《数学必修2人教版导学案4.2.1直线与圆的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学必修2人教版导学案4.2.1直线与圆的位置关系.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.2.1 直线与圆的位置关系 （一）教学目标 1知识与技能 （1）理解直线与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. （二）过程与方法 设直线 l ：ax + by + c = 0，圆 C：x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，圆的半径为r ，圆心 (,) 22 DE 到直线的 距离为 d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 dr 时，直线l 与圆 C相离； （2）当 dr 时，直线l 与圆 C相切； （3）当 dr 时，直线l 与圆 C相交； 3情态与价值观 让
2、学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. （二）教学重点、难点 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系. （三）教学过程设想 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入 1初中学过的平面 几何中，直线与圆的位置 关系有几类？ 师；让学生之间进行讨论、 交流，引导学生观察图形，导入 新课 . 生：看图，并说出自己的看 法. 启 发 学 生由图形获 取判断直线 与圆的位置 关系的直观 认知，引入 新课 . 概念形成 2直线与圆的位置 关系有哪几种呢？三种 （1）直线与圆相交， 有两个公共点. （2）直线与圆相切， 只有
3、一个公共点. （3）直线与圆相离， 没有公共点 . 师：引导学生利用类比、归 纳的思想，总结直线与圆的位置 关系的种类，进一步深化“数形 结合”的数学思想. 生：观察图形，利用类比的 方法， 归纳直线与圆的位置关系. 得 出 直 线与圆的位 置关系的几 何特征与种 类 . 概念深化 3在初中，我们怎 样判断直线与圆的位置 关系呢？如何用直线与 圆的方程判断它们之间 的位置关系呢？ 师：引导学生回忆初中判断 直线与圆的位置关系的思想过 程. 生：回忆直线与圆的位置关 系的判断过程. 使 学 生 回忆初中的 数学知识， 培养抽象概 括能力 . 4你能说出判断直 线与圆的位置关系的两 种方法吗？ 方
4、法一： 利用圆心到 直线的距离d. 方法二： 利用直线与 圆的交点个数. 师：引导学生从几何的角度 说明判断方法和通过直线与圆的 方程说明判断方法. 生：利用图形，寻找两种方 法的数学思想. 抽 象 判 断直线与圆 的位置关系 的思路与方 法 . 应用举例 5你能用两种判断 直线与圆的位置关系的 数学思想解决例1的问题 吗？ 例 1 如图，已知直 线 l ：3x + y 6 = 0 和圆心为C 的圆 x 2 + y2 2y 4 = 0，判断直 线 l 与圆的位置关系； 如 果相交，求它们交点的坐 标. 分析： 方法一： 由直 线 l 与圆的位置关系， 就 是看由它们的方程组成 的方程组有无实数
5、解；方 法二，可以依据圆心到直 线的距离与半径长的关 系，判断直线与圆的位置 关系 . 6通过学习教科书 的例1，你能总结一下判 断直线与圆的位置关系 的步骤吗？ 例2 已 知 过 点M ( 3， 3)的直线 l 被圆 x 2 + y 2 + 4y 21 = 0 所截得的弦长为45，求 直线 l 的方程 . 师：指导学生阅读教科书上 的例 1. 生：仔细阅读教科书上的例 1，并完成教科书第140 页的练习 题 2. 例 1 解法一：由直线 l 与 圆的方程，得 22 360 240 xy xyy 消去 y，得 x 2 3x + 2 = 0， 因为 = ( 3) 2 4 12 = 1 0 所以，
6、直线l 与圆相交，有 两个公共点 . 解法二：圆x 2 + y2 2y 4 = 0可化为 x 2 + (y 1) 2 =5 ， 其圆心C 的坐标为（ 0， 1），半 径长为5，点 C (0，1) 到直线 l 的距离 d = 22 |3016|5 10 31 5. 所以，直线l 与圆相交，有 两个公共点 . 由 x 2 3x + 2 = 0，解得 x1 =2 ，x2 = 1. 把 x1=2 代入方程，得y1= 0； 把 x2=1 代入方程，得y2= 0； 所以， 直线 l 与圆有两个交 点，它们的坐标分别是 A (2 ，0) ，B (1 ，3). 生：阅读例1. 师：分析例1，并展示解答 过程；
7、启发学生概括判断直线与 圆的位置关系的基本步骤，注意 给学生留有总结思考的时间. 生：交流自己总结的步骤. 师：展示解题步骤. 例 2 解： 将圆的方程写成标 准形式，得 x 2 + (y2 + 2)2 =25 ， 所 以 ， 圆 心 的 坐 标 是 (0 ， 2) ，半径长r =5. 如图，因为直线l 的距离为 45，所以弦心距为 体 会 判 断直线与圆 的位置关系 的 思 想 方 法，关注量 与量之间的 关系 . 使 学 生 熟悉判断直 线与圆的位 置关系的基 本步骤 . 22 4 5 5()5 2 ， 即圆心到所求直线l的距离为 5. 因为直线l 过点M ( 3， 3) ，所以可设所求直
8、线l的方 程为 y + 3 = k (x + 3)， 即 k x y + 3k 3 = 0. 根据点到直线的距离公式， 得到圆心到直线l 的距离 d = 2 | 233 | 1 k k . 因此， 2 | 233 | 5 1 k k ， 即 |3k 1| = 2 55k， 两边平方，并整理得到 2k 2 3k 2 = 0 ， 解得 k = 1 2 ，或 k =2. 所以，所求直线l 有两条， 它们的方程分别为 y + 3 = 1 2 (x + 3)， 或 y + 3 = 2(x + 3). 即 x +2y = 0，或 2x y + 3 = 0. 7通过学习教科书 上的例2，你能说明例2 中体现
9、出来的数学思想 方法吗？ 8通过例 2 的学习， 你发现了什么？ 半弦、弦心距、半径 构成勾股弦关系. 师：指导学生阅读并完成教 科书上的例2，启发学生利用 “数 形结合”的数学思想解决问题. 生：阅读教科书上的例2， 并 完成 137 页的练习题 . 师：引导并启发学生探索直 线与圆的相交弦的求法. 生：通过分析、抽象、归纳， 得出相交弦长的运算方法. 进 一 步 深化“数形 结合”的数 学思想 . 明 确 弦 长的运算方 法 . 9 完成教科书第136 页的练习题1、2、3、 4. 师：引导学生完成练习题. 生：互相讨论、交流，完成 练习题 . 巩 固 所 学 过 的 知 识，进一步 理解
10、和掌握 直线与圆的 位置关系 . 归纳总结 10课堂小结： 教师提出下列问题让 学生思考： （1）通过直线与圆的 位置关系的判断， 你学到了 什么？ （2）判断直线与圆的 位置关系有几种方法？它 们的特点是什么？ （3）如何求出直线与 圆的相交弦长？ 师生共同回顾 回 顾 、 反思、总结 形成知识体 系 课外作业 布置作业： 见习题4.2 第一课 时 学生独立完成 巩 固 所 学知识 备选例题 例 1 已知圆的方程x 2 + y 2 = 2 ，直线 y = x + b，当 b 为何值时， （ 1）圆与直线有两个公共点； （ 2）圆与直线只有一个公共点； （ 3）圆与直线没有公共点. 解法 1：
11、圆心 O ( ，0)到直线 y = x + b的距离为 | 2 b d，圆的半径2r. （ 1）当 dr ，即 2b2 时，直线与圆相交，有两个公共点； （ 2）当 d = r，即 b= 2时，直线与圆相切，有一个公共点； （ 3）当 dr ，即 b 2 或 b 2 时，直线与圆相离，无公共点. 解法 2：联立两个方程得方程组 22 2xy yxb . 消去 y 2 得 2x 2 + 2bx + b2 2 = 0，=16 4b 2. （ 1）当0，即 2 b2 时，直线与圆有两个公共点； （ 2）当0，即2b时，直线与圆有一个公共点； （ 3）当0 即 b2 或 b 2 时，直线与圆无公共点.
12、 例 2 直线 m经过点 P (5 ，5) 且和圆 C：x 2 + y2 = 25 相交，截得弦长l 为45，求 m的方程 . 【解析】设圆心到直线m的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半2 5 2 l ， 所以由勾股定理，得： 22 5(2 5)5d， 所以设直线方程为y 5 = k (x 5) 即 kx y + 5 5k = 0. 由 2 |55| 5 1 k k ，得 1 2 k或 k = 2. 所以直线m的方程为x 2y + 5 = 0或 2x y 5 = 0. 例 3 已知圆 C：x 2 + y2 2x + 4y 4 = 0. 问是否存在斜率为1 的直线 l ， 使 l
13、被圆 C截得弦 AB满 足：以 AB为直径的圆经过原点. 【解析】假设存在且设l 为： y = x + m，圆 C化为 (x 1) 2 (y + 2) 2 = 9 ，圆心 C (1 ， 2). 解方程组 2(1) yxm yx 得 AB的中点 N的坐标 11 (,) 22 mm N， 由于以 AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|. 又 22 (3) |9 2 m ANCACN， 22 11 |()() 22 mm ON 所以 2 2(3)(1)1 9() 222 mmm 解得 m = 1 或 m = 4. 所以存在直线l ，方程为x y + 1 = 0和 x y 4 = 0， 并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的.