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1、- 1 - 湖南省 2013届高考压轴卷数学理试题 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5 页。时量120 分钟，满分150 分。 注意事项： 1答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4选考题的作答
2、：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。考生应根 据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草 稿纸上无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 1.已知集合 2 lg(4)Ax yx，3 ,0 x By yx时，AB（） A02xxB12xxC12xxD 2.复数 43 12 i i 的实部是（） A.2 B.4
3、C.3 D.-2 3.已知函数，则( ) A32 B16 C.D 4.已知等比数列 n a中，各项都是正数，且 231 2, 2 1 ,aaa成等差数列，则 89 67 aa aa 等于 A21B. 21C. 223D. 223 5.已知两个非零向量a与b，定义sinaba b，其中为a与b的夹角 若3,4a =，0,2b=，则ab的值为 A8B6C8 D 6 6.在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，a、b为不同的两个平面） m a，n/aTmnm/n，n/aTm/a - 2 - m/n，nb，m/aTabmnA=，m/a，m/b，n/a，n/bTa/b 其中正确的命题个数有
4、A1 个B2 个C3 个D4 个 7.如图是计算 1111 2462012 L的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（） A1005iB1005iC1006iD1006i 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A22B2 C （22 1） D （ 22 2） 二、填空题：本大题共8 小题，考生作答7 小题，每小题5 分，共 35 分，把答案填在答题卡 中对应题号后 的横线上。 （一）选做题（请考生在第9，10，11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.若曲线的极坐标方程为cos4sin2，以极点为原点， 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该 曲线的直角坐
5、标方程为. 10有一根长为3 cm ，底面半径为2 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个 端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 11.已知, x yR，且满足22xyxy+=，那么+4xy的最小值是 （二）必做题（1216 题） 12.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为F1、 F2，且 12 |F F=2c，若点 P 在椭圆上，且满 足 2 21212 0,PFF FPFPFc ，则该椭圆的离心率e 等于 13.为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2 2 列联表进行独 立性检验，经计
6、算 28.026，则所得到的统计学结论是：有 的把握认为 “ 性别与喜欢乡村音乐有关 系”( ) - 3 - 附： P( 2k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k02.706 3.841 5.024 6.635 10.828 14.已知实数,x y满足不等式组 20 30 2 xy xy xym ,且z xy的最小值为3,则实数m的值 _。 15.若)(.21 2013 201310 2013 Rxxaxaax，则 2013 2013 2 21 2 . 22 aaa . 16.已知函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a的对称中心为M),( 00 yx
7、， 记函数)(xf的导函数为)( / xf， )( / xf的导函数为)( / xf，则有0)( 0 / xf.若函数 32 3fxxx， 则可求得： 12 20122012 ff 4022 . 2012 f 4023 2012 f . 三解答题（共75 分，前 4 题 12 分，第 20 题 13 分，第 21 题 14 分） 17.( 本小题满分12分 )已知 1 (sin,) 2 mA 与(3,sin3 cos)nAA共线，其中 A是 ABC 的内角（1） 求角 A 的大小； （2）若 BC=2，求 ABC 面积 S的最大值，并判断S取得最大值时ABC 的形状 . 18.( 本小题满分1
8、2 分)某次体能测试中， 规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通 过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为7.0(假定每次通过 率相同 ). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率; (2) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望(精确到 0.1). 19.（本小题满分12 分） 在如图所示的几何体中，底面ABCD为菱形，60BAD ，BECCDDAA/ 111, 且ABAA1，ED1平面ACD1， 1 AA底面ABCD . 【全品 中 过点 Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若 OMN 面积取得最大，求直线MN 的方程
9、. 22.（本小题满分14 分） 数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a， 1 21 nn aS * ()nN，等差数列 n b满足 35 3,9bb. （ 1）分别求数列 na ， nb 的通项公式； （ 2）设 * 2 2 () n n n b cnN a ，求证 1 1 3 nn cc - 5 - 2013湖南省高考预测卷数学理答案 一 选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A C C D C A A 二 填空题 9. 2 x 2 y420xy10. 5 cm 11.32 212. 51 2 13. 99% - 6 - 14. 6 15. -1 16. -8046 三
10、解答题 17.解： （1）因为 m/n,所以 3 sin(sin3cos )0 2 AAA. 所以 31cos23 sin20 222 A A， 即 31 sin2cos21 22 AA， 即 sin 21 6 A. 4分 因为(0, )A, 所以 11 2 666 A，. 故 2 62 A， 3 A. 6分 （ 2）由余弦定理，得 22 4bcbc. 又 31 sin 24 ABC SbcAbc ，8 分 而 22 2424bcbcbcbcbc， （当且仅当bc时等号 成立） 10 分 所以 331 sin43 244 ABC SbcAbc. 11分 当 ABC 的面积取最大值时，b c .
11、又 3 A，故此时 ABC 为等边三角形. 12分 18. 因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7 1 分 运动员甲参加两次测试的概率是0.7 0.3=0.21 3 分 所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 4 分 的可能取值是 1,2,3,4 5 分 P（=1 ）=0.7；P（=2 ）=0.21； P（=3 ）=0.063； P（=4 ）=0.027；9 分 所以 的分布列为： 1 2 3 4 P 0.7 0.21 0.063 0.027 所以 E=10.7+20.21+30.063+40.0271.4 12 分 19.解： （I）设AC与BD交于O，如图所示建立空
12、间直角坐标系Oxyz，设2AB，则， 1 ( 3,0,0),(0, 1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),ABCDD设), 1,0(tE则， )2, 1, 3(),0,0 ,32(),2,2 ,0( 11 ADCAtED 2 分 AD C B A1 D1 C1 E xy z o - 7 - ADEDCAEDACD 11111 ，面ED 1 11 D E CA=0 D E D A0, ，解得 3,(0, 1,3)tE ，4 分 (3,1,3)AE ，设平面 EAC的法向量为( , , )mx y z， 则 0 0 m CA m AE ， 0 330 x xyz 令1z ， 3
13、y (0,3,1)m6 分 又平面FAC的法向量为) 1,2, 0( 1 ED 2 2 ,cos 1 1 EDm EDm FEm 所以所求二面角的大小为458分 （）设 111 (),D PPED ED P得 11 2 (0,), 111 D PD E 1111 22 (3,1,0)(0,)(3,1,) 1111 A PA DDP 10分 11 APEACA Pm平面， 1 30310 11 ，解得 3 2 ， (2)存在点P使 1 /A P面,EAC此时 1 :3: 2D P PE12分 20.（1）)ln()(aexf x 是奇函数， 则)ln()ln(aeae xx 恒成立 . .1)(
14、aeae xx . 0, 0)(, 11 2 aaeeaaaeae xxxx 又)(xg在1，1上单调递减，, 1sin)1()( max gxg （2） 2 sin11tt只需在, 1上恒成立 , 2 (1)sin1101.tt在，恒成立 令),1( 11sin) 1()( 2 tth则 , 011sin1 01 2 tt t - 8 - 2 2 1 sin10, sin10 t tt tt 而恒成立1t. （ 3）由（ 1）知,2 ln ,)( 2 mexx x x xxf方程为 令mexxxf x x xf2)(, ln )( 2 21 ， 21 ln1 )( x x xf， 当,0()
15、(, 0)(,), 0( 11 exfxfex在时上为增函数； ),0)(,0)(,), 11 exfxfex在时上为减函数， 当ex时，. 1 )()( 1max1 e efxf 而 22 2 )()(emexxf， )( 1 xf函数、)( 2 xf在同一坐标系的大致图象如图所示， 当 e em e em 1 , 1 22 即时，方程无解 . 当 e em e em 1 , 122 即时，方程有一个根. 当 e em e em 1 , 122 即时，方程有两个根. 21.椭圆 C 的焦点在x 轴上， 由椭圆上的点A 到 F1、F2两点的距离之和是4，得 2a= 4，即 a=2.； 又点 A
16、(1, 3 2 ) 在椭圆上，因此 22 3 1 4 1. 2b 得 b2=1，于是 c2=3； 所以椭圆C 的方程为 2 2 121,(3,0),(3,0). 4 x yFF焦点 ， P在椭圆内，直线DE 与椭圆相交， 设 D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆 C 的方程得 x1 2+4y 1 2-4=0, x 2 2+4y 2 2-4=0,相减得 2(x 1-x2)+4 2 1 4 (y1-y2)=0,斜率为k=-1 DE 方程为 y-1= -1( x- 1 4 ),即 4x+4y=5; (3)直线 MN 不与 y 轴垂直，设MN 方程为 my=x-1，代入椭圆C 的方程得 （m2
17、+4)y2+2my-3=0, 设 M(x1,y1),N( x2,y2),则 y1+y2=- 2 2 4 m m , y1y2=- 23 4m ,且 0 成立 . 又 SOMN= 1 2 |y1-y2|= 1 2 22 2 412(4) 4 mm m = 2 2 23 4 m m ，设 t= 2 3m3,则 - 9 - SOMN= 2 1 t t ,(t+ 1 t ) =1-t -20 对 t 3恒成立， t=3时 t+ 1 t 取得最小， SOMN最大， 此时 m=0,MN 方程为 x=1 22.解： （1）由 1 21 nn aS-得 1 21 nn aS- ， 得 11 2() nnnn aaSS， 1 3 nn aa2分 1 3 n n a；4分 53 26,3bbdd5分 36 n bn7分 （2）因为 1 22 3,3 n nn abn-9分 所以 1 3 33 nnn nn c10分 所以0 3 21 1 1 n nn n cc12分 11 1 3 nn ccc13分 所以 1 1 3 nn cc14分