中考数学-2013年山西省中考数学试卷及答案(word解析版).pdf

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1、- 1 - 2013 年山西省中考试题 数学（解析） （满分 120分考试时间 120 分钟） 第 I 卷选择题（共24 分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2 分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将 该项涂黑） 1（2013 山西， 1，2分）计算 2 （-3）的结果是（） A6 B-6 C-1 D5 【答案】 B 【解析】 异号相乘，得负，所以选B。 2（2013 山西， 2，2分）不等式组 35 215 x x 的解集在数轴上表示为（） 【答案】 C 【解析】 解（1）得： 2x ，解（2）得： x3，所以解集为 23x ，选 C。 3

2、（2013 山西， 3，2分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（） 【答案】 A 【解析】 长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中 底面不符合，只有A 符合。 4（2013 山西， 4，2 分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别 是 S2甲=36，S 2 乙=30，则两组成绩的稳定性：（） A甲组比乙组的成绩稳定B乙组比甲组的成绩稳定 C甲、乙两组的成绩一样稳定D无法确定 【答案】 B 【解析】 方差小的比较稳定，故选B。 5（2013 山西， 5，2

3、分）下列计算错误的是（） Ax3+ x3=2x3 Ba6 a3=a2 C 122 3= D 1 1 3 3 【答案】 B 【解析】 a6 a3 6 33 aa ，故 B 错，A 、C、D 的计算都正确。 6（2013 山西， 6，2分）解分式方程 22 3 11 x xx + += - 时，去分母后变形为（） - 2 - A2+（x+2）=3（x-1）B2-x+2=3（x-1）C2-（x+2）=3（1- x）D 2-（x+2）=3（x-1） 【答案】 D 【解析】 原方程化为： 22 3 11 x xx ，去分母时，两边同乘以x1，得：2（x2）3（x1），选 D。 7（2013 山西， 7，

4、2分）下表是我省11 个地市 5 月份某日最高气温（）的统计结果： 太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城 27 27 28 28 27 29 28 28 30 30 31 该日最高气温的众数和中位数分别是（） A27， 28B28， 28C27，27D28，29 【答案】 B 【解析】 28 出现 4 次，最多，所以众数为28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位数为28，选 B。 8（2013 山西， 8，2分）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（） A1 条B2 条C4 条D8 条 【答案】 C 【解析】 这

5、是一个正八边形，对称轴有4 条。 9（2013 山西，9，2 分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息） 33852 元。设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（） Ax+3 4.25%x=33825 Bx+4.25%x=33825 C3 4.25%x=33825 D3(x+4.25%x)=33825 【答案】 A 【解析】 一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：34.25%x，再加上本金，得到33852 元，所以， A 是正确的。 10（ 2013山西， 10，2 分）如图，某地修建高速公路，要从B 地向 C

6、地修一座隧道（ B，C 在同一水平面上），为了测量B，C 两 地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30 ，则 BC 两地之间的距离 为（） A100 3m B50 2m C50 3m D 1003 3 m 【答案】 A 【解析】 依题得： AC100，ABC 30，tan30 AC BC ，BC 100 1003 3 3 ，选 A 。 - 3 - 11（2013 山西， 11， 2分） 起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m， 则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg） （） A1.3 10

7、 6J B13 10 5J C13 10 4J D1.3 10 5J 【答案】 D 【解析】 质量 m=6500kg，G=mg=65000，做功为 W=650,02=130000=1.3 105J，选 D。 12（2013山西， 1，2 分）如图，四边形ABCD 是菱形， A=60 ，AB=2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60 ，则图中阴影部分的 面积是（B ） A 2 3 3 2 B 2 3 3C 3 2 D 3 【答案】 B 【解析】 扇形 BEF 的面积为： S1= 604 360 = 2 3 ， 菱形 ABCD 的面积为 SABCD= 1 2232 3 2 ， 如右图，连结

8、BD，易证： BDP BCQ ，所以，BCQ与BAP的面积之和为 BAD的面积为： 3，因为四边形 BPDQ 的面积为 3， 阴影部分的面积为： 2 3 3 第卷非选择题（共96 分） 二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18 分。把答案写在题中的横线上） 13（ 2013山西， 13，3 分）分解因式： 【答案】（） 【解析】 原式提取公因式a 即可，本题较简单。 14（2013山西， 14，3 分）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款。如图是该班同学捐款的条 形统计图，写出一条你从图中所获得的信息： 【答案】该班有50 人参与了献爱心活动（只要

9、与统计图中所提供的信息相符即可得分） 【解析】 能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为：20、5、10、15，加起来等于50。 - 4 - 15（ 2013山西， 15，3 分）一组按规律排列的式子： ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a , . 则第 n 个式子是 _ 【答案】 2 21 n a n- （n 为正整数） 【解析】 已知式子可写成： 2 1 a ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a ，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a的指数为偶数2n。 16（2013 山西， 16，3 分）如图，矩形ABCD 在第一象限， AB 在 x 轴正半轴上，

10、AB=3 ，BC=1，直线 y= 1 2 x-1 经过点 C交 x 轴于 点 E，双曲线 k y x = 经过点 D，则 k 的值为_. 【答案】 1 【解析】 显然 C 点的纵坐标为1，将 y=1 代入，直线方程y= 1 2 x-1，得 x=4，即 OB=4， 又 AB=3，所以， OA=1 ，所以 D 点坐标为 (1,1)，代入双曲线方程，可得 k=1。 17（2013山西， 1，2 分）如图，在矩形纸片ABCD 中， AB=12 ，BC=5，点 E 在 AB 上，将 DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A 处，则 AE 的长为_. 【答案】 10 3 【解析】 由

11、勾股定理求得：BD=13， DA=DA=BC=5， DAE=DAE=90 ，设 AE=x ，则AE=x，BE=12 x，BA=1358， 在 RtEAB中， 222 (12)8xx ，解得： x 10 3 ，即 AE 的长为 10 3 18（ 2013 山西，18，3 分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C 到 AB 的距离为 9m，AB=36m ，D，E 为桥拱底部的两点，且DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7m，则 DE 的长为 _m. 第 17 题 - 5 - 【答案】 48 【解析】 以 C 为原点建立平面直角坐标系，如

12、右上图，依题意，得B（18，9）， 设抛物线方程为： 2 yax ，将 B 点坐标代入，得a 1 36 ，所以，抛物线方程为： 2 1 36 yx ， E 点纵坐标为y16，代入抛物线方程，16 21 36 x ，解得： x24，所以， DE 的长为 48m。 三、解答题（本大题共8 个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（本题共 2 个小题，每小题5 分，共 10 分） （1）（2013 山西， 19(1)，5 分）计算： 0 1 2 cos45 3 . 【解析】 解：原式 = 2 21 2 =1-1=0 （2）（2013 山西， 19(2)，5 分）下面是小明

13、化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题。 2 262(2)6 24(2)(2)(2)(2) xxx xxxxxx - -=- +-+-+- 第一步 =2（x-2）-x-6第二步 =2x-4-x+6第三步 =x+2第四步 小明的解法从第（2 分）步开始出现错误，正确的化简结果是。（3 分） 【答案】二 1 2x - 20（ 2013山西， 20，7 分）（本题 7 分）解方程：（ 2x-1） 2=x(3x+2)-7 【解析】 解：原方程可化为：4x2-4x+1=3x 2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-3)2=1 x-3= 1 x1=2 x2=4 21（ 2013山西， 21，8 分

14、）（本题 8 分）如图，在 ABC 中，AB=AC ，D 是 BA 延长线上的一点，点E是 AC 的中点。 （1）实践与操作 ：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。 作 DAC 的平分线 AM 。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 - 6 - 【解析】 解：作图正确，并有痕迹。 连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 （2）猜想与证明 ：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。 【解析】 解：AFBC 且 AF=BC 理由如下： AB=AC, ABC= C DAC= ABC+C=2C 由作图可知： DAC=2FAC C=FAC.A

15、FBC. E 是 AC 的中点，AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC. 22（ 2013山西， 22，9 分）（本题9 分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的壶 口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再 抽取一张，若抽到两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游。请你用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 求 小 勇 能 去 两 个 景 点 旅 游 的 概 率 （ 四 张 图 片 分 别 用 （ H ， P

16、 ， Y ， W表 示 ） 。 【解析】 解：列表如下： 或画树状图如下： - 7 - 由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12 种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两个景点都在太原 以南或以北的结果共有4 种。 P（小能力能到两个景点旅游）= 4 12 = 1 3 23（2013山西， 23，9 分）（本题 9 分）如图， AB 为的直径，点C 在O 上，点 P 是直径 AB 上的一点（不与A，B 重合），过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点Q。 （1）在线段 PQ 上取一点 D，使 DQ=DC，连接 DC，试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由。

17、（2）若 cosB= 3 5 ，BP=6，AP=1，求 QC 的长。 解析】 解：（1）CD 是O 的切线 , 理由如下：连接OC,OC=OB, B=1.又 DC=DQ, Q=2 PQAB, QPB=90 B+Q=90 1+2=90 DCO=QCB-(1+2)=180 -90 , OCDC,OC 是 O 的半径 CD 是 O 的切线 (2)连接 AC,AB 是 O 的直径 ,ACB=90 . 在 RtABC 中, - 8 - BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6) 3 5 = 21 5 . 在 RtBPQ 中 BQ=cos BP B = 6 3 5 =10 QC=BQ-BC=

18、10= 21 5 = 29 5 24（ 2013山西， 24，8 分）（本题8 分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数 收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是. 乙种收费方式的函数关系式是. （2）该校某年级每次需印制100450（含 100 和 450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。 【解析】 （1）y=0.1x+6 y=0.12x （2）解：由 0.1x+60.12x，得 x300 由 0.1x+6=0.12x，得 x=300

19、 由 0.1x+60.12x，得 x300 由此可知：当100x 300 时，选择乙种方式较合算； 当 x=300 时，选择甲乙两种方式都可以； - 9 - 当 300x450时，选择甲种方式较合算。 25（ 2013山西， 25，13 分）（本题 13 分） 数学活动 求重叠部分的面积。 问题情境 ：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图，将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起，其中ACB=E=90 ，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点 D 与边 AB 的 中点重合， DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。 求重叠部分（ DCG）的面积。 （1）独立思考：请解答老师

20、提出的问题。 【解析】 解： ACB=90 D 是 AB 的中点 , DC=DB=DA, B=DCB G E F C B A D 又 ABCFDE， FDE=B FDE=DCB,DGBCAGD= ACB=90 DGAC 又DC=DA, G 是 AC 的中点 , CG= 1 2 AC= 1 2 8=4,DG= 1 2 BC= 1 2 6=3 SDCG= 1 2 CG DG= 1 2 4 3=6 （2）合作交流： “ 希望” 小组受此问题的启发，将DEF 绕点 D 旋转，使 DEAB 交 AC 于点 H，DF 交 AC 于点 G，如图 (2)，你能求 出重叠部分 (DGH)的面积吗？请写出解答过程

21、。 【解析】 解法一： ABC FDE, B=1 3 2 1 G H E FC B A D C=90 ,EDAB, A+B=90 , A+2=90 , B=2,1=2 GH=GD A+ 2=90 ,1+3=90 A= 3,AG=GD ，AG=GH 点 G 是 AH 的中点， 在 RtABC 中，AB= 10 （25 题 （1） ） （25 题 （2） ） - 10 - D 是 AB 的中点， AD= 1 2 AB=5 在ADH 与ACB 中， A =A，ADH= ACB=90 , ADH ACB, AD AC = DH CB , 5 8 = 6 DH ,DH= 15 4, S DGH 1 2

22、SADH 1 2 1 2 DH AD= 1 4 15 4 5= 75 16 解法二：同解法一，G 是 AH 的中点， 3 2 1 G H E FC B A D 连接 BH，DEAB，D 是 AB 的中点， AH=BH ，设 AH=x 则 CH - 在 RtBCH 中，CH2+BC2=BH2 ，即（ 8-x）2+36=x2，解得 x= SABH=AH BC= 1 2 25 4 6= 75 4 S= 1 2 S ADH= 1 2 1 2 SABH= 1 4 75 4 = 75 16 . 3 2 1 N M G H E F C B A D 解法三：同解法一，1=2 连接 CD，由（ 1）知， B=D

23、CB= 1， 1=2=B=DCB，DGH BDC, 作 DMAC 于点 M，CNAB 于点 N，D 是 AB 的中点， ACB=90 CD=AD=BD ，点 M 是 AC 的中点， DM= 1 2BC= 1 2 6=3 在 RtABC 中，AB= 2222 86ACBC+=+ =10， 1 2 AC BC= 1 2 AB CN， CN 8624 105 ACBC AB 创 = . （25 题 （2） ） （25 题 （2） ） - 11 - DGHBDC, 2 DGH BCDC SDM SCN , 2 DGHBCDC DM SS CN = 2 1 2 DM BDCN CN 2 312575 5

24、 25 2416 4 DGH S （3）提出问题 ：老师要求各小组向“ 希望 ” 小组学习，将 DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“ 爱心 ” 小组提出的问 题是：如图 (3)，将DEF 绕点 D 旋转， DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN 求重叠部分 (DMN) 的面积、 任务：请解决 “ 爱心” 小组所提出的问题，直接写出DMN 的面积是 请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础 上按顺时针方向旋转）。 N M E F C B A D N M E F C B A D 【答案

25、】 75 16 注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1 分，画图正确得1 分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将DEF 绕点 D 旋 转，使 DEBC 于点 M，DF 交 AC 于点 N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。 26（2013山西， 26，14 分）（本题 14 分）综合与探究：如图,抛物线 2 13 4 42 yxx=-与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的 右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边 ,点 O 为对称中心作菱形BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点 ,设点 P 的坐标为（ m，0），过点 （25 题 （3） ）（25 题 （

26、4） ） - 12 - P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q （1）求点 A,B,C 的坐标。 （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判 断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。 （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理 由。 解析：（1）当 y=0 时， 2 13 40 42 xx-=，解得， 12 2,8xx=-= 点 B 在点 A 的右侧， 点 A,B 的坐标分别为：（ -2，0），（8，0）

27、当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（ 0，-4）， （2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（ 0，4）. 设直线 BD 的解析式为 ykxb，则 4 80 b kb = ? +=? ? .解得， k= 1 2 - ，b=4. 直线 BD 的解析式为 1 4 2 yx= -+. lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（ m， 1 4 2 m-+ ），（ m， 213 4 42 mm- ） 如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形 . （ 1 4 2 m-+ ）-( 2 13 4 42 mm- )=4-(-4) 化简得： 2 40mm-= .解得， m1=0，（舍去） m2=

28、4. 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形 . 此时，四边形CQBM 是平行四边形 . 解法一： m=4，点 P 是 OB 中点.lx 轴， ly 轴. BPMBOD. 1 2 BPBM BOBD = .BM=DM. 四边形 CQMD 是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形 CQBM 为平行四边形 . 解法二：设直线BC 的解析式为y=k1x+b1，则 1 11 4 80 b kb =- ? += ? ? .解得， k1= 1 2 ，b1=-4 直线 BC 的解析式为 y= 1 2 x-4 - 13 - 又lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2. 点 N 的坐标为（ 4，-2）由上面可知，点M,Q 的坐标分别为：（4，2）， Q(4,-6). MN=2- （-2）=4，NQ=-2- （-6）=4.MN=QN. 又四边形 CQMD 是平行四边形 .DBCQ， 3=4， 又1=2， BMN CQN.BN=CN. 四边形 CQBM 为平行四边形 . （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是 Q1（-2，0）， Q2（6，-4）.