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1、1 / 11 上海市光明中学2008 学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 考生注意：时间100 分钟，总分120 分，试卷共4 页 一、填空题（每题4 分，共 48 分） 1等差数列 n a中， 2 5a， 64 6aa，则 1 a=. 2在等比数列中，已知首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比是 2 3 ，则项数为 . 3数列 n a满足 123 23.(1)(2) n aaanan nn,则数列 n a的通项公式 n a=. 4. 若 n a是公比为q的等比数列 , 前n项和为 n S, 若 n S是等差数列 , 则q. 5. 若点 P分有向线段AB所成的比为 2 7 ，则点 A分有
2、向线段BP所成的比是 . 6在Rt ABC中，若( 2,3)AB，(1, )ACk，则实数k的值为 . 7若(1,2)a，(1,1)b，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围 为. 8已知点(6,1)A，(1,3)B，(3,1)C，则向量AB在向量BC方向上的投影为. 9. 在数列 n a中, 12 1,2,aa211() n nn aanN,则 100 S. 10 ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H， ()OHm OAOBOC，则实数m=. 11若 21 lim 12 n n r r 存在，则实数r的取值范围是 . 12 （理） 若在由正整数
3、构成的无穷数列 n a中，对任意的正整数n，都有 1nn aa， 且对任意的正整数k，该数列中恰有21k个k，则 2008 a=. （文） 若在由正整数构成的无穷数列 n a中，对任意的正整数n，都有 1nn aa， 且对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则 2008 a=. 准 考 证 号 码 班 级 学 号 姓 名 装 订 线 内 请 勿 答 题 2 / 11 二、选择题（每题4分，共 16分） 13下列命题中正确命题的个数为（） 若lim n n aA，则 22 lim; n n aA若0,lim,0; nn n aaAA则 若limlimlim0,; nnnnnn nnn ababa
4、b, 且则 若 nn ab极限不存在，则 n a、 n b极限不存在 . 14设 111 ( )1() 2331 f nnN n ,则(1)( )f nf n ( ) A. 1 32n B. 11 331nn C. 11 3132nn D. 111 33132nnn 15已知 n a为等差数列， n b为等比数列，其公比1q，且0(1,2,3, ) i bin， 若 11 ab, 1111 ab，则（） A 66 ab B 66 ab C 66 ab D 66 ab或 66 ab 16已知向量ae，| | 1e，满足：对任意tR，恒有| |at eae，则（） Aae B()aae C()()
5、aeae D()eae 三、解答题（第17 题 12 分， 18 题 12 分， 19 题 12 分， 20 题 14 分， 21 题 16 分） 17已知lim()1 nn n ab，lim(2)2 nn n ab, 求lim(2) nn n ab. .计算 : 22 22 464646 ()().() 575757 lim 545454 ()().() 656565 nn n nn . 3 / 11 18. 设 1 e， 2 e是两个单位向量，若 1 e与 2 e的夹角为60，求向量 12 2aee与 12 32bee的夹角 . 19已知数列 n a满足 1 a， 21 aa， 32 aa
6、， 1nn aa，是首项为1，公比为 1 3 的 等比数列（1）求 n a的表达式（ 2）若(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n S 20某运动员因伤痛需要定时服用某种药片，医生规定每天上、下午8时各服一片，已知此 药片每片的含药量为220毫克，该运动员的肾脏每12小时从体内滤出原药量的60%；此药 在体内残留量低于130毫克时将失去药效，影响训练、比赛；此药在体内残留量超过386毫 克时对人体有副作用. 设第1n次服药前体内药物残留量为 n a，问：该运动员遵照医嘱 于第一天上午8时开始服药，若第二天晚上8时要参加比赛，为不影响比赛，是否要在规定 时间外再加服一次药？若该运动
7、员根据医生规定长期服用此药，问是否会有副作用？说 明你的理由 . 4 / 11 21由函数( )yf x确定数列 n a，( ) n af n，函数( )yf x的反函数 1( ) yfx能确 定数列 n b， 1 ( ) n bfn，若对于任意 * nN，都有 nn ba，则称数列 n b是数列 n a的 “自反数列”.（1）若函数 1 ( ) 1 px f x x 确定数列 n a的自反数列为 n b，求 n a。 （2） （理） 若正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Sc c ，求 n S表达式，并证明你的结 论； （文） 在（ 1）条件下，记 12 111 n n xx
8、x 为正数数列 n x的调和平均数，若 2 1 1 n n d a ， n S为数列 n d的前n项和， n H为数列 n S的调和平均数，求 lim n n H n ； （3） （理） 在（ 1）和（ 2）的条件下， 1 2d，当2n时，设 2 1 n nn d a S ， n D是数列 n d的前n项之和，且log12 na Da恒成立，求a的取值范围 . （文） 已知正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Tc c ，求 n T表达式 . 装 订 线 内 请 勿 答 题 5 / 11 光明中学 2008 学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷答案 考生注意：时间100 分钟
9、，总分120 分，试卷共4 页 1等差数列 n a中， 2 5a， 64 6aa，则 1 a=8 2在等比数列中，已知首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比是 2 3 ，则项数为4 3数列 n a满足 123 23.(1)(2) n aaanan nn,则数列 n a的通项公式 n a=3(1)n 4. 若 n a是公比为q的等比数列 , 前n项和为 n S, 若 n S是等差数列 , 则q 1 5. 若点 P分有向线段AB所成的比为 2 7 ，则点A分有向线段BP所成的比是 5 2 6在Rt ABC中，若( 2,3)AB，(1, )ACk，则实数k的值为 2 5 3 或 7若(1,2)a，
10、(1,1)b，且a与ab的夹角为锐角， 则实数的取值范围为 5 0 3 且 8 已 知 点( 6 , 1 )A，(1,3)B，(3,1)C， 则 向 量AB在 向 量BC方 向 上 的 投 影 为 72 2 9. 在数列 n a中, 12 1,2,aa 2 11() n nn aanN,则 100 S 2600 10ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHm OAOBOC， 则实数m=1 11若 21 lim 12 n n r r 存在，则实数r的取值范围是 1 1 3 rr或. 12（理） 若在由正整数构成的无穷数列 n a中，对任意的正整数n，都有 1nn aa， 准 考
11、 证 号 码 班 级 学 号 姓 名 装 订 线 内 请 勿 答 题 6 / 11 且对任意的正整数k，该数列中恰有21k个k，则 2008 a=45 （文） 若在由正整数构成的无穷数列 n a中，对任意的正整数n，都有 1nn aa， 且对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则 2008 a=63 二、选择题（每题4分，共 16分） 13. 下列命题中正确命题的个数为（B ） 若lim n n aA，则 22 lim; n n aA若0,lim,0; nn n aaAA则 若limlimlim0,; nnnnnn nnn ababab, 且则 若 nn ab极限不存在，则 n a、 n b极
12、限不存在 14. 设 111 ( )1() 2331 f nnN n , 则(1)( )f nf n( D ) A. 1 32n B. 11 331nn C. 11 3132nn D. 111 33132nnn 15已知 n a为等差数列， n b为等比数列，其公比1q，且0(1,2,3, ) i bin， 若 11 ab, 1111 ab，则（ B ） A 66 ab B 66 ab C 66 ab D 66 ab或 66 ab 16已知向量ae，| | 1e，满足：对任意tR，恒有| |at eae，则（ D ） Aae B()aae C()()aeaeD()eae 三、解答题（第17 题
13、 12 分， 18 题 12 分， 19 题 12 分， 20 题 14 分， 21 题 16 分） 17.已知lim()1nn n ab，lim(2)2 nn n ab, 求lim(2) nn n ab. 解：lim(2)lim ()(2)lim()lim(2) nnnnnnnnnn nnnn ababababab 123. . 计算 : 22 22 464646 ()().() 575757 lim 545454 ()().() 656565 nn n nn 7 / 11 解: 2222 2222 464646444666 ()().()(.)(.) 575757555777 lim 54
14、5454555444 ()().()(.)(.) 656565666555 nnnn n nnnn 4161 1( ) 1() 5577 11115 11( )( )1( ) 57577 limlimlim1 5141115 1( ) 1( ) ()( )( )1 6655656 11 11 65 nn nnn nnn nnnnn 18设 1 e， 2 e是两个单位向量，若 1 e与 2 e的夹角为60，求向量 12 2aee与 12 32bee的夹角 . 解： 22 22 121122 |(2)4454cos 607aeeeeee 22 22 121212 |( 32)94129412cos
15、 607beeeee e 又 22 12121212 7 (2) ( 32)62 2 a beeeeeeee 7 1 2 cos, 2 | |77 ab a b ab ,120a b 19已知数列 n a满足 1 a， 21 aa， 32 aa， 1nn aa，是首项为1，公比为 1 3 的等 比数列（ 1）求 n a的表达式（ 2）若(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n S 解：（ 1） 1 1a，当2n时， 1 1 1 3 n nn aa 21 121321 111 ()()()1 333 n nnn aaaaaaaa 1 11 3 31 1 1 23 1 3 n n ，.
16、当1n时，也适合 31 1 23 nn a 31 1 23 nn a ， * nN 8 / 11 （2） 31321 (21)21121 2323 nn nn n bnann 1223 313521 13521 23333 nnn n Sbbbn 23 13521 3333 nn n T 则 2341 11352321 333333 n nn nn T -得： 231 2111121 2 333333 n nn n T 1 2 111 11 1 33 12111121 21 1 333333 1 3 n nnn nn 1 1 3 nn n T，又 2 135(21)nn 2 31 1 23 n
17、n n Sn 20.某运动员因伤痛需要定时服用某种药片，医生规定每天上、下午8时各服一片，已知此药 片每片的含药量为220毫克，该运动员的肾脏每12小时从体内滤出原药量的60%；此药在 体内残留量低于130毫克时将失去药效，影响训练、比赛；此药在体内残留量超过386毫克 时对人体有副作用.1设第1n次服药前体内药物的残留量为 n a，讨论以下问题：该运动员 遵照医嘱于第一天上午8时开始服药，若第二天晚上8时要参加比赛，为不影响比赛，他是 否要在规定时间外再加服一次药？2若该运动员根据医生规定长期服用此药，问是否会产 生副作用？说明你的理由. 解：1 2 12 22010.62200.4,220
18、0.40.4aa， 23 3 2200.40.40.4137.28130a， 故该运动员不必在规定时间外再加服一次药； 2设第n次服药体内药物的残留量 n b， 则 2 123 220,220 10.4 ,220 10.40.4,bbb， 21 220 10.4 220 10.40.40.4 1 0.4 n n n b 9 / 11 因为 1100 10.4386 3 n n b对任意 * nN成立， 所以该运动员根据规定长期服用此药不会产生副作用. 21由函数( )yf x确定数列 n a，( ) n af n，函数( )yf x的反函数 1( ) yfx能确 定数列 n b， 1( ) n
19、 bfn，若对于任意 * nN，都有 nn ba，则称数列 n b是数列 n a的 “自反数列”.（1）若函数 1 ( ) 1 px f x x 确定数列 n a的自反数列为 n b，求 n a. （2） （理） 已知正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Sc c ，写出 n S表达式，并证明你 的结论； （文） 在（ 1）条件下，记 12 111 n n xxx 为正数数列 n x的调和平均数，若 2 1 1 n n d a ， n S为数列 n d的前n项和， n H为数列 n S的调和平均数，求lim n n H n ； （3） （理） 在（ 1）和（ 2）的条件下， 1
20、2d，当2n时，设 2 1 n nn d a S ， n D是数列 n d的前n项之和，且log12 na Da恒成立，求a的取值范围 （文） 已知正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Tc c ，求 n T表达式 解：（理）（1）由题意得： 1 11 ( )( ) 1 xpx fxf x xpx ，所以1p 所以 1 1 n n a n （2）因为正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Sc c 所以 11 1 11 2 cc c ， 解之得： 1 1c， 1 1S当2n时， 1nnn cSS 所以 1 1 2 nnn nn n SSS SS , 1 1 nn nn
21、 n SS SS ，即 22 1nn SSn 所以， 22 12 1 nn SSn， 22 23 2 nn SSn， 22 21 2SS 累加得： 22 1 234 n SSn 10 / 11 2(1) 1234 2 n n n Sn, (1) 2 n n n S （3）在（ 1）和（ 2）的条件下， 1 2d， 当2n时，设 2 1211 2 (1)1 n nn d a Sn nnn 由 n D是 n d的前n项之和， 12nn Dddd 11111111 2 1 1223341nn 1 2 2 n 因为log (1 2 ) na Da恒成立，即log (1 2 ) a a恒小于 n D的最
22、小值， 显然 n D的最小值是在1n时取得，即 min ()2 n D，所以log (1 2 )2 a a，120a，所 以02a. （文）（ 1）由题意得： 1 11 ( )( ) 1 xpx fxf x xpx ，所以1p 所以 1 1 n n a n , （2） 1 1 n n a n ， 2 1 1 n n dn a n S为数列 n d的前n项和， (1) 2 n n n S又 n H为数列 n S的调和平均数 所以 12 1 111222 2 1 223(1) n n nnn H SSSn n 11 limlim 22 n nn Hn nn .（3）因为正数数列 n c的前n项之和 1 2 nn n n Tc c 所以 11 1 11 2 cc c ，解之得： 1 1c， 1 1T当2n时， 1nnn cTT 所以 1 1 2 nnn nn n TTT TT ， 1 1 nn nn n TT TT ，即 22 1nn TTn 所以， 22 12 1 nn TTn， 22 23 2 nn TTn， 22 21 2TT 11 / 11 累加得： 22 1 234 n TTn, 2(1) 1234 2 n n n Tn 所以 (1) 2 n n n T