全国大纲版2013届高考压轴卷数学理试题.pdf

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1、页1 第 全国大纲版2013 届高考压轴卷数学理试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页。第卷3 至 4 页。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1.答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并 贴好条形码 .请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 . 3.本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

2、求的。 一 .选择题 （1）若复数, 1 2 i i z则z等于（） 21 2 2 2 1 DCBA (2) 若822 2x ZxA，1log2xRxB，则BCA R 的元素个数为（） (A) 0(B) 1(C) 2(D)3 （3）已知函数yfx与xfy 1 互为反函数， 且函数 1yfx 与函数 1 1 xfy 也互为 反函数，若 , 01f 则 2010 1 f=（） 2009201010DCBA (4) 已知等比数列 n a中，公比,0q若 ,4 2 a则 321 aaa有（） (A) 最小值 -4 (B)最大值 -4 (C)最小值 12(D)最大值 12 (5) 一圆形餐桌依次有A、B

3、、C、D、E、F 共有 6 个座位 .现让 3 个大人和 3 个小孩入座进餐，要求任何两 个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（） （A）6 （B）12 （C）72 （D） 144 (6) 已知函数 sin() (0)yx 的部分图象如右图所示，设 P是 图象的最高点，,A B是图象与x轴的交点， 则tanAPB（） （A）10（B）8（C） 8 7 （ D） 4 7 (7) 在正方形ABCD中，,4AB沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角DACB，则点 B到直线CD的距离为（） x A B P y O 页2 第 222322322DCBA （8） 设,Ra函数 xx eaex

4、f的导函数是,xf且xf是奇函数，若曲线xfy的一条 切线的斜率是, 2 3 则切点的横坐标为（） (A) 2 2ln (B) 2ln (C) 2ln (D) 2 2ln (9) 已知),2,1,0( 0,2log 0, 11 2 Nnnmm xxC x x x xf n nm 若xf在0x处连续，则m的 值为（） (A) 8 1 (B) 4 1 (C) 2 1 (D) 2 （10）已知数列 n a的通项公式为13 n an，那么满足 119 102 kkk aaa的整数k （） （A）有 3 个（B）有 2 个（C）有 1 个（D）不存在 (11) 已知直线 l交椭圆8054 22 yx于N

5、M ,两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心 恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（） (A) 02856yx(B)02856yx (C)02865yx（D) 02865yx (12) 在半径为R的球内放入大小相等的4 个小球，则小球半径r的最大值为（） (A)R26(B) R12(C)R 4 1 (D)R 3 1 第卷 注意事项 : 1.答题前， 考生先在答题卡上用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后 贴好条形码 .请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 页3 第 2. 第卷共2 页, 请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

6、内作答，在试题卷上 作答无效 。 3.第卷共10 小题，共90 分 二、 填空题： 本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分 . 把答案填在题中横线上. (注意 :在试题卷上作答无效 ) (13)若1, 1 1 2 nNn x n 的展开式中 4 x的系数为, n a 则 n n aaa 111 lim 32 =. (14) 当对数函数10logaaxy a 且的图象至少经过区域 0 ,80( , 30 xy Mx yxyx yR y 内的一个点时，实数a的取值范围为. (15)已知函数,3, 2 ,cosxxxf若方程mxf有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数 列，则 m 的值为

7、. （16）抛物线 2 2(0)ypxp的焦点为F，AB、在抛物线上，且 2 AFB，弦AB的中点M在 其准线上的射影为N，则 MN AB 的最大值为 三、解答题： （本大题共6 小题，共70 分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)（本小题满分10 分） (注意 :在试题卷上作答无效 ) ABC的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 向量,1 , 1m , 2 3 sinsin,coscosCBCBn且.nm （）求A的大小； （）现给出下列四个条件：;1a;sin2Bb;0132bc 45B .试从中再选择两 个条件以确定ABC，求出你所确定的ABC的面积 . (

8、18)（本小题满分12 分） (注意 :在试题卷上作答无效 ) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定：若掷出1 点或 2 点，则在甲盒中放一球；否则，在乙盒中放一球。 现在前后一共掷了4 次骰子，设x、y分别表示甲、乙盒子中球的个数。 （）求13yx的概率； 页4 第 A B C D P （）若,xy求随机变量的分布列和数学期望。 (19)（本小题满分12 分）(注意:在试题卷上作答无效 ) 在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形， /ABCD，90ADC ，1ABADPD，2CD. （）求证：BC平面PBD； （）设Q为侧棱PC上一点，PQPC， 试确定的

9、值，使得二面角QBDP为45 . (20)（本小题满分12 分）(注意:在试题卷上作答无效 ) 设数列 n a的前 n 项和为, n S已知 1 11 8,35,. n nn aaSnN （）设2 3 , n nn ba证明：数列 n b是等比数列； （）证明： 23 123 2222 1 n n aaaa . (21)（本小题满分12 分）(注意:在试题卷上作答无效 ) 已知AOB的顶点 A 在射线 1: 30lyx x上，A、B两点关于 x 轴对称， 0 为坐标原点， 且线段 AB 上有一点M 满足3.AMMB当点 A 在 1 l上移动时，记点M 的轨迹为W. （）求轨迹W 的方程 ; （

10、）设2,0 ,N是否存在过N的直线l与 W 相交于 P,Q 两点，使得1?OPOQ若存在， 求出直线l；若不存在，说明理由. (22)（本小题满分12 分） (注意 :在试题卷上作答无效 ) 已知函数 21 ( )(21)2ln() 2 f xaxaxxaR. ()若曲线( )yf x在1x和3x处的切线互相平行，求a的值； ()求 ( )f x 的单调区间； ()设 2 ( )2g xxx，若对任意 1 (0,2x，均存在 2 (0,2x，使得 12 ()()f xg x，求a的取值范 页5 第 围. 2013 全国大纲版高考压轴卷数学理试题答案 一、选择题 题号（1）（2）（3）（4）（5

11、）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12） 答案D C D B C B C C B B A A 二、填空题 : 页6 第 （13）2. （14） 3 2,5. （15） 1 2 . （16） 2 2 提示： (1) D. 2 (1) 1, (1)(1) ii zi ii 22 112z (2) C. 化简 1 0,1 ,0,2, 2 AB (3) D. 由 1 1( )1yfxfyx , ,x y 互换得， 1( ) 1yfx ， 11 11fxfx 111 11,(0)1fxfxf又，累加法： 11 02010ff = 11111111 011223200920102010fffff

12、fff = 11 2010020102009ff (4) B. = 2 21313132 0,4,0,0. ()(228qaaaaaa aa），当且仅当 13 aa时取 =号 123 844aaa (5) C.若 A、C、E 坐大人，则B、 D、 F 坐小孩； 若 B、D、F 坐大人，则A、C、E 坐小孩 .共有 33 33 272A A 种方法 . (6) B.作 PHABH于 ，依题意， 13 2, 22 ABTAHHB ， 又 1PH ， 13 tan, tan 22 AHOB PHPH ， t a nt a n ()A P B (7) C. 作 ODAC ,垂足是O，则O是AC的中点，

13、连结OB，易 证 0 90BOD ，作 OECD 于 E，E 是 CD 的中点， 又 BOACD平面 , BECD ，BE 是点 B 到直线 CD 的距离 . 在 RtBOE 中，求 2 3BE . (8) C. 0101 xx fxea efaa .设切点为 00 (,)P xy ， 则 00 0 3 2 xx fxee ，解得 0 1 2 2 x e或 （舍去）， 0 ln2x E F D C B A x A B P y O O E D B cA 页7 第 (9) B. 000 1111 lim( )limlim 2 11 xxx x f x x x ，因为 xf在0x处连续， 所以， 1

14、 (0) 2 f，即 1 log 2 2 m ，解得 1 4 m (10) B. 因为 13(13) 13 (13) n n n a nn ，检验， 1k 时， 12131420 aaaaa 13(120)7(17) 121110127106 22 ，不合题意 . 2k 时， 23131421 aaaaa 12(110)8(18) 11101012786636102 22 ，满足题意 由对称性知， 3666102 .所以， 25k或 均满足题 (11) A.设 1122 (,),(,)M xyN xy ，又 (0,4),(2,0)BF ，由重心坐标得 1212 04 2 ,0 33 xxyy

15、12 12 6 4 xx yy （1） （2），所以弦 MN 的中点为 (3,2) . 因为点 1122 (,),(,)M xyN xy 在椭圆上， 所以， 22 11 22 22 4580 4580 xy xy ，作差得 12121212 4 () ()4 () ()0xxxxyyyy ，将（ 1）和（ 2）代入得 12 12 6 5 l yy k xx ， 所以，直线L 为： 6 2(3) 5 yx (12) A. 当三个小球在下、第四个小球在上相切时，小球的半径最大.设小球的最大半径为 r ，四个小球的球 心分别为A,B,C,D, 大球半径为 R .则四面体A-BCD 是棱长为 2r 的

16、正四面体，将正四面体A-BCD 补 形 成 正 方 体 ， 则 正 方 体 棱 长 为 2r ， 大 球 球 心O为 体 对 角 线 中 点 ， 易 求 222 16 (2 )(2 )(2 ) 22 OArrrr ，所以 6 2 RrOAr ，解得 ( 62)rR （13）2. 22 (1) ( 1) 2 nn n n aC 111 2() 1 n ann 23 111111111 212 1 2231 1 lim 2 12 n n aaannn n （ 14） 3 2,3. 由可行域知， logayx 的图像分别过点 (3,3),(4,4),(5,3) 时， a 的值分别为 33 3,2,5

17、 ，因为 33 235 ，所以 a 的取值范围是 3 2,3. （15） 1 2. 设公比为 q ，问题转化为要 cosyx 和 ym 的图像有三个交点，由图像可知， 页8 第 3 8 x xx q ， 2 4 x x q xxq ，解得 4 2, 3 qx ， 41 32 mf （16） 2 2. 如图， 11 11 ()() 22 MNAABBAFBF , 2 222() 2 AFBF ABAFBF , 当且仅当 AFBF 时取 “=”号 22 2 2 2 2 ()11 222 2 MNAFBF ABAB AFBFAB AB AB 1 2 MN AB 三、解答题 : (17)解： （）,0

18、 2 3 sinsincoscos,CBCBnm1分 即, 2 3 sinsincoscosCBCB, 2 3 )cos(CB2 分 ,coscos,180ACBCBA .30, 2 3 cosAAOA又4分 （）方法一：选择可确定.ABC5分 , 0132, 1,30bcaA 由余弦定理 ,30cos 2 13 2 2 13 1 2 22 bbbb 分 整理得. 2 26 ,2,2 2 cbb8 分 . 4 13 2 1 2 26 2 2 1 sin 2 1 AbcS ABC 10分 （）方法二：选择可确定.ABC5分 ,45,1,30BaA,105C x y B1 A 1 N M B A

19、页9 第 , 4 26 60sin45cos45cos60sin4560sin105sin 分 由正弦定理,2 30sin 45sin1 sin sin , sinsinA Ba b B b A a 得8 分 . 4 13 4 26 21 2 1 sin 2 1 CabS ABC 10分 (18)解：依题意知，掷一次骰子，球被放入甲盒、乙盒的概率分别为 1 2 ,. 3 3 2 分 （）若13,yx则只能有1,3,xy即在 4 次掷骰子中，有1 次在甲盒中放球，有3 次 在乙盒中放球，因此所求概率 3 1 4 1232 . 3381 PC 5 分 （）由于,xy所以的可能取值有0，2，46 分

20、 22 2 4 1224 0, 3381 PC 33 13 44 121240 2, 333381 PCC 44 04 44 1117 4 3381 PCC9 分 所以随机变量的分布列为： 0 2 4 P 24 81 40 81 17 81 故随机变量的数学期望为 244017148 024. 81818181 E12分 页10 第 （）解法一： （）平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，1 分 所以P DA D, . 2分 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).ABCP3 分 (1,1,0)DB ，(

21、 1,1,0)BC， 所以0BC DB，BCDB，4分 又由PD平面ABCD，可得PDBC，所以BC平面PBD. 6 分 （）平面PBD的法向量为( 1,1,0)BC，7分 (0,2,1)PC ，PQPC，(0,1) 所以(0,2,1)Q， 8分 设平面QBD的法向量为( , , )a b cn =，(1,1,0)DB，(0,2 ,1)DQ， 由0DB n，0DQn，得 所以， 0 2(1)0 ab bc ，. 9分 所以 2 ( 1,1,) 1 n =，. 10分 所以 2 22 cos45 22 2 2() 1 BC BC n n ， . 11分 注意到(0,1)，得21. . 12分 法

22、二：（）面PCD底面 ABCD，面PCD底面ABCD=CD，PD面PCD，且PDCD PD面 ABCD，1 分又 BC面 ABCD， BC PD. . 2分 取 CD 中点 E，连结 BE，则 BECD，且 BE =1 在 RtABD 中，2BD，在 RtBCE 中， BC=2. . . 4 分 222222 2)2()2(CDBCBD, BCBD.5分 由、且PD BD=D BC面 PBD. . . . 6 分 （）过Q 作 QF /BC 交 PB 于 F，过 F 作 FGBD 于 G，连结GQ. BC面 PBD，QF /BC QF面 PBD， FG 为 QG 在面 PBD 上的射影， 又

23、BDFG BDQG A B C D P y x z Q 页11 第 FGQ 为二面角Q-BD-P 的平面角；由题意，FGQ =45. . . 8分 设 PQ=x，易知 3,5 PBPC FQ/BC，即 PC PQ BC FQ xBC PC PQ FQ 5 2 PC PQ PB PF xPB PC PQ PF 5 3 即 FG/PD即 PB BF PD FG xPD PB BF FG 5 1 1 . 10分 在 RtFGQ 中， FGQ =45 FQ=FG ，即x 5 2 x 5 1 1) 12(5 12 5 x . 11分 PQ PC5)12(512 12分 (20)解： （） 1 1 35,

24、 n nn aS 1 352 , n nn aSn 11 2 3 ,22 32 , nn nnnnn aaaaan即2 分 当2n时， 11 11 22 3 2 322 32 3 2, 2 32 32 3 n nnn n nnn nnn nnnn a baa baaa 5 分 又 122 1122 1 2 32,2 34,2, b baba b 数列 n b是以 2 为首项，公比为2 的等比数列。 6 分 （）由（）知2 ,2 32 , nnn nn ba2 32 , nn n a 221112 2 3223 33 212 22 n nn nnnn n a 9 分 23 23 123 2222

25、12222 2 3333 n n n aaaa = 22 1 33 12 11. 1 23 1 3 n n 12分 (21)解： （）因为A,B 两点关于x 轴对称， 所以 AB 边所在直线与y 轴平行 . A B C D P Q E F G 页12 第 设 ,Mx y 由题意，得 ,3,3,3,A xxBxxAMMB 2 2 333,1, 3 y xyxyx 所以点 M 的轨迹 W 的方程为 2 2 10 . 3 y xx4分 （）假设存在，设 1122 :22,lyk xxP xyQ xy或， 当直线:2lyk x时，由题意，知点P,Q 的坐标是方程组 2 2 1 3 2 y x yk x

26、 的解， 消去 y 得 2222 34430,kxk xk 6 分 所以 2 22222 44 343361030kkkkk且 22 121222 443 , 33 kk xxx x kk 7 分 直线l与双曲线的右支（即W）相交两点P,Q, 22 121222 443 0,0, 33 kk xxx x kk 即 2 3.k8 分 2 12121212 2224y yk xk xkx xxx 222 12121212 124OP OQx xy ykx xkxxk 222 222 222 43435 124 333 kkk kkk kkk 10分 要使 1,OP OQ 则必须有 2 2 35 1

27、, 3 k k 解得 2 1,k代入不符合。 所以不存在直线l，使得1,OP OQ11分 当直线:2lx时，2,3 ,2,3 ,5,PQOP OQ不符合题意， 综上：不存在直线l，使得1,OP OQ 12分 （ 22）解： 2 ( )(21)fxaxa x (0)x. 1分 页13 第 （）(1)(3)ff，解得 2 3 a. 3分 （） (1)(2) ( ) axx fx x (0)x. 4分 当0a时，0x，10ax， 在区间(0,2)上，( )0fx；在区间(2,)上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,). 5分 当 1 0 2 a时， 1 2

28、a ， 在区间(0,2)和 1 (,) a 上，( )0fx；在区间 1 (2,) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)和 1 (,) a ，单调递减区间是 1 (2,) a . 6 分 当 1 2 a时， 2 (2) ( ) 2 x fx x ， 故( )f x的单调递增区间是(0,). 7 分 当 1 2 a时， 1 02 a ， 在区间 1 (0,) a 和(2,)上，( )0fx；在区间 1 (,2) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是 1 (0,) a 和(2,)，单调递减区间是 1 (,2) a . 8 分 （）由已知，在(0,2上有 m

29、axmax ( )( )f xg x. 9分 由已知， max ( )0g x，由（）可知， 当 1 2 a时，( )f x在(0,2上单调递增， 故 max ( )(2)22(21)2ln 2222ln 2f xfaaa， 所以，222ln 20a，解得ln 21a，故 1 ln 21 2 a. 10分 当 1 2 a时，( )f x在 1 (0, a 上单调递增，在 1 ,2 a 上单调递减， 故 max 11 ( )()22ln 2 fxfa aa . 由 1 2 a可知 11 lnlnln1 2e a，2ln2a，2ln2a， 页14 第 所以，22ln0a， max ( )0f x， 综上所述，ln 21a. 12 分