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1、1 / 10 1、三角形及其有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180 （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定
2、性。 4. 补充性质：在ABC中， D 是 BC 边上任意一点，E 是 AD 上任意一点，则 SSSS ABECDEBDECAE 。 A B CD E 2 / 10 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又 是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角 形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形 去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打 下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解读】 例 1. 锐角三角形ABC 中， C2B，则 B 的
3、范围是（） A. 1020BB. 2030B C. 3045BD. 4560B 分析： 因为ABC为锐角三角形，所以090B 又 C2B，0290B 045B 又 A 为锐角，ABC180为锐角 BC90 390B，即B30 3045B，故选择C。 例 2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的 形状是（） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 分析： 由于三角形的外角和等于360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三 个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解： 三角形的一个外角等于
4、160 另两个外角的和等于200 设这两个外角的度数为2x，3x 23200xx 3 / 10 解得：x40 2803120xx， 与 80相邻的内角为100 这个三角形为钝角三角形 应选 C 例 3. 如图，已知：在ABC中，ABAC 1 2 ，求证：CB 1 2 。 A E BC F 分析： 欲证CB 1 2 ，可作 ABC 的平分线BE 交 AC 于 E，只要证CEBC 即可。为与题设ABAC 1 2 联系，又作AF/BE 交 CB 的延长线于F。 显然 EBC F，只要证CF即可。由AFABAC2可得证。 证明：作 ABC 的角平分线BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交
5、 CB 的延长线于F AFBEFEBCFABABE/ /， 又 BE 平分 ABC ， EBC ABE F FAB ， AB BF 又 ABFBAF，即 2AB AF 又ABACACAF 1 2 ， FC，又FABC 1 2 4 / 10 CB 1 2 中考点拨： 例 1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 A B C D E GF 分析： 由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角 的问题。 解：，CEAGFBDAFG ABCEDAAGFAFG180 所以选择 C 例 2. 选择题：已知
6、三角形的两边分别为5 和 7，则第三边x 的范围是（） A. 大于 2 B. 小于 12 C. 大于 2 小于 12 D. 不能确定 分析： 根据三角形三边关系应有7575x，即122x 所以应选 C 题型展示： 例 1. 已知：如图，在ABC中， D 是 BC 上任意一点， E 是 AD 上任意一点。求证： （1） BEC BAC ； 5 / 10 （2）AB AC BEEC。 A B CD E F 分析： 在（ 1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线， 转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明： （1） BED 是ABE的一个外角， BEDBAE
7、 同理，DECCAE BEDDECBAECAE 即BECBAC （2）延长 BE 交 AC 于 F 点 ABAFBEEF EFFCEC ABAFEFFCBEEFEC 又 即ABACBEEC 例 2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。 已知：如图，在ABC中，CEABABD90 ，、是ABC的外角， AF、BF 分别 6 / 10 平分 EAB 及 ABD 。 求证： AFB45 AB C ED F 分析： 欲证AFB45，须证FABFBA135 AF、BF 分别平分 EAB 及 ABD 要转证 EAB ABD 270 又 C 90，三角形一个外角等于和它不相邻的两
8、个内角之和 问题得证 证明： EAB ABC C ABD CAB C ABC C CAB 180， C90 EABABDABCCCABC18090270 AF、BF 分别平分 EAB 及 ABD FABFBAEABABD 1 2 1 2 270135 在ABF中，AFBFABFBA18045 【实战模拟】 1. 已知：三角形的三边长为3，8，12x，求 x 的取值范围。 7 / 10 2. 已知：ABC中，ABBC，D 点在 BC 的延长线上，使ADBC，BCA， CAD，求 和间的关系为？ A B C D 3. 如图， ABC中，ABCACB、 的平分线交于P点， BPC134 ，则 BAC
9、 （） A. 68B. 80C. 88D. 46 A B C P 4. 已知：如图，AD 是ABC的 BC 边上高， AE 平分BAC。 8 / 10 求证：EADCB 1 2 A B CDE 5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。 【试卷答案】 1. 分析： 本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解： 三边长分别为3， 8，12x，由三边关系定理得： 51211x 4210 25 x x 2. 解：ABBCBCABAC， 又ADBCADAB， DB，又BCADB DB， 根据三角形内角和，得： 9 / 10 2180 3180 3. 解
10、：BPC134 PBCPCB46 又 BP、CP 为 B、 C 的平分线 ， PBCABCPCBACB PBCPCBABCACB ABCACB BACABCACB 1 2 1 2 1 2 24692 18088 4. 证明： EADEACCAD AE 平分 BAC ，EACBAC 1 2 又 AD BC，ADC90 CADC90 又BACBC180 EADBACCAD BCC CB 1 2 1 2 18090 1 2 1 2 EADCB 1 2 5. 证明： 如图，设ABC的 BAC 和 ABC 的外角平分线交于点D 10 / 10 E A B D CG FABABCACB EBABACACB DABDBA FABEBA ABCBACACB 1 2 1 2 则ADBDABDBA180 ABCACBBACABCBACACB ABCBAC 1 2 1 2 又 1 2 1 2 ACGABCBAC ADBACG 1 2 。