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1、星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 3 课时 教学课题北师大版 +数学+八年级上 +第二章 +实数+二次根式 教学目标 1. 了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 2. 用类比的方法， 引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算 律在实数范围内正确计算 . 3. 正确运用公式：);0, 0(bababa)0, 0(ba b a b a . 教学重点 与难点 重点： 难点： 课后 作业 提交 时间 年月日学科组长检查签名： 知识导入（进入美妙的世界啦） 1二次根式的定义 一般地，我们把形如a( a0)的式子叫做
2、二次根式， “”称为二次根号， a 叫做被开方数 例题精讲 【例 11】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2， 3 3，1 x， x 21， 0， 4 2，2， 1 xy， xy. 解：二次根式有：2， x 21， 0，2；不是二次根式的有： 3 3，1 x， 4 2， 1 xy， xy. 析规律二次根式的条件 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数 是正数或 0. 【例 12】 当 x 是多少时，3x1在实数范围内有意义？ 分析： 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x10 时，3x1才 有意义 解：由 3x10，得 x1 3. 因
3、此当 x1 3时， 3x1在实数范围 内有意义 点技巧二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2积的算术平方根 用“，或”填空 49_ 49，1625_ 1625，10036_ 10036. 根据上面的计算我们可得出：ab ab(a0，b0) 即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积 【例 2】 化简： (1)916；(2)1681；(3)81100；(4)54. 分析： 利用ab a b(a0，b0)直接化简即可 解：(1)9169163412. (2)168116814936. (3)811008110091090. (4)54963
4、 2 63 6. 点评： 利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式 3商的算术平方根 填空： (1) 9 16_， 9 16_ ； (2) 16 36_， 16 36_ ； (3) 4 16_， 4 16_ ； (4) 36 81_， 36 81_. 规律： 9 16_ 9 16； 16 36_ 16 36； 4 16_ 4 16； 36 81_ 36 81. 通过计算容易得出上面的式子都是相等的因此， a b a b(a0，b0) 即：商的算术平方根等于各算术平方根的商 【例 3】 化简： (1) 3 64；(2) 64b 2 9a 2；(3) 9x 64
5、y 2；(4) 5x 169y 2. 分析： 直接利用 a b a b(a0，b0)就可以达到化简之目的 解：(1) 3 64 3 64 3 8 . (2) 64b 2 9a 2 64b 2 9a 2 8| b| 3| a| . (3) 9x 64y 2 9x 64y 2 3x 8| y| . (4) 5x 169y 2 5x 169y 2 5x 13| y| . 4最简二次根式 最简二次根式应满足以下两个条件： (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 所以，化简二次根式时， 要求最终结果中分母不含有根号， 而且各个二次根式是最简二次根式 【例 4】 把下列根
6、式化成最简二次根式： (1)12，(2)40，(3)1.5 ，(4) 4 3. 解：(1)124323. (2)40410210. (3)1.5 3 2 3 2 32 22 6 2 . (4) 4 3 2 3 2 3 3 . 点评：化简二次根式时， 要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分 母中的根号 5二次根式的乘除 二次根式的乘法： ab ab( a0，b0) 二次根式的除法： a b a b( a0，b0) 即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数 【例 5】 计算： (1)57；(2) 1 3 9；(3) 1 4 1 16；(4) 64 8 .
7、分析： 直接利用 ab ab( a0，b0)和 a b a b( a0，b0)计算即可 解：(1)5735. (2) 1 3 9 1 39 3. (3) 1 4 1 16 1 4 1 16 1 416 42. (4) 64 8 64 8 822. 6二次根式的加减 计算下列各式： (1)2 x3x；(2)2 x 23x2 5x2；(3) x2x3y；(4)3 a22a2a3. 上面的题目，实际上为同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 计算下列各式： (1)2232；(2)283 858； (3)72 797；(4)33232. 分析： (1) 如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题了
8、吗？ 2232(23)252. (2) 把8当成 y； 283858(235)84882. (3) 把7当成 z； 72 797 7273 7(1 23)767. ( 4)把3看为 x，2看为 y. 33232(32)3232. 因此，二次根式的被开方数相同的话是可以 合并的 二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合 并 【例 6】 计算： (1)818；(2)16x64x；(3)3489 1 33 12；(4)(4820)(125) 分析： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根 式进行合并 解：(1)81822
9、32(2 3)252. (2)16x64x4x8x(48)x12 x. (3)3489 1 33 1212 33 363(12 36)3153. (4)(4820)(125)4820125 432 5235 635. 7化简a 2 (1) 计算：4 24， 0.2 20.2 ， 4 5 24 5， 20 220，观察其结果与根号内幂底数的关系， 归纳得到：当 a0 时，a 2a. (2) 计算：(4) 24， (0.2) 20.2 ， 4 5 24 5， ( 20) 220，观察其结果与根号 内幂底数 的关系，归纳得到：当a0 时，a 2a. (3) 计算：0 20，当 a0 时， a 20.
10、 (4) 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质： a 2| a| a，a0， 0，a0， a，a0. 【例 71】 化简： (1)9； (2)(4) 2； (3)25； (4)(3) 2. 分析： 因为(1)9 3 2，(2)( 4)242，(3)25 52，(4)( 3)232，所以都可运用 a 2a( a 0)去化简 解：(1)93 23. ( 2)( 4) 2 4 24. (3)255 25. (4)(3) 2 3 23. 【例 72】 先化简再求值：当a9 时，求 a12aa 2的值，甲、乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式 a(1a) 2a(1a)
11、1； 乙的解答为：原式 a(1a) 2a( a1)2a117. 两种解答中， _的解答是错误的，错误的原因是_ 答案： 甲甲没有先判定 1a 是正数还是负数 8二次根式的混合运算 计算： (1)6 x3y； (2)(2 xy)zx； (3)(2 x 2y3xy2) xy. (4)(2 x3y)(2 x3y)； (5)(2 x1) 2(2x1)2. 如果把上面的 x，y，z 改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立 整式运算中的 x，y，z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表 二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式 【例 8】 计算： (1)(68)
12、3； (2)(4632)22； (3)(56)(3 5) ； (4)(107)(107) 分析： 因为二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：(1)(68)363831824322 6. (2)(4632)22462232222 33 2. (3)(56)(3 5) 35(5) 2186 51335. (4)(107)(107)(10) 2( 7) 21073. 巩固练习 1若 m3 为二次根式，则m的取值为（） Am 3 Bm 3 Cm 3 Dm 3 2下列式子中二次根式的个数有（） 3 1 ； 3 ； 1 2 x ； 3 8 ； 2 3 1 )( ； )(11xx
13、； 32 2 xx . A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3当 2 2 a a 有意义时， a 的取值范围是（） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 4下列计算正确的是（） 69494)( ； 69494)( ； 1454545 22 ； 14545 2222 ； A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5化简二次根式 35 2 )( 得（） A 35 B 35 C 35 D30 6对于二次根式 9 2 x ，以下说法不正确的是（） A它是一个正数 B是一个无理数 C是最简二次根式 D它的最小值是 3 7把 ab a 12 3 分母有理化后得（） A b4 B b2 C b 2 1 D b
14、b 2 8 ybxa 的有理化因式是（） A yx B yx C ybxa D ybxa 9下列二次根式中，最简二次根式是（） A 2 3a B 3 1 C 153 D 143 10计算： ab ab b a1 等于（） A ab ab 2 1 B ab ab 1 C ab b 1 D abb 二、填空题 11当 x_时， x31 是二次根式 12当 x_时， x43 在实数范围内有意义 13比较大小： 23 _ 32 14 b a a b 18 2 _； 22 2425 _ 15计算： ba10253 _ 16计算： 2 2 16 a cb =_ 17当 a= 3 时，则 2 15a _ 1
15、8若 x x x x 3 2 3 2 成立，则 x 满足_ 三、解答题 19把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： 5 2 x ； 74 2 a ； 1516 2 y ； 22 23yx 20计算： )(36163 ； 63 3 1 2 ； )(10 2 1 32 5 3 1 ； zyx1001010 1 课后作业： 一、单选题 1. 设 a,b,c 都是实数 , 且满足, 则的值为( ) A.-5 B.11 C.5 D.3 2. 若, 则的值为 ( ) A. B. C. D. 3. 化简的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 已知, 化简:结果为 ( ) A.a B.b C.
16、2b-a D.a-2b 5. 在如图所示的数轴上 , 点 B 和点 C关于点 A对称,A、B两点对应的实数分别是和-1, 则点 C所 对应的实数是 () A. B. C. D. 6. 比较大小 :() A.大于 B.小于 C.等于 D.无法判断 7. 化简的结果是 ( ) A. B. C. D. 8. 若, 则代数式=( ) A.2013 B.2012 C.-2013 D.-2012 9计算： 202 45 ； 144250 81010 . . ； 5 2 1 3 1 2 3 2 1 ； )( ba b b a1 2 2 3 10. 把下列各式化成最简二次根式： 27 1213 5 27 22 ； ba cabc 4 3 22 11. 已知： 2 420 x ，求 2 21 x x 的值