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1、1 / 6 三角形综合 一、三角形相关概念 1三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点 ：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作 ABC ，其中线段AB、BC 、AC是三角形的三条边，A、 B、 C分别表示三角形的三个内角 3三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线 注意： 三角形的角平分线是一条线段
2、，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射 线 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画 （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 注意： 三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点 画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简 称三角形的高 注意： 三角形的三条高是线段 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边
3、上的 高 （二）三角形三边关系定理 三角形两边之和大于第三边，故同时满足ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+bc，b+ca， c+ab 三角形两边之差小于第三边，故同时满足ABC三边长 a、b、c 的不等式有： ab-c ，ba-c ， cb-a 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即 可 2 / 6 （三）三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如 起重机的支架采用三角形结构就是这个道理 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （四）三角形的内角 结论 1：
4、三角形的内角和为180表示：在 ABC中， A+ B+C=180 （1）构造平角 可过 A点作 MN BC(如图 ) 可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余表示： 如图，在直角三角形ABC中， C=90，那么 A+B=90（因为 A+B+ C=180） 注意： 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在 ABC中， C=180（ A+B） 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角 如： ABC中，已知 A： B： C=2：3：4，
5、求 A、 B、 C的度数 （五）三角形的外角 1意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 如图， ACD为 ABC的一个外角，BCE也是 ABC的一个外角， 这两个角为对顶角，大小相等 2性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中， ACD= A+B , ACD A , ACD B. 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角 （六）多边形 3 / 6 多边形的对角线 2 )3(nn 条对角线 n 边形的内角和为（n 2）
6、 180 多边形的外角和为360 三角形有关的线段和角同步练习 一 . 判断题： 1只有两边相等的三角形叫等腰三角形( ) 2三角形的三个外角中最多有两个锐角( ) 3已知线段 a、b、 c，若 ca，cb，且 abc，则 a、b、c必定可以组成一个三角形（）4. 一个三角 形中至少有一个内角不小于60( ) 5. 三角形的三条高可以有一条在形外，两条在形内( ) 6. 一个等腰三角形一定是锐角三角形( ) 二、选择题: 1. 对于 ABC ，下列命题中是假命题的为( ) A. 若 A B C，则 ABC 是直角三角形 B.若 A B C ，则 ABC 是锐角三角形 C.若 A B C ，则
7、ABC 是钝角三角形 D.若 A B C ，则 ABC 是斜三角形 2. 在 ABC 中，已知 A C2B， C A80，则 C的度数是 ( ) A.60 B.80 C.100D.120 3. 如图 2， B C ，则 ADC 与 AEB 的关系是 ( ) A.ADC AEB B. ADC AEB C. ADC AEB D. 不能确定 4如图： A+B+ C+D+ E+F等于（） A180o B360o C540o D720o 5下列叙述正确的是（） A.一个三角形的外角中，至少有一个是锐角 B.等腰三角形的周长是22厘M ，一边是 10厘M ，那么另一边一定是6厘 M 4 / 6 C.等边三
8、角形是等腰三角形内的一种三角形 D.三角形的一个外角等于两个内角的和 图中（）是ABC 的外角 A.1 B. 2 C.3 D.4 . 锐角三角形中，最大角的取值范围是（） A0o 90oB60o 90o C60o 180o D60o 90o 钝角三角形的高线在三角形外的数目有（） A3 B2 C 1 D 0 如图所示，图中共有三角形的个数是（） A4 B 5 C 6 D 8 10如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A等腰三角形B锐角三角形 C直角三角形D钝角三角形 三、填空： 1. 已知三角形的两边长分别为3、 5，则第三边 a的取值范围是，若两边长为2和1
9、2，第三边为偶数，则周 长为 . 2. 已知等腰三角形一边等于3，一边等于 6，则它的周长等于 3. 以长为 3cm 、5cm、7cm、10cm 的四条线段中的三条线段为边，构成三角形的个数是_个. 4. 在 ABC 中， A B C123，则 C_. 5. 在 ABC 中，若 A30， B 2 1 C，则 B_， C_. 6. 在 ABC 中， B40， C 60， AD 是 A的平分线，则DAC 的度数为 _. 7. 在 ABC 中， C90， CD AB ， B63，则 DCA _. 8. 已知 ABC 中, 若 A:B: C1:2:3,则 ABC 是三角形 9. 等腰三角形的周长为20
10、，其中一边长为4，则另外两边长分别为. 10. ABC 的三个外角度数这比是2:3:4 ，则这个三角形三个内角度数分别是. 11. 如图，在 ABC 中， ABC 的平分线与ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求BIC的度数 . （1）若 ABC 70， ACB 50，则 BIC. （2）若 ABC ACB 90，则 BIC. （3）若 A 100，则 BIC. 5 / 6 （4）若 A n，则 BIC . （5）从上面 4个小问题中，你能得出 BIC与 A 的数量关系是. 12. 如图， EBC 的平分线与ECB 的平分线交于点D,则 A 与 D的关系是 . 13. 在 ABC 中，
11、A 2B3C，此三角形是三角形. 四、解答题: 考点 1 1. 对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高. 2. 已知 ABC 中， B20， C80， AD BC 于D，AE 平分 BAC ，求 EAD. 3. 已知，在 ABC 中， ABC 和 ACD 的平分线相交于点O ，试探索： BOC 和 A的关系 . 4. 已知 a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|. (1) C B A CB A (2) C B A (3) 6 / 6 5. 已知，如图，AB CD ，AE平分 BAC ，CE平分 ACD ，求 E的度数 6. 如图，在 ABC中， D,E 分别是 BC ，AD的中点， ABC S=4 2 cm，求 ABE S. E D C B A _ E _ D_ B_ C _ A