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1、1 / 7 第四十四章新定义型以及高中知识渗透型问题 8(2018贵州六盘水，8， 3 分) 定义：( , )( , )f a bb a ， ( , )(,)g m nmn ， 例如(2,3)(3,2)f ， ( 1, 4)(1,4)g ，则 ( ( 5,6)g f 等于 （ ） A( 6,5)B( 5, 6)C(6, 5)3D( 5,6) 分析：由题意应先进行f 方式的运算，再进行g 方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化 解答：解：f （ 5，6）=（ 6， 5）， g=g（ 6， 5） =（-6， 5），故选A 点评：本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点
2、是判断先进行哪个 运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号 6.（ 2018 山东莱芜， 6 ，3 分） 对于非零的两个实数a、b，规定 ab ba 11 ，若1122x， 则x的值为： A 6 5 B 4 5 C 2 3 D 6 1 【解读】本题考查的新运算的理解和应用以及分式方程的解法. 根据 ab ba 11 得到 2 1 12 1 122 x x. 因为1122x所以1 2 1 12 1 x 解得 6 5 x，经检验 6 5 x 是原分式方程的解 【答案】 A 【点评】本题考查的新运算的理解和应用以及分式方程的解法。解决此类问题的关键是理清并运用“新 概念”的含义，并能够运用新运算
3、解决问题。如本题的观念把1122x转化为1 2 1 12 1 x . 23、( （ 2018湖南省张家界市23 题 8 分） ) 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 a c b d 的意义是 a c b d adbc. 例如： 3 1 4 2 =14-2 3=-2 3 2- 5 4 =（ -2） 5-4 3=-22 （1）按照这个规定请你计算 5 7 6 8 的值； （2）按照这个规定请你计算：当x 24x40 时， 1 1 x x 32 2 x x 的值 【分析】认真阅读材料，按照所给方法计算即可. 2 / 7 【解答】（ 1） 7 5 8 6 267854 分 （2）由044 2 xx得
4、2x 1 1 x x 32 2 x x 1 3 1 4 114138分 【点评】解决这类问题的关键是正确领会所给运算，将其转化为常规运算求解. 9（ 2018 湖北武汉， 9，3 分）一列数a1，a2，a3，其中a1 1 2 ，an 1 1 an1(n 为不小于 2 的整 数 ) ，则 a4【】 A 5 8 B 8 5 C 13 8 D 8 13 解读：根据题目所给公式，可直接求出a2 2 1 1 1 = 3 2 ， a3 3 2 1 1 = 5 3 ， a 5 3 1 1 = 8 5 ，选 答案： 点评：本题在于考察体验数列的变化规律以及学生基本的计算能力，解题时可根据题意逐步计算，难 度中
5、等 17（2018 湖北荆州， 17，3 分） 新定义：为一次函数yaxb(a0，a，b为实数 ) 的“关联数”若 “关联数”的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 1 1x 1 m 1 的解为 _ 【解读】本题属于常见的“新定义”题型。根据题目的信息得02, 1 ma，所以2m. 原方程可以化为 1 1x 2 1 1，所以 1 1x 2 1 ，所以21x，所以x3。经检验，x3 是原分式方 程的解 . 【答案】x3 【点评】解决“新定义”题型，关键在于理解题目的新定义并运用新定义。本题巧妙的结合了函数和分 式方程，考察全面。 （2018 陕西 24，10 分）如果一条抛物线 2 =+0y a
6、xbx c a与x轴有两个交点，那么以该抛物线 的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” 3 / 7 （ 1）“抛物线三角形”一定是三角形； （ 2）若抛物线 2 =-+0yxbx b的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （ 3）如图，OAB是抛物线 2 =-+ 0yxbx b的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心 的矩形ABCD？若存在，求出过OCD、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由 【解读】（ 1）因为抛物线的顶点必在它与x 轴两个交点连线段的中垂线上，所以“抛物线三角形”一定 是等腰三角形. （ 2）由条件得抛物线的顶点在第一象限，用b
7、的代数式表示出顶点坐标，当“抛物线三角形” 是等腰直角三角形时，顶点的横纵坐标相等，列出方程求出b. （3）由题意若存在，则OAB为等边三角形，同（2）的办法求出b. 求出 A、B 两点坐标后得到 C、 D两点坐标，再由待定系数法求解. 【答案】解：（1）等腰 （2）抛物线 2 =-+0yxbx b的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点 2 24 b b ，满足 2 = 24 bb 0b =2b （3）存在 如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形当=OA OB时，平 行四边形ABCD为矩形 又=AO AB， OAB为等边三角形 作AEOB，垂足为
8、E =AE3OE 2 = 30 42 bb b =2 3b 3 3A， ，2 3 0B， - 3 -3C，-23 0D， 4 / 7 设过点OCD、三点的抛物线 2 =+y mxnx，则 12 -2 3 =0 3 - 3 =-3. mn mn ， 解之，得 =1 =23. m n ， 所求抛物线的表达式为 2 =+2 3y xx 【点评】本题是一道二次函数和三角形、四边形的综合题. 采用“新定义”的形式，综合考查二次函数的 性质及其解读式的确定、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识，计算难道不 小，综合难度稍大. 27. （ 2018 南京市， 27，10）如图， A 、 B 是 O
9、 上的两个定点，P 是 O 上的动点（ P 不与 A,B 重合）， 我们称 APB是 O上关于 A、B的滑动角 . （1）已知 APB是 O上关于 A 、 B的滑动角 . 若 AB是 O的直径，则APB= ； 若 O的半径是1，AB=2，求 APB的度数 . （2）已知O2是 O1外一点，以O2为圆心做一个圆与O1相交于A、B 两点， APB是 O1上关于 A、B 的 滑动角，直线PA 、PB 分别交 O2于点 M 、N（点 M与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连接AN，试探索 APB与 MAN 、 ANB之间的数量关系. 解读：题目中的滑动角就是弦AB所对的圆周角，则APB= 2 1
10、AOB, 求得角度； 答 案 ： （ 1） AB 是 O 的 直 径 ， APB=90 0. OA=OB=1, AB=2 OA 2+OB2=1+1=2=AB2 AOB是直角三角形 AOB=90 0. B A 0 P O2 N M 图 1 图2 O 1 N M B A P O2 5 / 7 APB= 2 1 AOB=45 0 (2)当 P在优弧 AB上时，如图1，这时 MAN 是 PAN的外角，因而APB= MAN- ANB ；当 P在劣 弧 AB上时，如图2，这时 APB是 PAN的外角，因而APB= MAN+ ANB ； 点评：本题以新概念入手，有一种新意，但其知识点就是圆周角与圆心角之间的
11、关系，只是说法不同而 已，还用到直径所对圆周角为直角，勾股定理等知识；第二问主要看考生能否周全考虑，自己要画 出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论. 专项十三新定义型与高中知识渗透型问题 7（ 2018 湖南湘潭， 7，3 分）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出 的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 821 世纪教育网 【解读】 输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，61)7( 2 ，则输出的结果 为 6。 【答案】选B。 【点评】新的运算程序，要求按程序进行运算。 9（ 2018 湖北随州，
12、 9,3 分）定义：平面内的直线 1 l与 2 l相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点 M到 直线 1 l， 2 l的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a,b ）是点M的“距离坐标”。根据上述定义，距 离坐标为（ 2,3 ）的点的个数是（） A2 B1 C4 D3 解读：根据定义，“距离坐标”是（1，2）的点，说明M到直线 l1 和 l2 的距离分别是1 和 2，这样 的点在平面被直线l1 和 l2 的四个区域，各有一个点，即可求出答案 答案： C 点评：此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域。解答此类新定 义类问题，关键是要理解题意，根据新定义来解决问题
13、 13. （ 2018 山东省荷泽市，13，3）将 4 个数a、b、c、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段记成 ab c d ，定义 ab c d =ad-bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若 1 1 11 xx xx =8，则 x=_. 【解读】 由题意得，（ x+1） 2-(1-x)2=8, 整理，得 4x=8，所以 x=2. 【答案】 2 6 / 7 【点评】 由题目中所提供的条件，把问题转化为完全平方公式及方程，通过解方程求未知数的值. 1.（2018 年四川省德阳市，第7 题、 3 分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密 文（加密）；接收方由密文明文（解密）. 已知加
14、密规则为：明文a，b，c，d对应密文， ba2，cb2，dc32，d4. 例如：明文1，2，3，4 对应的密文5，7，18，16. 当接收方收到 密文 14，9， 23，28 时，则解密得到的明文为 A. 4 ，6，1，7 B. 4，1， 6，7 C.6， 4，1，7 D.1，6，4， 7 【解读】 根据对应关系，4d=28 可以求得d=7。代入2c+3d=23 得 c=1。在代入2b+c=9 得 b=4。代入 a+2b=14 得 a=6. 【答案】 C. 【点评】 本题的实质是考查多元方程组的解法从简单的一元一次方程入手，通过代入消元，求出各个 未知量，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”
15、和把复杂问题转化为简单问题的思想方法 21. （2018 浙江省绍兴，21，10 分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心 . 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且 PD=AB 2 1 ，求APB的度数 . 探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上， 试探究PA的长 . 【解读】应用：先根据准外心的概念可知，等边三角形的准外心位置应分三 种不同的情况来分析：PB=PC ； PA=PC ； PA=PB ，经过计算按来确
16、定哪 种情况符合题意，然后在符合题意的条件下求出APB 的度数；探究：先根 据准外心的概念可知，直角三角形的准外心位置应分三种不同的情况来分析：PB=PC ； PA=PC ； PA=PB ，经过计算按来确定哪种情况符合题意，然后在符合题意的条件下求出 AP的长 . 【答案】应用：解：若PB=PC，连结PB，则PCB=PBC. CD为等边三角形的高. AD=BD，PCB=30， PBD=PBC=30，PD= 3 3 DB= 6 3 AB. 与已知PD= 2 1 AB矛盾，PBPC. 若PA=PC，连结PA，同理可得PAPC. 7 / 7 若PA=PB，由PD= 2 1 AB，得PD=BD，ADB=60. 故APB=90. 探究：解：若PB=PC，设PA=x，则 x= 8 7 ，即PA= 8 7 . 若PA=PC，则PA=2. 若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能， 故PA=2或 8 7 . 【点评】这事一道新概念试卷，解答本题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进 行计算验证 .