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1、1 / 10 全等三角形、轴对称能力提高练习 1.如图， P是等边 ABC 内的一点 ,连接 PA、PB、PC.以 PB 为边作等边 BPM，连接 CM. （1）观察并猜想 AP 与 CM 之间的大小关系，并说明你的结论； （2）若 APC=100 ，PMC 为直角三角形，求 APB 的度数 2.如图，已知在四边形ABCD 中，AC 平分 BAD ，过 C 作 CEAB 于 E，并且 AE=)( 2 1 ADAB，求 ABC+ADC 的度数。 3.点 P在AOB 内，点 M，N 分别是点 P关于 OA，OB 的对称点， M，N 的连线交 OA 于点 E，交 OB 于点 F，若 PEF的周长为
2、20cm，求线段 MN 的长。 拓展：（ 1）若 AOB=45o，连接 OM，ON 判断 MON 的形状，并说明理由。 （2）已知点 P在AOB 内，在 OA,OB 上分别取点 E,F，使 PEF周长最小， 请画出图形，并写出过程。 4.已知如图，等腰 RtABC 中， BAC=90o，点 D 是 BC 边的中点，且 BE=AF. 求证： DEDF 5.如图， ABC 中， ABC=90o，AB=CB，AE 平分 BAC，过点 C 作 CDAD 于点 D， 求证： CD= 2 1 AE 7.如图所示， ABC 中，AB=AC ，在 AB 上取一点 E，在 AC 延长线上取一点 F， 使 BE=
3、CF，EF交 BC 于 G，求证： EG=FG 8.已知 ABC 中，AB=AC ，且过 ABC 的某一顶点的直线可将ABC 分成两个 等腰三角形，试求 ABC 各内角的度数。 A M P C B A E D C B F E M N P O B A F E D A C B A E D C B G E C B A F 2 / 10 9.如图， ABC 中 BD 是 AC 边上的中线， BDBC 于点 B，且 ABC=120o. 求证： AB=2BC. 10.如图所示， ABC 是等边三角形， P是三角形外一点，且 ABP+ACP=180o， 求证： PB+PC=PA 11.已知 P是等边 ABC
4、 内任意一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别是D、E、F， 试证明 PD+PE+PF是不变的值。 12.如图所示，等边 ABC，D、E 分别在 AC、AB 的延长线上，且 CD=AE， 求证： DB=DE 13.如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC，ABC=2C，求证： AB+BD=AC. 14.在图 1至图 3中， ABC 是等边三角形，点E在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC. 观察思考： 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，线段 AE 与 DB 的大小关系是： AEDB( 填“”，“”或“ =”）； 拓展延伸： 当点 E 不是 AB 的中点时，如图 2，猜
5、想线段 AE 与 DB 的大小关系是： AEDB(填“”，“”或 “=”），并说明理由（提示：在图2 中，过点 E 作 EFBC 角 AC 于点 F，得到图 3）。 C D B A P B C A P A D E F B C A D E B C 2 1 D C B A D C B E A 图 1 E D C B A 图 2 F E D C B A 图 3 3 / 10 15.如图 1，在 ABC 中， ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 右侧作 正方形 ADEF. 解答下列问题：如果AB=AC ，BAC=90o 当点 D 在线段 BC 上时，（
6、与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，请说明理由。 （2）如图 4，如果 ABAC ，BAC90o，点 D 在线段 BC 上运动，其余条件不变，猜想当BCA 等于多少 度时， CFBC，请说明理由。 16.三角形 ABC 中，BD 和 CE 是三角形的高，延长BD 至点 F，使 BF=AC， 在 EC 上取点 P，使 CP=AB，作 FM 垂直于 BC，PN垂直于 BC。求证 PN+FM=BC 17.如图，等腰直角 ABC 中，AC=BC，ACB=90o，P为ABC 内部一点， 满足
7、PB=PC，AP=AC，则 BCP=( ) C B F D E A C B F D E A 图 1 图 2 F E D C B A 图 3 F E D C B A 图 4 F N M P E D C B A P C B A 4 / 10 18.如图， ABC 中，AB=AC ，角 BAC=90 度，D 为 BC 上一点，过 D 作 DE 垂直 AD，且 DE=AD ，连接 BE，求 DBE 的度数。 19.如图， ABC 中， BAC=90o，AB=AC ，点 D 是 BC 上一点， DEAD 且 DE=AD，求证： CEAC 20.ABC 为等边三角形 ,BDA= ADC=60，试说明 AD
8、=BD+DC 21.在等边三角形 ABC 中的 AC 延长线上取一点 E,以 CE 为边做等边三 角形 CDE，使它与三角形ABC 位于直线 AE 的同一侧，点 M 为 线段 AD 的中点，点 N 为线段 BE 的中点， 求证：三角形 CNM 为等边三角形。 22.正方形 ABCD，E 为 BC 上一点， AEF 为直角， CF 平分 DCG。 (1)如图（ 1），当点 E 在线段 BC 上时，求证： AE=EF (2)如图（ 2），当点 E 在 BC 的延长线上时，试判断AE=EF 是否依然成立，并说明理由。 23.如图， ABC ，CDE是边等三角形， C 为线段 AE 上一不动点 CNA
9、BAD=BE AOE=120 度CM=CN OC平分 AOEOB+OC=OA DM=CN 其中正确的有 A D E C B A C E D B D C A B N M E B D C A D C B A F E G 图(1) D C B A F E G 图(2) O A M N D E C B 5 / 10 参考答案： 1.（1）AP=CM 证明 AB=BC ，ABP=CBM ，BP=BM ABPCBM SASAP=CM （2） APC=100 BAP+BCP=BCP+BCM=PCM=100-60=40 若CPM=90 ，如图（ 1） 则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-9
10、0-100=110 若CMP=90 ，如图（ 2） 则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-50-100=150 2.过点 C作 CFAD，交 AD 的延长线于点 F AC 平分 BAD ，CEAB AEC=AFC=90o，EAC=FAC, CE=CF AECAFC AE=AF AE= 2 1 (AB+AD) A F E D C B A M P C B 图（ 1） A M P C B 图（ 2） 6 / 10 2AE=AB+AD AB-AE =AE-AD AB-AE =AF-AD ，即 EB =FD 在EBC 和FDC 中： CE=CF ，BEC=DFC=90o， EB =FD
11、 EBCFDC B=FDC，即 ABC=FDC FDC+ADC=180o ABC+ADC=180o 3.M、N 分别是点 P关于 OA、OB 的对称点 EP=EM ，FP=FN PEF的周长 =EP+EF+FP =EM+EF+FN， 即PEF的周长 =线段 MN PEF的周长 =20cm MN=20cm (1)连接 OM，OP，ON M、N 分别是点 P关于 OA，OB 的对称点 OM=OP ，ON=OP ，MOA= POA ,NOB=POB OM=ON MON=MOA+ POA +NOB+POB=2(POA +POB)=2AOB AOB=45o， MON=90o ， MON 是等腰直角三角形
12、 （2）分别作点 P关于 OA ，OB 的对称点 M、 N ，连接 MN，分别交 OA，OB 于点 E、F 连接 PE、PF，PEF即为所求。 4.提示：连接 AD，证 ADFBDE 5.提示：延长 AB 与 CD 的延长线交于点F，证 ABECBF 6.提示：（ 1）EC=BD (2)BOP=BAE=60o，故 BOP的大小与 ABC 形状无关。 7.提示：过点 E作 EMAC，交 BC 于点 M，证 MEGCFG 8.（1）当在底边 BC 边上取点时，分两种情况： 如图（ 1），在 BC 上取点 E，使 AE=BE=CE 时，容易计算得 B=C=45o，BAC=90o； 如图（ 2），在
13、BC 上取点 F，使 AB=FB，AF=CF，设 B=C=x ，则 FAC=x，BFA=BAF=2x ，所以 有 x+x+x+2x=180 o， x=36o ，2x=72o，3x=108o，B=C=36o， BAC=108o ； （2）当在腰上取点时，也有两种情况： 如图（ 3），在AC 上取点D，使 BD=AD=BC ，设 A=x ，则 ABD=x ，所以 BDC=2x ， C=2x， DBC=x，所以有 x+2x+2x=180o，x=36o，2x=72o. F E M N P O B A 45o45o 45o45o A E C B 图（1） x F x x 2x 2x A C B 图（2）
14、 x 2x 2x x x D C B A 图（3） 3x 2x 2x x x G C B A 图（4） 7 / 10 所以 A=36o，ABC=ACB=72o. 如图（ 4），在 AC 上取点 G，使 AG=BG，CG=CB，设 A=x，则 ABG=x，BGC=CBG=2x， 所以， ABC=ACB=3x，所以 x+3x+3x=180o，x= 7 180 ，3x= 7 540 . 所以 A= 7 180 ，ABC=ACB= 7 540 综上所述， ABC 各内角度数分别为45o，45o，90o或 36o，36o，108o或 36o，72o，72o或 7 180 ， 7 540 ， 7 540
15、9.如图，延长 BD 到点 E，使 DE=DB，连接 AE. ADECDB，所以 AE=BC，AED=90o， 由ABC=120o，BDBC， 所以 ABD=30o，所以 AB=2AE=2BC 10.延长 PC到点 D，使 CD=BP，连接 AD. ABP+ACP=180o，ACP+ACD=180o ABP=ACD. 在ABP 和ACD 中： AB=AC ，ABP=ACD，BP=CD ABPACD . AP=AD，BAP=CAD. BAP+PAC=60o， CAD+PAC=60o，即 PAD=60o PAD=60o PAD 是等边三角形 AP=PD=PC+CD AP=PB+PC 11.过点 A
16、 作 AHBC 于 H，连接 PA、PB、PC. SABC=SPAB+SPBC+SPAC 2 1 BC.AH= 2 1 AB.PD+ 2 1 BC.PE+ 2 1 AC.PF 又AB=BC=AC ， AH=PD+PE+PF PD+PE+PF的值是等边 ABC 的高，是不变的值。 12.如图，延长 AE 到点 F，使 EF=AB，连接 DF. 证明 ABD FED C D E B A D P B C A P A H D E F B C A D E F B C 2 1 A 8 / 10 13.延长 AB 至点 E，使 BE=BD，连接 DE，则 BED=BDE ABD= E+BDE， ABD=2E
17、 ABC=2C， E=C 在AED 和ACD 中： E=C，1=2，AD=AD ， AED ACD AC=AE AE=AB+BE ，AC=AB+BD 即 AB+BD=AC 14.提示：证明 BDEFEC 15. (1)CFBD，CF=BD成立。提示：证明 ABD ACF (2)如右图，过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G， AGD+ACG=90o，GAD+DAC=90o CFBC ACF+ACG=90o， AGD=ACF 四边形 ADFE 是正方形 CAF+DAC=90o，AD=AF GAD=CAF 在AGD 和ACF 中： AGD=ACF,GAD=CAF,AD=AF AGD ACF A
18、G=AC AGC=ACG=45o 即BCA=45o 当 BCA=45o时 CFBC 16. 过点 A 作 AQBC 于点 Q， AQB=90o，BAQ+ABQ=90o CEAB PCN+ABQ=90o BAQ=PCN PNBC CNP=90o AQB=CNP 又AB=CP ABQCPN BQ=PN 同理可证： ACQBFM, CQ=FM PN+FM=BQ+CQ, 即 PN+FM=BC 17.作 PMBC，PNAC，垂足分别为 M、N 四边形 PMCN 是矩形 PNCM PBPC CMBM 2 1 BC 2 1 ACPN= 2 1 AC AP=ACPN 2 1 AP 在直角 PAN 中， PAN
19、30o PCACPA75o BCP90o75o15o G A B F E D C F Q N M P E D C B A P C B A A M C B 9 / 10 18. 过点 A 作 ANBC 于点 N，过点 E作 EMBC 于点 M DME=AND= 90o， DAN+ADN=90 o DEAD EDM+ADN=90o EDM=DAN 在EDM 和DAN 中： DME=AND ，EDM=DAN ，DE=AD EDMDAN DM=AN ，EM=DN AB=AC ，BAC=90o BN=AN BN=DM BN-MN=DM-MN, 即 BM=DN EM=BM DBE=45o 19.提示：过点
20、 A 作 AM BC于点 M， 过点 E 作 ENBC，交 BC 的延长线于点 N 证明 AMD DNE，其余如上题。 20.在 DA 上截取 DE=BD ，连接 BE BDA=60 ， BDE 是等边三角形， BD=BE，DBE=60 ABC 为等边三角形， ABC=60 ，AB=BC， ABC=DBE ABC-CBE=DBE-CBE，即 ABE=CBD BD=BE，BC=AB， CBDABESAS CD=AE，AD=AE+DE=CD+BD 21.提示：证明 ACDBCE，然后证明 AMC BNC MCA= NCB， MC=NC MCA+ MCB=60o， NCB+MCB=60o，即 MCN
21、=60o， CNM 为等边三角形。 22.提示：（ 1）如图（ 1），在 AB 上截取 AH=EC，证明 AHEECF （2）如图（ 2），延长 BA 到点 H，使 AH=EC，证明 AHEECF N M C A E D B E B D C A D A F H F D A 10 / 10 23.正确的有 : DCE=BAC=60 ，则 DCBA，即 CNBA. AC=BC,DC=EC，ACD= BCE=120 ，则 ACDBCE(SAS)，得 AD=BE. ACDBCE，则 ADC=BEC. 故AOE=180 -(OAE+BEC)=180 -(OAE+ADC)=180 -DCE=120 . C
22、D=CE，BEC=ADC( 已证)，NCE=MCD=60 ， 则NCEMCD(ASA) ，CM=CN. 过点 CPAD，CQBE ACDBCE(已证)，CP=CQ.(全等三角形对应边上的高相等) 故 OC 平分 AOE.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上) 在 OA 上截取 OF=OC，连接 CF. OC平分 AOE，AOE=120 .AOC=COE=60 ，则 COF为等边三角形 . 故 CF=CO，CFO=COE=60 ，AFC=BOC=120 又ACDBCE(已证)，CAD=CBE. ACFBCO(AAS) ，AF=BO.所以，OB+OC=AF+OF=OA. 错误 . 由NCEMCD(已证)，易知 DM=EN. CNENDE=DECNEC. ENCN(大角对大边 )，故 DM=EN，DMCN.