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1、勾股定理教学设计 浦头中学胡小娟 一、内容分析 勾股定理是苏科版义务教育课程标准实验教科书?数学八年级上第二章第一 节的内容，是在学生已经学习了直角三角形的性质后提出来的另一条性质。勾股 定理揭示了一个直角三角形中的三边数量关系，勾通了形与数的联系， 在理论上 有重要地位，它是为后续学习四边形、函数、解直角三角形等知识做准备的，在 教材中起着承上启下的作用。 勾股定理在生产与生活中应用也很广。再者，中国 古代学者对勾股定理的研究有很多重要成就，对勾股定理的证明采用了很多方 法，对后世影响很大， 是对学生进行爱国主义教育的好素材，因此勾股定理是几 何学中非常重要的定理。 二、学情分析 在此之前，
2、 学生对直角三角形已有了一定认识，它是几何中常见的图形之一，在 生活实践中有着广泛的应用，在此基础上探索勾股定理应该说有了坚实的基础。 八年级学生虽以具备一定的分析和归纳能力，但对用割补法和面积法计算、 验证 几何命题还有一定困难； 八年级学生的观察猜想能力较强，但思维的敏捷性、 灵 活性、全面性相对欠缺。在教学中需加强学生动口、动手、合作交流等能力，加 强学生对猜想、归纳、推理、割补转化等数学思想的理解。 三、教学目标 （1）知识目标 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理 （2）能力目标 在学生经历观察、猜想、归纳、验证勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体 会
3、数形结合和从特殊到一般等数学思想方法。培养在实际生活中发现问题总结规 律的意识和能力 （3）情感目标 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情， 促其勤 奋学习。通过合作交流，培养学生团结合作、乐于助人的品质。 四、教学重点 探索和证明勾股定理 教学难点 利用数形结合的方法验证勾股定理 五、教学设计 1、创设情境，激发兴趣 人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系， 那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图形来 作为人类探寻“外星人”并与“外星人”联系的“语言”。突出勾股定理引出课 题 【设计意图】 创设一个遐想的情境
4、， 诱发学生发挥想象， 初步感受勾股定理的神 秘，从而调动学生的情绪， 使学生以饱满的热情进入学习探究状态。为学生主动 探究课题做好了心理准备。 2、合作探究，交流归纳 看一看 （1）观察图 1-1 正方形 A 中含有个小方格， 即 A 的面积是个单位面积。 正方形 B 的面积是个单位面积。 正方形 C 的面积是个单位面积。 （2）在图 1-2 中，正方形 A，B，C 中各含有 多少个小方格？它们的面积各是多少？图 1-2 （3）你能发现图 1-1 中三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？ 学生通过直接数小方格可得A、B 的面积，C 的面积同桌合作交流得出可采用割 补两种方法完成。
5、教师借助多媒体展示两种求面积的方法。师生共同总结：“割” “补”这两种方法体现的是同一思想化归思想，即把不能利用网格直接计算 面积的图形转化为可以利用网格直接计算面积的图形 学生利用图 1-1 中的解决方法很快完成（2）中的问题。由得出的正方形A、B、 C 的面积得到： SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 【设计意图】 为学生提供参与数学活动的空间，发挥学生的主体作用； 培养学 生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、 争辩、互助中得到提 高。 A B C A B C 鼓励学生勇于面对数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方 法。
6、并通过方法的反思，获得解决问题的经验。 （1）观察图 1-3、图 1-4，并填写右表： （2）三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系？ 学生类比探究以等腰直角三角形三边为边所作正方形面积的关系，独立完成上面 的表格。教师演示分割法为学习有困难的同学起到指点作用。在以上探究的基础 上，学生很容易就得到SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 议一议 （1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。 （3）所有直角三角形三边长度都存在这样的关系吗？ 在学生猜想出直角三角形三边关系的基础上，教师
7、利用几何画板演示任意直角三 角形三边关系，让学生更直观地感觉自己的猜想是正确的，初步感受勾股定理。 【设计意图】 、为学生提供参与活动的时间和空间，使学生在协作交流中愉快 地学习，充分发挥其主体作用。 、在探索活动中渗透从特殊到一般的数学思想，培养了学生的类比迁移能力和 探索问题的能力。 3、故事介绍，爱国教育 （1）勾股定理（ gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为 c， a c 那么b A的 面 积 （ 单 位 面 积） B 的面积 （ 单 位 面 积） C 的面 积（单位 面积） 图 1-3 图 1-4 A B C 图1-3 A B C 图 1-4 即
8、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）介绍勾股定理故事1 弦图的认识 （3）介绍勾股定理故事2 商高定理 （4）介绍勾股定理故事3 毕达哥拉斯定理 （5）介绍勾股定理故事4 总统证法 【设计意图】让学生了解有关勾股定理的历史，并感知凡有文明存在的地方， 必然知道勾股定理 “商高定理”比“毕达哥拉斯定理”早500 多年，这是我们炎黄子孙的骄傲。 借此对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感。 4、借图验证，加深理解 现在我们来体验一下数学家发现新知识的乐趣,一起来合作探索吧！ 证法一： “弦图”即“勾股圆方图” 引导学生用不同的代数式表示正方形面积 S=c2 S= (a - b)
9、2 + 4(?ab) c2=(a - b)2 + 4(?ab) =a2 - 2ab + b2 + 2ab a2 + b2 = c2 强调这是“面积法”，总结应用思路 证法二：你能根据下列图形及提示， 证明勾股定理吗？ 学生独立思考后，请一位学生板演 展示美国第二十任总统伽菲尔德的证法 比较二者的证明过程发现类似， 对学生的成果加以肯定和表扬， 让学生获得成功 的喜悦 【设计意图】借助图形用“面积法”验证“勾股定理”，使学生加深对“勾股 定理”的理解。 在解决问题的过程中，让学生体验到成功的快乐。 5、巩固新知，实践应用 做一做 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。 2、求出下列直角三角形中未
10、知边的长度。 X 6 6 X 13 5 8 相关链接 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形 ,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形 A、B、 C、D 的面积之和是 _. 【设计意图】这些练习都是勾股定理的直接应用，主要是从学困生 的认知出发，以增强学生的自信心和乐观向上的积极心态。 试一试 1、如图 ,一个高 3 米,宽 4 米的大门 ,需在相对角的顶点间加一个3 加固木条 ,则木条的长为( ) A、 3 米B、4 米C、5 米D、6 米4 2、如图是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从A 角走 到 C 角，至少走（） A、140 m B、120m C、100m D、
11、90m 3、在起火的大楼顶部有一个人急需救援.但离大楼 5 米内都 无法接近 ,问至少需要用多长的消防云梯才能架到楼顶? 用一用 1、现有一长 5m 的梯子，架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离 是 3m，则梯子可以到达建筑物的高度是_ _ B _ 225 _ 81 _ A _ 225 _ 400 2、 一段楼梯， 高 BC是 3米， 斜边 AB 是 5米， 在楼梯上铺地毯，至少需要米 “试一试”是勾股定理简单的实际应用。 “用一用”需将生活中的问题建立数学 模型，再利用勾股定理知识解决。 想一想 1、若直角三角形的三边为6、8、x，则 x 的长为（） A.6 B.8 C.10 D.
12、以上答案均不对 2、在直角三角形中，一条直角边长为11cm，另两边是两个连续自然数，则此三 角形的周长为 _。 “想一想”第 1 题中 X 应以直角边和斜边两种情况加以讨论 第 2 题需以方程解决 【设计意图】让学生感知数学源于生活也用于生活。 练习题由浅入深， 是为满足不同层次学生的需求，激发学生的学习兴趣， 增强 学生分析和解决问题的能力 6、畅谈心得，共同提升 学而不思则罔，思而不学则殆 让学生从知识归纳与总结我的收获与困惑自我评价三方面进行畅谈 【设计意图】“知识归纳与总结”目的是让学生对本节课的内容进行梳理，培 养学生归纳、概括的能力。 “我的收获与困惑” 目的是反馈本节课的教学效果，在课堂上及时解决学生的 疑难困惑。 “自我评价”目的是利用评价激发学生的学习兴趣 7、分层作业，巩固提高 A:基础题： 47页第 1 题第 4 题 B:提高题：、若直角三角形的三边分别为3、4、x，则 x2 是。 、通过阅读、上网，了解与勾股定理相关的历史及证明方法。 【设计意图】 针对学生认知的差别， 布置不同层次的作业以满足不同层次学生的 需求，以达到提高学生积极参与的热情。