n n uuu 21 lim 存在，并求 出这个极限值 2013上海市 高考压轴卷 文科数学试题答案及解析 一.填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.【答案】1|xx . 【解析】由10x

11、得1x. 2.【答案】i1 【解析】i i i z1 2 )1(2 1 2 3.【答案】7 4.【答案】 2 2 【解析】圆的标准方程为 22 (2)4xy，圆心坐标为( 2,0)，半径为2，圆心到直 线+0x y的距离 2 2 2 d，所以弦长 22 2 2( 2)2 2. 5.【答案】4025 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 ， 51 54 255510 2 Sadd， 解 得2d， 所 以 2 0 1 312 0 1 2 12 0 1224 0 25aad. 6.【答案】3 【解析】因为函数( )f x为奇函数，所以 2 ( 8)( 8)(8)log 83fgf，即 ( 8)3g

12、。 7.【答案】 3 【解析】第一次循环有2,3,211nxy； 第二次循环有4,9,4 13nxy； 第三次循环有6,27,633nxy；此时满足条件，输出 3 loglog 273 y x. 8.【答案】 1 2 【 解 析 】 不 等 式 组 表 示 的 区 域 为 三 角 形BCD， 由 题 意 知 (1,0),(2,0),(2,1)CDB，所以平面区域的面积 111 1 1 222 BCD SCD BD。 9.【答案】2 6 【解析】sin2cos2，sin2cos2 2 ， 022 22 yxyxC的直角坐标方程为圆， 即1) 2 2 () 2 2 ( 22 yx，) 2 2 ,

13、2 2 (圆心直角坐标为 024yxl的 普 通 方 程 为直线， 圆心 C 到l直线 距离是5 2 |24 2 2 2 2 | ， 直线 l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是6215 22 10.【答案】 3,1 【解析】圆 22 ()2xay的圆心( ,0)C a到直线10xy的距离为d，则 |1| 2|1|1| 231 2 a draaa 11.【答案】3 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 得 222 2cos60bacac ， 即 21 7422 2 cc 整 理 得 2 230cc，解得3c。 12.【答案】 1 【解析】令1,x 则有 01211 1=.aaaa 13. 【答案

14、】 1 2 【解析】 ,根据几何概型可知点M取自ABE内部的概 率为 1 1 2 2 ABE ABCD AB h S P SAB h ，其中h为平行四边形底面的高。 14.【答案】 【解析】 中，令 1 1 ,(, 2 2 xma a，所以 1 1 ( )= (, 2 2 f xxxa 。所以正确。 (2)=22()()()fkxkxkxxxfxfx ，所以点 ( ,0)k 不是函 数 ( )f x 的图象的对称中心，所以 错误。(1)=1 1 ( )f xxxxxf x ， 所以周期为1， 正确。 令 1 ,1 2 xm， 则 11 () 22 f， 令 1 ,0 2 xm， 则 11 (

15、) 22 f， 所以 11 ()( ) 22 ff ，所以函数= ( )y f x在 1 3 (, 2 2 上是增函数错误。 ，所以正确的为 二选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15.【答案】 D 【解析】 在坐标系中， 做出函数( )f x的图 象如图，由图象可知选D. 16.【答案】 D 【解析】 321 ( ) 3 f xxxax在区间 1,2上有反函数 . 321 ( ) 3 f xxxax在区 间 1,2上 是单调 函数 ，则有 2 ( )20fxxxa在

16、区 间1, 2上恒 成 立，即 ( 1)03.fa故选 D. 17.【答案】 D 【解析】 A A A A ABA ABA ABAB tan 2 tan 1 tan21 tan tan)tan(1 tan)tan( )tan(tan 2 ， 又0tan A，则22 tan 2 tan A A 则 4 2 22 1 tanB . 【注】直接按和角公式展开也可. 18.【答案】 D 【解析】双曲线1 22 22 yx 的渐近线方程为xy，由 2 3 e可得ba2,椭圆方程 为1 4 2 2 2 2 b y b x ，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在一象限的小 正方形边长为m，则

17、24 2 mm，从而点（ 2,2）在椭圆上 , 即： 51 2 4 2 2 2 2 2 2 b bb .于是20, 5 22 ab.椭圆方程为1 520 22 yx ，答案应选D。 三解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分）本题共2 小题，第（）小题6 分，第（）小题6 分. 解:(）选择式计算: 4 3 30sin 2 1 115cos15sin15cos15sin 22 a. （）猜想的三角恒等式为: 4 3 )30cos(sin)30(cossin 22 . 证明:)30cos(sin)30

18、(cossin 22 22 sin(cos30 cossin30 sin)sin(cos30 cossin30 sin) 222233131 sincossincossinsincossin 42422 22333 sincos 444 . 20.(本题满分 14 分）本题共2 小题，第（）小题6 分，第（）小题8 分. 如图,在长方体 1111 ABCDABC D中, 1 1,2,ADAAAB点E在棱AB上. （）求异面直线 1 D E与 1 AD所成的角； （）若二面角 1 DECD的大小为45,求点B到平面 1 D EC的距离 . 解法一 :(1)连结 1 AD.由 11 AAD D是正

19、方形知 11 ADAD. AB平面 11 AAD D, 1 AD是 1 D E在平面 11 AAD D内的射影 . 根据三垂线定理得 11 ADD E, 则异面直线 1 D E与 1 A D所成的角为90. （）作DFCE,垂足为F,连结 1 D F,则 1 CED F. 所 以 1 DFD为 二 面 角 1 DECD的 平 面 角 , 1 45DFD. 于 是 11 1,2DFDDD F, 易得RtRtBCECDF,所以2CECD,又1BC,所以3BE. 设点 B 到平面 1 D EC的距离为h, 则由于 1 , B CEDDBCE VV即 11 1 11 1 3 23 2 CED F hB

20、E BC DD, 因此有 11 CE D F hBE BC DD,即2 23h, 6 4 h . 解法二 :如图 ,分别以 1 ,DDDCDA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. （）由 1(1,0,1) A,得 1 (1,0,1)DA, 设(1, ,0)Ea,又 1(0,0,1) D,则 1 (1, , 1)D Ea. 11 10 10DA D E 11 DAD E,则异面直线 1 D E与 1 A D所成的角为90. （）(0,0,1)m为面DEC的法向量 ,设( , , )x y zn为面 1 CED的法向量 ,则 ( , , )x y zn 222 |2 |cos,|cos45 |

21、2 z xyz m n m n mn , 222 zxy. 由(0, 2,0)C, 得 1 (0,2, 1)D C, 则 1 D Cn, 即 1 0D Cn,20yz 由、 ,可取(3,1,2)n,又(1,0,0)CB, 所以点B到平面 1 D EC的距离 |36 42 2 CB d n |n| . 21.(本题满分 14 分）本题共2 小题，第（）小题6 分，第（）小题8 分. 解： （）2m时， 2 41004 22lg204 xxx y xxx 当 40x 时， 2 1041014xx ，显然符合题意 当 4x 时，通过计算器由 22lg204xx 解得： 47x 综上07x，所以该药剂

22、达到 有效时，一共可持续 7 小时. （）由xfmy= 2 (2)704 2 lg104 m xmx mxmxmx 可知在区间4,0上有，即57mym， 在区间4,8上单调递减，即8lg8104lg 410mmmymmm， 为使4y 恒成立，只要 54m 且8lg8104mmm 即 4 5 m且 4 23lg 2 m，求得： 4m. 答：为了使在8 小时之内达到 有效，投放的药剂剂量m的最小值为4 22.(本题满分 16 分）本题共3 小题，第（）小题4 分，第（）小题6 分，第（） 小题 6分. 解： （）依题意可得1,0A，1,0B 双曲线的焦距为2 5，5c， 222 514bca 双曲

23、线C的方程为 2 2 1 4 y x （）证明：设点 11 ,P x y、 22 ,T xy（0 i x，1,2i） ， 直线AP的斜率为k（0k） ， 则直线AP的方程为1yk x 联立方程组 2 2 1 1 4 yk x y x 整理，得 2222 4240kxk xk-6 解得1x或 2 2 4 4 k x k 2 22 4 4 k x k 同理方程组 2 2 1 1 4 yk x y x 可得： 2 12 4 4 k x k 12 1xx为一定值 （）设点 11 ,P x y、 22 ,T xy（0 i x，1,2i） ， 则 11 1,PAxy ， 11 1,PBxy 15PA PB

24、， 2 111 1115xxy，即 22 11 16xy 点P在双曲线上，则 2 21 1 1 4 y x，所以 22 11 4416xx，即 2 1 4x 又点P是双曲线在第一象限内的一点，所以 1 12x 122 1 2 SAByy， 211 11 22 SOByy 22222222 12212112 1 44154 4 SSyyxxxx 由（ 2）知， 12 1xx，即 2 1 1 x x ，设 2 1 tx，则14t， 22 12 4 5SSt t ， 4 t t 在1,2上单调递减，在2,4上单调递增 当4t，即 1 2x时， 22 12 min 40SSf 当2t，即 1 2x时，

25、 22 12 max 21SSf 22 12 SS的取值范围为0,1 23.(本题满分 18 分）本题共3 小题，第（）小题4 分，第（）小题6 分，第（） 小题 8 分. 解： （）由题意得， nnn aaS 2 2， 当1n时， 1 2 11 2aaa，解得1 1 a， 当2n时，有 1 2 11 2 nnn aaS， 式减去式得， 1 2 1 2 2 nnnnn aaaaa 于是， 1 2 1 2 nnnn aaaa， 111 )( nnnnnn aaaaaa 因为0 1nn aa，所以1 1nn aa， 所以数列 n a是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 n a的通项公式为nan（

26、*Nn） （）设存在满足条件的正整数m，则 2 1005 2 )1( 2 nnn ，1005 2 n ， 2010n， 又2000M，2002，2008，2010，2012，2998 ， 所以2010m，2012，2998均满足条件， 它们组成首项为2010，公差为2的等差数列 设共有k个满足条件的正整数，则2998)1(22010k，解得495k 所以，M中满足条件的正整数m存在，共有495个，m的最小值为2010 （）设 n n S u 1 ，即 )1( 2 nn un ， 则 )1( 2 32 2 21 2 21 nn uuu n 1 1 12 1 11 3 1 2 1 2 1 12 nnn ，其极限存在，且 2 1 1 12limlim 21 n uuu n n n 注： n n S c u（c为非零常数）， 1 2 1 n Sc n n u（c为非零常数）， 1n Sc n n qu（c为非零常数，1|0q）等都能使 n n uuu 21 lim存在