中考数学-2013年农垦牡丹江管理局中考数学试卷及答案(word解析版).pdf

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1、- 1 - 黑龙江省农垦牡丹江管理局2013 年中考数学试卷 一、选择题（每题3 分，共 30 分） 1 （3 分） （2013?牡丹江）下列运算正确的是（） A B2a?3b=5ab C3a2 a2=3 D 考点 ： 整式的除法；算术平方根；单项式乘单项式；负整数指数幂 3718684 专题 ： 计算题 分析： A、利用负指数幂法则计算得到结果，即可作出判断； B、利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断； C、利用单项式除单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、利用平方根的定义化简得到结果，即可作出判断 解答： 解： A、2a 2 =，本选项错误； B、2a?3b=6ab，本选

2、项错误； C、3a 2 a2 =3，本选项正确； D、=4，本选项错误， 故选 C 点评： 此题考查了整式的除法，算术平方根，单项式乘单项式，以及负指数幂，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 2 （3 分） （2013?牡丹江）下列既是轴对称又是中心对称图形的是（） A BCD 考点 ： 中心对称图形；轴对称图形 3718684 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 解答： 解： A、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项准确； B、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称，是中心对称图形，故本

3、选项错误 故选 A 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合 3 （3 分） （2013?牡丹江）小明制作了十张卡片，上面分别标有110 这十个数字从这十张卡片中随机 抽取一张恰好能被4 整除的概率是（） A BCD 考点 ： 概率公式 3718684 分析： 在十张数字卡片中，恰好能被4 整除的有 4，8，共 2 个；求抽到的数能被4 整除的可能性个数，进 - 2 - 而得出答案 解答： 解： 110 中的数有： 4、8，共 2 个，就有 10 张卡片， 2 10=， 答：

4、从中任意摸一张，那么恰好能被4 整除的概率是； 故选： C 点评： 此题主要考查了概率公式，概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件A 出现 m 种结果，那么事件A 的概率 P（A）= 4 （3 分） （2013?牡丹江）如图是由八个相同小正方体组成的几何体，则其主视图是（） A BCD 考点 ： 简单组合体的三视图 3718684 分析： 主视图是从图形的正面看所得到的图形，根据小正方体的摆放方法，画出图形即可 解答： 解：主视图有3 列，从左往右分别有3，1，2 个小正方形， 故选： C 点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从物体的

5、正面看得到的视图 5 （3 分） （2013?牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0 （a 0）的解是 x=1，则 2013ab 的 值是（） A2018 B2008 C2014 D2012 考点 ： 一元二次方程的解 3718684 分析： 将 x=1 代入到 ax2+bx+5=0 中求得 a+b 的值，然后求代数式的值即可 解答： 解： x=1 是一元二次方程ax2+bx+5=0 的一个根， a?12+b?1+5=0， a+b=5， 2013ab=2013（ a+b）=2013（ 5）=2018 故选 A 点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根

6、直接代入方程得到待定系数的方 程即可求得代数式a+b的值 6 （3 分） （2013?牡丹江）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（） - 3 - A81B27C54D18 考点 ： 圆锥的计算 3718684 分析： 圆锥的侧面积 =底面周长 母线长 2，把相应数值代入即可求解 解答： 解：圆锥的侧面积=26 9 2=54 故选 C 点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于 圆锥的侧面扇形的弧长 7 （3 分） （2013?牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB 平行于 x 轴交 y 轴 于点 B，ABO

7、的面积是 1，则反比例函数的解析式是（） A BCD 考点 ： 反比例函数系数k 的几何意义 3718684 分析： 如图，过点A 作 ACx 轴于点 C，构建矩形 ABOC ，根据反比例函数函数系数k 的几何意义知 |k|= 四边形 ABOC 的面积 解答： 解：如图，过点A 作 ACx 轴于点 C则四边形 ABOC 是矩形， SABO=S AOC=1， |k|=S矩形 ABCO=S ABO+S AOC=2， k=2 或 k= 2 又函数图象位于第一象限， k0， k=2则反比函数解析式为 故选 C 点评： 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与

8、坐标 轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注 - 4 - 8 （3 分） （2013?牡丹江）如图， ABO 中，ABOB，OB=，AB=1 ，把ABO 绕点 O 旋转 150 后得 到A1B1O，则点 A1的坐标为（） A（1， ）B（1，） 或 （ 2，0） C（， 1）或 （0， 2） D（， 1） 考点 ： 坐标与图形变化-旋转 3718684 分析： 需要分类讨论：在把ABO 绕点 O 顺时针旋转150 和逆时针旋转150 后得到 A1B1O 时点 A 1的 坐标 解答： 解： ABO 中， AB OB，OB=，AB=1 ， tanAOB=， AOB=

9、30 如图 1， 当ABO 绕点 O 顺时针旋转 150 后得到 A 1B1O， 则A1OC=150 AOB BOC=150 30 90 =30 ， 则易求 A1（ 1，） ； 如图 2， 当ABO 绕点 O 逆时针旋转 150 后得到 A1B1O， 则A1OC=150 AOB BOC=150 30 90 =30 ， 则易求 A1（0， 2） ； 综上所述，点A1的坐标为（， 1）或（ 2，0） ； 故选 B 点评： 本题考查了坐标与图形变化旋转解题时，注意分类讨论，以防错解 9 （3 分） （2013?牡丹江）如图所示：边长分别为1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正 方形沿

10、该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s， 那么 s与 t 的大致图象应为（） - 5 - A BCD 考点 ： 动点问题的函数图象 3718684 专题 ： 分段函数 分析： 根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段； 小正方形向右未完全穿入大正方形， 小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形， 小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案 解答： 解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段； 小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2 2Vt 1=4Vt ， 小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2 21 1=3， 小正方形穿出大正方形

11、，S=Vt 1， 分析选项可得，A 符合； 故选 A 点评： 解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变 化情况 10 （3 分） （2013?牡丹江）如图，在ABC 中 A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边 的中点，连接 PM， PN， 则下列结论： PM=PN ； PMN 为等边三角形； 当 ABC=45 时， BN=PC其中正确的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 考点 ： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线3718684 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

12、可判断 正确； 先证明 ABM ACN ，再根据相似三角形的对应边成比例可判断 正确； 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM= ACN=30 ，再根据三角形的内角和定理求出 BCN+ CBM=60 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 BPN+ CPM=120 ，从而得到 MPN=60 ，又由 得 PM=PN，根据有一个角是60 的等腰三角 形是等边三角形可判断 正确； 当 ABC=45 时， BCN=45 ，由 P 为 BC 边的中点，得出BN=PB=PC，判断 正确 解答： 解： BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点， PM=BC，PN

13、=BC， - 6 - PM=PN ，正确； 在ABM 与ACN 中， A= A， AMB= ANC=90 ， ABM ACN ， ，正确； A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N， ABM= ACN=30 ， 在ABC 中， BCN+CBM 180 60 30 2=60 ， 点 P 是 BC 的中点， BM AC，CNAB ， PM=PN=PB=PC ， BPN=2BCN， CPM=2 CBM ， BPN+ CPM=2（ BCN+ CBM ）=2 60 =120 ， MPN=60 ， PMN 是等边三角形，正确； 当 ABC=45 时， CNAB 于点 N， BNC=90 ， B

14、CN=45 ， BN=CN ， P 为 BC 边的中点， PNBC，BPN 为等腰直角三角形 BN=PB=PC，正确 故选 D 点评： 本题主要考查了直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、 等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题 的关键 二、填空题（每题3 分，共 30 分） 11 （3 分） （2013?牡丹江）据2013 年黑龙江省垦区交通运输工作会议消息，今年垦区计划投资27 亿元用 于公路建设，将为全垦区社会经济发展提供有力支撑27 亿元用科学记数法表示为2.7 109元 考点 ： 科学记数法 表示较

15、大的数 3718684 分析： 科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正 - 7 - 数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 解答： 解： 27 亿=27 0000 0000=2.7 109， 故答案为： 2.7 109 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定a的值以及 n 的值 12 （3 分） （2013?本溪）在函数y=中，自变量x 的取值范围

16、是x 考点 ： 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件 3718684 分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0 可知： 2x1 0，解得 x 的范围 解答： 解：根据题意得：2x1 0， 解得， x 点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 13 （3 分） （2013?牡丹江）如图，在ABC 中， D 是 AB 边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ACD= ABC（答案不唯一），使

17、 ABC ACD （只填一个即可） 考点 ： 相似三角形的判定3718684 专题 ： 开放型 分析： 相似三角形的判定有三种方法： 三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 由此可得出可添加的条件 解答： 解：由题意得，A= A（公共角）， 则可添加： ACD= ABC ，利用两角法可判定ABC ACD 故答案可为：ACD= ABC 点评： 本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案 不唯一 14 （3 分） （2013?牡丹江）一组正

18、整数2、3、4、x 从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等， 那么 x 的值是5 - 8 - 考点 ： 中位数；算术平均数 3718684 分析： 根据这组数据的中位数和平均数相等，得出（3+4） 2=（2+3+4+x） 4，求出 x 的值即可 解答： 解：这组数据的中位数和平均数相等， （ 3+4） 2=（2+3+4+x） 4， 解得： x=5 故答案为： 5 点评： 此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的 那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出 方程 15 （3 分） （2013?牡丹江

19、） 小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120 元，已知篮球按标价打八折， 那么篮球的标价是150元 考点 ： 有理数的除法 3718684 分析： 先篮球的标价是x 元，根据篮球按标价打八折并花了120 元，列出方程，求出x 的值即可 解答： 解：设篮球的标价是x 元，根据题意得： 80%x=120 ， 解得： x=150， 则篮球的标价150元； 故答案为： 150 点评： 此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则和打折的定义并列出方程是本题的关键，是一道 基础题 16 （3 分） （2013?牡丹江）如图， AC 是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B 点到地面 C 涂着红色的油

20、漆，用测角仪测得地面上的D 点到 B 点的仰角是 BDC=45 ，到 A 点的仰角是 ADC=60 （测角仪的高度 忽略不计）如果BC=3 米，那么旗杆的高度AC=3米 考点 ： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 3718684 专题 ： 应用题 分析： 在 RtBDC 中，根据 BDC=45 ，求出 DC=BC=3 米，在 RtADC 中，根据 ADC=60 即可求出 AC 的高度 解答： 解：在 RtBDC 中， BDC=45 ， DC=BC=3 米， - 9 - 在 RtADC 中， ADC=60 ， AC=DCtan60 =3=3（米） 故答案为： 3 点评： 本题考查了解直角三角形的

21、应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一 般 17 （3 分） （2013?牡丹江）定义一种新的运算ab=a b，如 23=23=8，那么请试求（ 32） 2= 81 考点 ： 有理数的乘方3718684 专题 ： 新定义 分析： 首先根据运算ab=ab，把所求的式子转化为一般形式的运算，然后计算即可求解 解答： 解： （32） 2 =（3 2）2=92=81 故答案是： 81 点评： 本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是关键 18 （3 分） （2013?牡丹江）若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是a1 且 a 2 考点 ： 分式方程的解 3718

22、684 专题 ： 计算题 分析： 将 a 看做已知数求出分式方程的解得到x 的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可 得到 a的范围 解答： 解：分式方程去分母得：2xa=x1， 解得： x=a1， 根据题意得： a10 且 a11 0， 解得： a1 且 a 2 故答案为： a1 且 a 2 点评： 此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键注意分式方程分母不等于0 19 （3 分） （2013?牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8 厘米，底边为6 厘米的等腰三角形，她想用 这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2 的平行四边形， 平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的 底

23、角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为2.4cm 或cm 考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质 3718684 专题 ： 分类讨论 分析： 设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论， 若 BE 是平行四边形的一个短边， 若 BD 是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x 的值 解答： 解：如图AB=AC=8cm ，BC=6cm ， 设平行四边形的短边为xcm， 若 BE 是平行四边形的一个短边， - 10 - 则 EFBC， =， 解得 x=2.4 厘米， 若 BD 是平行四边形的一个短边， 则 EFAB， =，

24、 解得 x=cm， 综上所述短边为2.4cm 或cm 点评： 本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很 容易解答 20 （3 分） （2013?牡丹江）如图，边长为1 的菱形 ABCD 中， DAB=60 连结对角线AC ，以 AC 为边 作第二个菱形ACEF，使 FAC=60 连结 AE，再以 AE 为边作第三个菱形AEGH 使 HAE=60 按此规 律所作的第 n 个菱形的边长是（）n 1 考点 ： 菱形的性质 3718684 专题 ： 规律型 分析： 连接 DB 于 AC 相交于 M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC ，AE，AG 的长，从

25、而可发现规 律根据规律不难求得第n 个菱形的边长 解答： 解：连接DB， 四边形ABCD 是菱形， AD=AB ACDB， DAB=60 ， ADB 是等边三角形， - 11 - DB=AD=1 ， BM=， AM=， AC=， 同理可得AE=AC=（） 2，AG= AE=3=（） 3， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为（） n1， 故答案为（） n1 点评： 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力 三.解答题（本题共8 道题，满分60 分） 21 （5 分） （2013?牡丹江）先化简： （x），若 2 x 2，请你选择一个恰当的x 值（ x 是 整数）代入求

26、值 考点 ： 分式的化简求值3718684 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值代入进行计算即可 解答： 解：原式 = = =， 当 x=1 时，原式 = 点评： 本题考查的是分式的化简求值，在选取合适的x 的值时要保证分式有意义 22 （6 分） （2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点 A（1，0） ，C（0， 3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P 使ABP 的面积为 10，请直接写出点P 的坐标 - 12 - 考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质3718684 分析： （1）利用待定系数法把

27、A（1，0） ，C（0， 3）代入）二次函数 y=x 2 +bx+c 中，即可算出b、c 的 值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x3； （2）首先求出A、B 两点坐标，再算出AB 的长，再设P（m，n） ，根据 ABP 的面积为 10 可以 计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P点坐标 解答： 解： （1）二次函数y=x 2 +bx+c 过点 A（1，0） ，C（0， 3） ， ， 解得， 二次函数的解析式为y=x 2+2x3； （2）当 y=0 时， x2+2x3=0， 解得： x1=3，x2=1； A（1，0） ，B（ 3，0） ， AB=4 ， 设 P（m

28、，n） ， ABP 的面积为 10， AB ?|n|=10， 解得： n= 5， 当 n=5 时，m2+2m3=5， 解得： m=4 或 2， P（4，5） （2，5） ； 当 n=5 时， m2+2m3=5， 方程无解， 故 P（ 4，5） （2，5） ； 点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的 点必能满足解析式 23 （6 分） （2013?牡丹江）如图，点C 是 O 的直径 AB 延长线上的一点，且有BO=BD=BC （1）求证： CD 是 O 的切线； - 13 - （2）若半径 OB=2，求 AD 的长 考点 ： 切线的判定；含

29、30 度角的直角三角形；勾股定理 3718684 专题 ： 证明题 分析： （1）由于 BO=BD=BC ，即 DB 为ODC 的边 OC 的中线，且有DB=OC，则 ODC=90 ，然后 根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由 AB 为 O 的直径得 BDA=90 ，而 BO=BD=2 ，则 AB=2BD=4 ，然后根据勾股定理可计算 出 AD 解答： （1）证明：连结OD，如图， BO=BD=BC ， BD 为ODC 的中线，且DB=OC， ODC=90 ， ODCD， 而 OD 为 O 的半径， CD 是 O 的切线； （2）解： AB 为O 的直径， BDA=90 ， BO=BD=

30、2 ， AB=2BD=4 ， AD=2 点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了直角三角 形的判定方法、勾股定理 24 （7 分） （2013?牡丹江）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投 篮 3 次现对九年级（ 1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信 息，回答下列问题 （1）求出九年级（ 1）班学生人数； （2）补全两个统计图； - 14 - （3）求出扇形统计图中3 次的圆心角的度数； （4）若九年级有学生200 人，估计投中次数在2 次以上（包括2 次）的人数 考点 ： 条形统

31、计图；用样本估计总体；扇形统计图 3718684 分析： （1）根据总数 =频数 百分比进行计算即可； （2） 利用总数减去投中0 次， 1 次， 3 次的人数可得投中2 次的人数，再根据百分比 =频数 总数 100% 可得投中2 次、 3 次的百分比，再补全图形即可； （3）图中 3 次的圆心角的度数=360 投中 3 次的百分比； （4）根据样本估计总体的方法进行计算即可 解答： 解： （1）九年级（ 1）班学生人数：2 5%=40（人） ； （2）投中两次的人数：402128=18（人）， 18 40 100%=45%，8 40 100%=20% 如图所示： （3）360 20%=72

32、； （4）200 （15%30%）=130（人） ， 答：投中次数在2 次以上（包括2 次）的人数有130 人 点评： 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及样本估计总体，读懂统计图，从不同的 统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小 - 15 - 25 （8 分） （2013?牡丹江）甲乙两车从A 市去往 B 市，甲比乙早出发了2 个小时，甲到达B 市后停留一 段时间返回，乙到达B 市后立即返回甲车往返的速度都为40 千米 /时，乙车往返的速度都为20 千米 /时， 下图是两车距A 市的路程 S（千

33、米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象请结合图象回答下列问题： （1）A、B 两市的距离是120千米，甲到B 市后，5小时乙到达B 市； （2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）请直接写出甲车从B 市往回返后再经过几小时两车相距15 千米 考点 ： 一次函数的应用 3718684 分析： （1）根据路程 =速度 时间的数量关系用甲车的速度 甲车到达乙地的时间久可以求出两地的距离， 根据时间 =路程 速度就可以求出乙需要的时间； （2）由（ 1）的结论可以求出BD 的解析式，由待定系数法就可以求出结论； （3）运用待定系数法求出EF

34、 的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可 解答： 解： （1）由题意，得 40 3=120km 120 203+2=5 小时， 故答案为： 120，5； （2） AB 两地的距离是120km， A（3，120） ，B（10，120） ，D（13，0） 设线段 BD 的解析式为S1=k1t+b1，由题意，得 ， 解得：， S1=40t+520 t 的取值范围为：10t 13； （3）设 EF 的解析式为s2=k2t+b2，由题意，得 ， - 16 - 解得：， S2=20t+280 当 20t+280 （ 40t+520）=15 时， t=； 当 40t+520 （ 20t+280

35、）=15 时， t= 点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，自变量的取值范围的运用，一次函数与一元一 次方程之间的关系的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键 26 （8 分） （2013?牡丹江）已知 ACD=90 ，MN 是过点 A 的直线，AC=DC ， DBMN 于点 B， 如图（1） 易 证 BD+AB=CB，过程如下： 过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E ACB+ BCD=90 ， ACB+ ACE=90 ， BCD= ACE 四边形 ACDB 内角和为 360 ， BDC+ CAB=180 EAC+ CAB=180 ， EAC= BDC 又 A

36、C=DC ， ACE DCB， AE=DB ，CE=CB， ECB 为等腰直角三角形，BE=CB 又 BE=AE+AB ， BE=BD+AB ， BD+AB=CB （1）当 MN 绕 A 旋转到如图（ 2）和图（ 3）两个位置时， BD、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的 猜想，并对图（ 2）给予证明 （2）MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30 ， BD=时，则 CD=2，CB=+1 - 17 - 考点 ： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质 3718684 分析： （1）过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，证明 ACE DCB，则 ECB

37、为等腰直角三 角形，据此即可得到BE=CB，根据 BE=AB AE 即可证得； （2）过点 B 作 BHCD 于点 H，证明 BDH 是等腰直角三角形，求得DH 的长，在直角 BCH 中，利用直角三角形中30 的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 解答： （1）如图（ 2） ：ABBD=CB 证明：过点C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E， ACD=90 ， ACE=90 DCE， BCD=90 ECD， BCD= ACE DBMN ， CAE=90 AFC， D=90 BFD， AFC= BFD， CAE= D， 又 AC=DC ， ACE DCB， AE=DB ，CE=C

38、B， ECB 为等腰直角三角形， BE=CB 又 BE=AB AE， BE=AB BD， AB BD=CB 如图（ 3） ：BDAB=CB 证明：过点C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E， ACD=90 ， ACE=90 +ACB ， BCD=90 +ACB， BCD= ACE DBMN ， CAE=90 AFB ， D=90 CFD， AFB= CFD， CAE= D， 又 AC=DC ， ACE DCB， AE=DB ，CE=CB， ECB 为等腰直角三角形， BE=CB 又 BE=AE AB， BE=BD AB ， BD AB=CB （2）如图（ 1） ，过点 B 作 BH

39、CD 于点 H， ABC=45 ，DB MN， - 18 - CBD=135 ， BCD=30 ， CBH=60 ， DBH=75 ， D=15 ， BH=BD ?sin45 ， BDH 是等腰直角三角形， DH=BH=BD=1， BCD=30 CD=2DH=2 ， CH=， CB=CH+BH=+1； 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA ，AAS ， SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等 27 （10 分） （2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700 元购进 40

40、台电脑，其中A 型电脑每台进价2500 元， B 型电脑每台进价2800 元， A 型每台售价3000 元， B 型每台售价3200 元，预计销售额不低于123200 元设 A 型电脑购进x 台、商场的总利润为y（元） （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润y（元）与购进A 型电脑 x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大， 最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（ 2）中的最大利润的一部分再次购进A 型和 B 型电脑至少各两台，另一部分为地震灾 区购买单价为500 元的帐篷若干顶在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A 型电脑、 B 型电脑和 帐篷的方案 考点 ： 一

41、次函数的应用；一元一次不等式组的应用3718684 分析： （1）设 A 型电脑购进x 台，则 B 型电脑购进（ 40x）台，根据总进价不超过105700 元和销售额 不低于 123200 元建立不等式组，求出其解即可； （2）根据利润等于售价进价的数量关系分别表示出购买A 型电脑的利润和B 型电脑的利润就求 其和就可以得出结论； （3）设再次购买A 型电脑 a 台， B 型电脑 b 台，帐篷 c 顶， a 2，b 2，c 1，且 a、b、c 为整数， 根据条件建立方程运用讨论法求出其解即可 解答： 解： （1）设 A 型电脑购进x 台，则 B 型电脑购进（ 40x）台，由题意，得 - 19

42、- ， 解得： 21 x 24， x 为整数， x=21，22，23，24 有 4 种购买方案： 方案 1：购 A 型电脑 21 台， B 型电脑 19 台； 方案 2：购 A 型电脑 22 台， B 型电脑 18 台； 方案 3：购 A 型电脑 23 台， B 型电脑 17 台； 方案 4：购 A 型电脑 24 台， B 型电脑 16 台； （2）由题意，得 y=（30002500）x+（32002800） （40x） ， =500x+16000400x， =100x+16000 k=1000， y 随 x 的增大而增大， x=24 时， y最大=18400 元 （3）设再次购买A 型电脑

43、a 台， B 型电脑 b 台，帐篷 c 顶，由题意，得 2500a+2800b+500c=18400， c= a 2，b 2，c 1，且 a、b、c为整数， 18425a28b0，且是 5 的倍数且c 随 a、b 的增大而减小 当 a=2，b=2 时， 18425a28b=78，舍去； 当 a=2，b=3 时， 18425a28b=50，故 c=10； 当 a=3，b=2 时， 18425a28b=53，舍去； 当 a=3，b=3 时， 18425a28b=25，故 c=5； 当 a=3，b=4 时， 18425a28b=2，舍去， 当 a=4，b=3 时， 18425a28b=0，舍去 有

44、2 种购买方案： 方案 1：购 A 型电脑 2 台， B 型电脑 3 台，帐篷 10 顶， 方案 2：购 A 型电脑 3 台， B 型电脑 3 台，帐篷 5 顶 点评： 本题考查了列不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，方案设计的运用，不 定方程的解法的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出解析式是解答本题的关键，巧解一元三次 不定方程是解答本题的难点 28 （10 分） （2013?牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线 AC=12 ，tanACO=， （1）求 B、C 两点的坐标； （2）把矩形沿直线DE 对折使点 C 落在点 A 处， DE 与 AC 相交

45、于点 F，求直线 DE 的解析式； - 20 - （3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由 考点 ： 一次函数综合题 3718684 分析： （1）利用三角函数求得OA 以及 OC 的长度，则C、B 的坐标即可得到； （2）直线 DE 是 AC 的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE 的解析 式； （3）分当 FM 是菱形的边和当OF 是对角线两种情况进行讨论利用三角函数即可求得N 的坐标 解答： 解： （1）在直角 OAC 中， tanACO=， 设 OA=

46、x，则 OC=3x， 根据勾股定理得： （3x） 2+（ x） 2=AC2， 即 9x2+3x 2=144， 解得： x=2 故 C 的坐标是：（6，0） ，B 的坐标是（ 6，6） ； （2）直线 AC 的斜率是：=， 则直线 DE 的斜率是： F 是 AC 的中点，则F 的坐标是（ 3，3） ，设直线 DE 的解析式是 y=x+b， 则 9+b=3，解得： b=6， 则直线 DE 的解析式是： y=x6； （3）OF=AC=6， 直线 DE 的斜率是： DE 与 x 轴夹角是 60 ， 当 FM 是菱形的边时（如图1） ，ONFM， 则 NOC=60 或 120 当 NOC=60 时，过 N 作 NGy 轴，则 NG=ON ?sin30 =6 =3， OG=ON ?cos30 =6=3，则 N 的坐标是（ 3，3） ； 当 NOC=120 时，与当 NOC=60