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1、1 / 23 第一章计数原理 一 学习目标 1掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题 2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题 3理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题 4掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题 二 知识网络 b5E2RGbCAP 第一课两个原理 一知识梳理 1分类计数原理 “完成这件事”需选2 人，老师、学生各1 人，分两步进行：选老师有3 种方法， 选学生有8+5=13 种方法，共有5PCzVD7HxA 3 13=39 种方法 . (3 “完成
2、这件事”需选3 人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师 有 3 种方法，选男同学有8 种方法，选女同学有5 种方法，共有38 5=120 种方 法.jLBHrnAILg 2. 甲组中选出一名女生有种选法。 (2乙组中选出一名女生有种选法 . 故共有 345 种选法 . 5.表示平面上的点( a, b M , 问: (1 P可表示平面上多少个不同的点? (2 P可表示平面上多少个第二象限的点? (3 P可表示多少个不在直线y=x 上的点 ? 解 可分两步完成： 第一步确定a 的值，共有6 种确定方法； 第二步确定b 的值，也有6 种确定方法 . 根据分步计数原理，得到平面上的点数是
3、66=36. 在直线 y=x 上的充要条件是a=b. 因此 a 和 b 必须在集合M中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线y=x 上的点有6 个 .kavU42VRUs 由, 故至少要花1 050 2=2 100( 元 . 例 3 ，在做 m +n 的加法时各位均不会进位，则称 为“简单的”有序数对，m +n 称为有序数对的值，那么值为1 942 的“简单 6 / 23 的”有序数对的个数是.HbmVN777sL 答案300 三、解答题 7. 若 a=1,则 b=5 或 6, 有 2 个点。 (2 若 a=2,则 b=5 或 6, 有 2 个点。 (3 若 a=3,则 b=5 或 6 或
4、4, 有 3 个点。 (4 若 a=4,则 b=3 或 5 或 6, 有 3 个点。 (5 若 a=5,则 b=1,2,3,4,6,有 5 个点。 (6 若 a=6,则 b=1,2,3,4,5,有 5 个点。 共有 2+2+3+3+5+5=20=3 (16-2=42( 种. 第二课排列与组合 一知识梳理 排列组合 1概念 2公式 3性质 二基础自测 1.奇数； (2 偶数； (3大于 3 125 的数 .ix6iFA8xoX 解 (1先排个位，再排首位，共有A A A =144 以 0 结尾的四位偶数有A 个，以2 或 4 结尾的四位偶数有A A A 个，则共 有 A + AA A =156
5、要比 3 125 大， 4、5 作千位时有2A 个， 3 作千位， 2、4、5 作百位时有3A 个， 3 作千位， 1 作百位时有2A 个，所以共有2A +3A +2A =162=14 656( 种） .E836L11DO5 例 3 4个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内. (r+1C错误 ! Cnr C 错误 ! D 错误 !C 错误 !dGY2mcoKtT 答案 D 2.某校从 8 名教师中选派4 名教师同时去4 个边远地区支教( 每地 1 人，其 中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种yhUQsDgRT1 解：可以分情况讨论， 甲去，则乙不去，有=480 种选法； 甲不去，乙
6、去，有=480 种选法； 14 / 23 甲、乙都不去，有=360 种选法； 共有 1320 种不同的选派方案 三、解答题 7. 某外商计划在4 个候选城市投资3 个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2 个，求该外商不同的投资方案有多少种？MdUZYnKS8I 解可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3 个工程分成两组，一组有1 个工 程，另一组有2 个工程，然后再分配给4 个城市中的2 个，共有C A 种方案；另一类 1 个城市 1 个工程，即把3 个元素排在4 个不同位置中的3 个，共有A 种方案 . 由分类 计数原理可知共有C A +A =60 种方案 .09T7t6eTno
7、8. 课外活动小组共13 人，其中男生8 人，女生5 人，并且男、女各指定一名队长，现从 中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？e5TfZQIUB5 n(n N，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做 (ab n 的二项展开 式，其中的系数叫做二项式系数式中的叫做二项展开式的通项，用Tr 1表示，即通项 公式 Tr1是表示展开式的第r 1 项8PQN3NDYyP 2二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即： 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇 16 / 23 数，中间两项的二项式系
8、数相等并且最大，即当n 是偶数时， n+1 是奇数，展开式共有 n+1 项，中间一项，即：mLPVzx7ZNw 第项的二项式系数最大，为；当n 是奇数时， n+1 是偶数，展开式共有n+1 项，中间两 项，即第项及每项，它们的二项式系数最大，为AHP35hB02d 二项式系数的和等于 ，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是： 3二项式定理主要有以下应用 近似计算 解决有关整除或求余数问题 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式的二项展开式中，若只有 x 5 的系数最大，则n=. 答案10 2. 在时，展开式中有常数项 答案3 3. 若多
9、项式( x+1） n -C( x+1 n-1 +(-1 r C ( x+1 n-r + +(-1 nC =a 0x n+a 1xn-1+an-1x+an, 则 a0+a1+an-1+an=.NDOcB141gT 答案1 4. A BC D 解：对于，对于，则的项 的系数是 5. n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理 项和二项式系数最大的项. 解二项展开式的前三项的系数分别是1，n 7=a 0+a1x+a2x 2 +a7x 7. 求:(1 a1+a2+a7。 (2 a1+a3+a5+a7。 (3 a0+a2+a4+a6。 (4| a0|+| a1|+| a2|+ +| a7|
10、. 解令 x=1, 则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 令 x=-1, 则 a0- a1+a2- a3+a4- a5+a6- a7=3 7 (1 a0=C =1,a1+a2+a3+a7=-2. (2( - 2, 得 a1+a3+a5+a7=-1 094. (3( +2, 得 a0+a2+a4+a6=1 093. (4 (1-2 x 7 展开式中 , a0, a2, a4, a6都大于零 , 而 a1, a3, a5, a7都小于零 , | a0|+| a1|+| a2|+ +| a7| =( a0+a2+a4+a6-( a1+a3+a5+a7, 由 (2 、 4+x2(1
11、+2x5+x3(1-3 x7 展开式中各项系数的和. 解设 x(1- x 4+x2(1+2 x5+x3(1-3 x7 =a0+a1x+a2x 2+a nx n 在原式中，令x=1, 则 1(1-1 4+12(1+25+13(1-37 =115, 展开式中各项系数的和为115. 例 3 2=0.000 06 0.001, 以后各项更小 , 0.998 61-0.012=0.988. 练习： 3. 求证 :3 n( n+22n-1 n 展开证明 . 因为 nN * ，且 n2, 所以 3 n=(2+1n 展开后至少有4 项. 2n-1, 1zOk7Ly2vA 故 3 n( n+22n-1 . 四自
12、主检测 一选择题 1 8 展开式中常数项为1 120 ，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和 为. 答案1 或 3 8 5. 若(1+5 x 2n 的展开式中各项系数之和是an,n 的展开式中各项的二项式系数之和为 bn,则的值为 .fuNsDv23Kh 答案 6. 设 m N *, nN* , 若 f ( x=(1+2 x m +(1+3x n 的展开式中x 的系数为13，则x 2 的系数 为.tqMB9ew4YX 答案31 或 40 三、解答题 7. 已知 (+ n ( nN*的展开式中第 5 项的系数与第3 项的系数之比为10 1. 求展开 式中系数最大的是第几项？HmMJFY05
13、dE 解依题意，第5 项的系数为C 2 4， 第三项的系数为C 2 2，则有 =，解得 n=8. 设展开式中第r +1 项的系数最大，则 解得 5r 6. 第 6 项和第 7 项的系数相等且最大， 即最大为562 5=728=1 792. 21 / 23 8. 已知 (2n+31=0 2 n=32 或 2n=-31 9 的展开式中的常数项； 9 的展开式中x 3 的系数为，求常数a 的值； r =(- r C x 令 18-3 r =0, 得 r =6, 即第 7 项为常数项 . T7=C =. 常数项为. (2 设第 r +1 项是含 x 3 的项，则有 C ( 9- r =x 3, 得：
14、xr -9x =x 3， 故r -9=3, 即 r =8. C a 5 展 开 式 中 的 一 次 项 之 积 的 代 数 和.ViLRaIt6sk 含 x 的项为 C xC 2 5+C 1C x24=240x. 10. 在 10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y2+a 10y 10 (*9eK0GsX7H1 各项系数和即为a0+a1+a10, 奇数项系数和为a0+a2+a10, 偶数项系数和为a1+a3+a5+ +a9, x 的奇次项系数和为a1+a3+a5+ +a9, x 的偶次项系数和a0+a2+a4+a10.naK8ccr8VI 由于 10=(-110=1. 奇数项的二项式系数和为C+C+C=2 9, 偶数项的二项式系数和为C+C+C=2 9. (4 设 得 a0- a1+a2- a3+a10=5 10 +得 2(a0+a2+a10=1+5 10, 奇数项的系数和为； - 得 2(a1+a3+a9=1-5 10, 偶数项的系数和为. 5）x 的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9=。 x 的偶次项系数和为a0+a2+a4+ +a10=. 23 / 23 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。