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1、1 / 6 质数与合数 与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题 1、有人说：“任何7 个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错 的 【分析与解】 例如连续的 7 个整数： 842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、 3、4、5、6、7、8 整除，电就是说它们都不是质数 评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到 (n+1)!+2 ，(n+1)!+3 ，(n+1)!+4 ， (n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被2、3、4、 (n+1) 整除，它们是连续的n 个合数 其中 n! 表示从 1 一直乘到 n 的积，即
2、123n 2、从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大12 【分析与解】我们知道12 是 2、3 的倍数，如果开始的质数是2 或 3，那么 后一个数 即 23或 与 12 的和一定也是 2 或 3 的倍数，将是合数，所以从5 开始尝试 有 5、17、29、41、53 是满足条件的 5 个质数 39 个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个? 【分析与解】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9 个连续的自然数中最多只有5 个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9但是大于80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有4 个数 验证 10
3、1，102，103，104，105，106，107，108，109 这 9 个连续的自然数中101、 2 / 6 103、107、109这 4 个数均是质数 也就是大于 80的 9 个连续自然数，其中质数最多能有4 个 4. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只 能用一次，那么这9 个数字最多能组成多少个质数? 【分析与解】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质 数，这样还剩下 1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用 有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 6
4、7 所以这 9 个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这 6 个质数 53 个质数的倒数之和是 1661 1986 ，则这 3 个质数之和为多少 ? 【分析与解】 设这 3 个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为 1 a 、 1 b 、 1 c ，计算它 们的和时需通分，且通分后的分母为abc，求和得到的分数为 F abc , 如果这个分数能 够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c 或它们之间的积 现在和为 1661 1986 ，分母 1986=23331，所以一定是 a=2，b=3，c=331，检验满足 所以这 3 个质数的和为 2+3+331=336 6已知一个两位数除147
5、7，余数是 49求满足这样条件的所有两位数 【分析与解】有 1477除数 =商49，那么1477-49：除数商，所以，除数 商=1428=223717 一般情况下有除数大于余数即除数大于49 且整除 1428，有 84、51、68 满足 3 / 6 所以满足题意的两位数有51、68、84 7有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样的分数从小 到大排列，那么第三个分数是多少? 【分析与解】有 140=2257，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分 母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4
6、、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 1 140 、 2 70 、 4 35 、 5 28 、 7 20 、 10 14 、 14 10 、 其中第三个最简真分数为 8某校师生为贫困地区捐款1995 元这个学校共有35 名教师， 14 个教案班各班学生 人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款 多少元 ? 【分析与解】这个学校最少有 35+1430=455 名师生，最多有35+1445=665 名师 生，并且师生总人数能整除1995 1995=35133，在45
7、5665 之间的约数只有5133=665，所以师生总数为665 人，则平均每人捐款1995665=3 元 9在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5 看成 8，由此得 乘积为 1872那么原来的乘积是多少? 【分析与解】1872=22223313=口口口口，其中某个口为8， 一一验证只有： 1872=4839，1872=7824 满足 当为 1872=4839 时，小马虎错把5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以正确的乘 积应该是 4539=1755 当为 1872=7824 时，小马虎错把5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘 积应该是 752
8、4=1800 4 / 6 所以原来的积为 1755或 1800 10. 已知两个数的和被5 除余 1，它们的积是 2924，那么它们的差等于多少 ? 【分析与解】 2924=221743=A B，且有A+B被 5 除余 l ，则和的个位为1 或 6 有 417+43=68+43=11l，也就是说 68、43 为满足题意的两个数 它们的差为 68-43=25 11在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶 ) ，或者是不超过10 的自然 数甲、乙两名运动员各射了5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环 数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少? 【分析与解】1764=
9、223377， 1764对应为 5 个小于 10 的自然数乘积 只能是 1764=43377 =26377 =22977 =16677 =14977 对应 的和 依次 为 4+3+3+7+7=24 ， 2+6+3+7+7=25 ， 2+2+9+7+7=27 ， 1+6+6+7+7=27 ， l+4+9+7+7=28 对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数 为 1、4、9、7、7 所以甲的总环数为24，乙的总环数为 28 12在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是 质数，那么这个长方体的体积是多少?
10、 【 分 析 与 解 】如 下图 ，设 长、 宽 、高 依次 为 a、 b、 c ，有 正面 和上 面的 和为 ac+ab=209 5 / 6 ac+ab=a(c+b)=209 ，而 209=1119 当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则 c+b=2+17。 当 a=19时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意 所以它们的乘积为11217=374 13. 一个长方体的长、宽、高是连续的3 个自然数，它的体积是39270 立方厘 M ，那么这 个长方体的表面积是多少平方厘M? 【分析与解】方法一：39270=23
11、571117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 即 3 34最接近39270，39270 的约数中接近或等于34 的有 35、34、33，有 333435=39270 所以 33、34、35为满足题意的长、宽、高 则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高 长)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘 M) 方法二： 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如 果 17 作为长、宽或高显然不满足 当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与
12、 5 的乘积作为长方体的一条边的长度 而 39270的质因数中只剩下了3 和 1l ，所以这个长方体的大小为333435 长方体的表面积为 2( 39270 33 + 39270 34 + 39270 35 )=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘 M) 14一个长方体的长、宽、高都是整数厘M ，它的体积是1998 立方厘 M ，那么它的长、 宽、高的和的最小可能值是多少厘M? 【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和 6 / 6 越小如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 8 1998=233337， 37
13、是质数，不能再分解，所以2333 对应的两个数应越 接近越好有 2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近 它们的和为 6+9+37=52(厘 M) 15如果两数的和是 64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少? 【分析与解】 4875=355513， 有 ab为 4875 的约数，且这两个数的和为64发现 39=313、25=55 这两个数的和 为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数 那么它们的差为 39-25=14 评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为 64 的数的乘积最大为3232=1024，而积最小为 163=63 而 4875 在 641024 之间的约数有 65，195，325，375，975 等 我们再对 65，195，325，375，975 等一一验证 严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解而在本题中满足题意的只有39、25 这组数