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1、中国石油大学 2007 至 2008 学年第二学期高等数学期末考试试题A 卷 中国石油大学2007 2008 学年第二 学期 本科高等 数学 (下)试卷 （理工类） 专业班级 姓名 学号 开课系室基 础 数学 系 考试日期 2008年 6 月 23 日 页 码一二三四五六总分 得分 阅卷人 说明： 1 本试卷正文共6 页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一、填空题： 16 小题，每小题4 分，共 24 分. 请将答案写在指定位置上. 1.平面 与平面的夹角为 . 2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导
2、数为. 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， . 4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标 系下化为三次积分为 . 5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续 三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有： _. 6. 将函数展开成余弦级数为_ . 二、单项选择题： 712小题，每小题3 分，共 18 分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数 )，则（） (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域， 则下列结论正确的是
3、（） (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（） (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 10. 曲面积分在数值上等于 ( ) (A) 流速场穿过曲面 指定侧的流量； (B) 密度为的曲面片 的质量； (C) 向量场穿过曲面 指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功 . 11( ) (A) 发散； (B) 条件收敛； (C) 绝对收敛； (D) 收敛性不能确定. 12. 级数的敛散性为 ( ) (A) 当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛； (C) 当时，绝对收敛；（D ）当时，发散 . 三、解答题： 1320小题，共 58 分. 请将
4、解答过程写在题目下方空白处. 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 . 13. （本题满分6 分）设确定，求全微分. 14. （本题满分 8 分）求曲线在点（ 1,1,1 ）处的切线与法平面方程. 15. （本题满分8 分）求幂级数的和函数 . 16. （本题满分6 分）计算，其中为曲面被柱面所 截下的有限部分 . 17. （本题满分8 分）计算积分，其中为曲线 上从点到沿逆时针方向的一段有向弧. 18. （本题满分8 分）计算，其中是由曲面 与平面围成的有界闭区域的表面外侧 . 19.（本题满分8 分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围 成的四面体体积最小，求切点坐标.
5、 20. (本题满分6 分) 设均在上连续，试证明柯西- 施瓦茨不等式： . 答案 一、填空题： 16 小题，每小题4 分，共 24 分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面 与平面的夹角为. 2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 . 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， . 4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标 系下化为三次积分为. 5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续 三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有： . 6. 将函数展开成余弦级数为 . 二、单项选择题： 712小题，每小题3 分，共 18 分。下列每题给出的四个选
6、项中，只有一项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数 )，则（ D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域， 则下列结论正确的是（ A ）. (A) ； (B) ； (C) ； (D) 9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ A ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 10. 曲面积分在数值上等于 ( C ). (A) 流速场穿过曲面 指定侧的流量； (B) 密度为的曲面片 的质量； (C) 向量场穿过曲面 指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功 . 11.( D ) (
7、A) 发散； (B) 条件收敛； (C) 绝对收敛； (D) 收敛性不能确定. 12. 级数的敛散性为 ( A ) (A) 当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛； (C) 当时，绝对收敛；（D ）当时，发散 . 三、解答题： 1320小题，共 58 分. 请将解答过程写在题目下方空白处. 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 . 13. （本题满分 6 分）设确定，求全微分. 解：两边同取微分 整理得. 14. （本题满分 8 分）求曲线在点（ 1,1,1 ）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于求导，解得，+- 所以切向量为 切线方程为：； 法平面方程为：，即. 15. （本题满分8
8、分）求幂级数的和函数 . 解：求得此幂级数的收敛域为， 设，则 ，； 即 ，. 16. （本题满分6 分）计算，其中为曲面被柱面所 截下的有限部分 . 解： 17. （本题满分8 分）计算积分，其中为曲线 上从点到沿逆时针方向的一段有向弧. 解： 18. （本题满分8 分）计算，是由曲面 与平面围成的有界闭区域的表面外侧 . 解： 19.（本题满分8 分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围 成的四面体体积最小，求切点坐标. 解：设切点坐标为，则切向量为， 切平面方程为，即， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为， 令 解方程组得， 故切点坐标为. 20. (本题满分6 分) 设均在上连续，试证明柯西不等式： . 证：