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1、上下： 2.04 左右： 2.17 1 初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A代数篇： 1循环小数化分数:设元扩大相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108化为分数。 设 S=0.108108108（1）两边同乘 1000 得： 1000S=108.108108（2） （2）-（1）得： 999S=108 从而： S= 108 999 余例仿此 2对称式计算技巧： “平方差公式完全平方公式”整体思想之结合：x+y；x-y；xy； 22 xy中，知二求二。 222222 ()2()2xyxyx yxyxyx y 2222 ()2()4xyxyx yxyx y 加减配合，灵
2、活变型。 3特殊公式 2 2 11 2xx xx 2 （）的变型几应用。 4立方差公式： 3322 ababaabbm（）（） 5等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求： 1+2+3+222 +2017 的和。三种方法举例：略 6等比数列求和法：方法+公式：设元乘等比相减求解。 例.求 1+2+4+8+16+32+ 2222 n 令 S=1+2+4+8+16+32+ 222 +2 n （1） 两边同乘 2 得: 2S=2+4+8+32+64+ 222 +2 n + 1 2 n （2） （2）-（1）得： 2S-S= 1 2 n - 1 从而求得 S。 7 11nm
3、mn mn 的灵活应用：如： 1111 62323 等。 8用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f（n） 。 9韦达定理求关于两根的代数式值的套路： 上下： 2.04 左右： 2.17 2 对称式：变和积。 22 22 1111 xy xyxy 22 ；xy +x y等（x、y 为一元二次方程方程的两 根） 非对称式：根的定义降次变和积（一代二韦）。 10. 三大非负数：三大永正数； 11常用最值式： 2 xy（）正数等（非负数 +正数） 。 12换元大法。 13自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时 减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者
4、减去同一个数即可。 14拆项法；配方法。原理同上。 15十字相乘法。 16统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线； 条形；扇形；直方） ；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。 17一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则 a=b 在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化 起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值 的代数解法）。 19.四个角的正切值：22.5 度的正切值为：根号 2-1 67.5 度的正切值为根号2+1 75 度的正切值为2+根号 3 15
5、度的正切值为2-根号 3 B几何篇： 1两套：等线套；等角套。 等角套 （如图所示） ：条件： AOB COD 结论： AOC BOD 说明： O A B C D O A C B D 上下： 2.04 左右： 2.17 3 可以视做由旋转产生的“共点等角” 等线套 （如图所示）：条件： AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。 ABC D ABC D 2两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件： ABCD 结论： P AEP PFC A B CD E P F 3平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与 底所在直线平行。 C m A n D B
6、若：mn 则 ABCABD SS VV 反之：若 ABCABD SS VV 则：mn （反比例模型中的 “垂平”模型的证明用之） 4已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。 5三角形的角分线角： 两内角平分线交角：I=90 2 A 一内一外角分线交角：I= 2 A 两外平分线交角：I=90 2 A 5.三角形的角平分线： 两边的比 =分线段（第三边）的对应比。 A B C I A B C I I A B C D 上下： 2.04 左右： 2.17 4 条件： AD 为角平分线结论： A BB D A CD C 6三角形中线性质定理；三中线交点分中线为 12 33 和两部分。
7、 条件： AD、BE、CF 为中线 结论： AK=2KD= 2 3 AD BK=2KE= 2 3 BE。 CK=2KF= 2 3 CF 7大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件： AD、BE、CF 为三角形的高 结论： AD2 BC=BE2 AC=CF 2 AB ADB CFB 等。 B、C、E、F、四点共圆等。 8高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形 222 5abc其中 a、b 为中线所在的边) 条件： AD、AE 分别为三角形的角平分线和高， （ABAC） 。 结论： DAE= 2 CB 条件： BE、CF 为三角形的中
8、线，且BECF 结论： 222 5abc 222 5A CB CA B 如图： D=A+B+C A BC D EF k A B C D F E A C B D E C AB E F A B C D 上下： 2.04 左右： 2.17 5 9三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 在三角形ABC 中，AD，BE， CF 相交于同一点 O ， 那么: ABOACO SSBDDC 任意四边形中的比例关系( “蝶形定理” ) ： 1243:SSSS 或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 10等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变 等直。 重要推论
9、： 已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边3这个角的余弦=另一边的 一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。 如图：c o s 2 BC ABBABCV为等腰三角形（BC 为底） 11直角三角形斜高的求法。斜高= 两直角边的乘积 斜边 12等边三角形面积的求法。 23 4 Sa 边长为 a的等边三角形 13求面积的套路： 复杂图形：一拆用加；二放用减。 三角形：面积公式；两边与夹角正弦的 积的一半（遇钝变补） ；铅垂线法（宽高法） ； 等边三角形的面积。利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解） 。让出去：化归。 （3）平行四边形面积=两邻边与其夹角的
10、正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个 内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。 O F E D CB A S4 S3 S2 S1 O D CB A A B C 宽 高 上下： 2.04 左右： 2.17 6 （4） 共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应 角 ( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图( 或D在BA的延长线上，E在 AC 上) ， 则:() : () ABCADE SSABACA
11、DAE 14三大蝴蝶： 一线两等边。 条件： ABC 、 ECD 为等边三角形，B、C、D 共线 则有： BCE ACD DCG ECF BCF ACG 旋转 60形成的全等三角形！ ！ ！ CGF 也是等边三角形。 还有： ABCE DE AC 等结论成立！ AKB=60 CK 平分 BKD BKC=60 =DKC K、F、C、G 四点共圆。 一个三角形两等边。 条件：以 ABC 的两边 AB、AC 为边向外作 等边三角形ADB 和等边三角形ACE 则有： ADC ABE（SAS） CD=BE DGB=60 DGE=120 又 ADCABE SS V 分别作高 AM 、AN， 则 AM=AN
12、 （面积相等，底等，则高等），AG 是 DGE 的平分线！ DGA= EGA=60 E D C B A E D CB A A B C D E G MN A B C D E FG K 上下： 2.04 左右： 2.17 7 一个三角形两个正方形。 条件：四边形GBAF 和正方形 ACDE 结论： FC=BE FCBE AH 是 FHE 的 角平分线（ FHA= EHA=45 ） A、F、B、F 四点共圆。 15平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一 般找平行于两轴的直线）的距离相等。 1 2 AEDABCD SS V平行四边形 平行四边形的对角顶点到过对称中心的
13、任意一条直线（一般找平行于两轴的直线） 的距离相等。 16平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和： 222222 ACBDABBCCDDA 17矩形一边上任意一等到对角线距离的和= 长宽 对角线 18矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图：矩形ABCD 内任意一点P，则有： 2222 PAPCPBPD 19矩形精典对折图。 如图：矩形ABCD 沿对角线， BD 对折， C 点到了 E 点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。例AE：BD=3：5 则 AB：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以 EF：FB=3：5， 因此 ED=4 （勾股）而AD=DF+FA
14、=5+3=8 ！ ！ A BC D O E A B C D P A B C D F A BC D E F G H 上下： 2.04 左右： 2.17 8 20正方形垂等图。垂直相等横平竖直；改斜归正的辅助线方法。 21正方形三兄弟成面积图= 中正方形之面积。 三个正方形，如图摆放：AN 正好过 E 点。 技巧： ACECFN（对角线平行：此题题眼） AGN 的面积 =AGE 的面积 +EGN 的面积 AGE 的面积 =ECG 的面积 EGN 的面积 =EGF 的面积结论成立！ 22两正方形垂直相等图。 如图， ABCD 、CGFE 是正方形： DCG CBCE ； BEDG。 BE=GD A、
15、B、M 、 D 四点共圆（双歪八） ADB AMB= AMD=45 ADK AMD （斜射影） 2 ADAKAM 若 2 DMMEMA则：BD=BG BDG 为等腰三角形。（ GDC= DAM= DBM= MBG ） 此时： MA=MB 若 MA=ME ，也能推出中的结论。 23，正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和 等腰直角三角形）邻边相等的圆内接四边形 内含半角图。 条件：正方形ABCD 中， EBF=45 结论： EF=AE+FC A B C D E F G H K A B C D E F G H M N A B C D EF G M M 条件：三个正方形， A B C D E F
16、 G M N H AN恰好过 E点 结论：三角形 AGN的面积 =正方形 ECGF 的面积 上下： 2.04 左右： 2.17 9 DEF 的周长 =正方形周长的一半。 DCA= EBF=45 B、C、F、H 四点共圆（双八字） ！ ！ BHF=90 BHF 为等腰直角三角形！ ！ ！ 同上： DAC= EBF=45 B、K、E、A 四点共圆（双八字） ， BKE=90 BKE 为等腰直角三角形！ 24正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。 正方形内含45模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相 等，且相等的邻边的夹角内含半角。 条件：四边形ABCD 中， BA=
17、BC ABC D90 EBF= 1 2 ABC 结论： EF=AE+CF （其余根据已推导） 等腰直角三角形内含45 条件：等腰直角三角形ABC， FBE=45 222 E FA FC E 其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。（根据上述模型类比解决：用三角比找 到相关边的关系） 。 25正方形互补型（互补型）： 对称中心有直角：OE=OF 直角顶点在对角线上：PB=PQ （图图两种情况都成立） C D B C A E F F A B C E F 上下： 2.04 左右： 2.17 10 小结 26正方形 123 成 135 度。 点 E 是正方形ABCD 内的一点 ， 连接 AE，BE，CE，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转90到 CBE 的位置 若 AE 1，BE2， CE3，则 BE C_135_度 27相似模型： 正 A、歪 A；正八、歪八；正射影、歪射影；正K、歪 K（一线三等角） 。 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比！（细讲：自画图） 双八字（共圆图之一）。 条件： BAC BDC（同弦对等角） 结论： B、C、D、A 四点共圆 三角形三角形 三角形三角形（相交弦定理的逆定理：同样可得前面的结论） 其中 AB、BC、CD、DA 四条弦所对的四对圆周角相等。 A B C D