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1、www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力1 解题方法及提分突破训练：构造法专题 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它 可以是一个图形、一个方程(组 )、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条 件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造 法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 一真题链接 1.（2012 青海）若m,n 为实数，且 2012 ),08212nmnmnm则（的值为 2.（2012 莆田） 3.（2012?铁岭）如果 021yx ，那么 xy=
2、4.（2012?佛山）如图，已知AB=DC ，DB=AC （1）求证： ABD= DCA 注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据 （2）在（ 1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 5. （2012?佳木斯）国务院总理温家宝2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会议 决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两 地，用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资已知这两种货车的载重量分 别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排9 辆货车前往甲地，其余
3、货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往 甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与 a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（ 2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120 吨，请你设计出使总运费最少的货车 调配方案，并求出最少总运费 www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力2 二名词释义 所谓构造法 就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对 象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。 运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系， 把问题与某个熟知的概念、公式、定理
4、、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化， 使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求 解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程”求解，从而获得问题解决。 例 1：如果关于x 的方程 ax+b=2（2x+7）+1 有无数多个解，那么a、b 的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b 此方程有无数多解，a-4=0 且 15-b=0 分别解得a=4，b=15 二构建几何图形 对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构 造适当的图形把其两者联系起来，从而构
5、造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解 决增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例 2：已知，则 x 的取值范围是（） A 15 B 1 C 1 5 D 5 分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1 与 5 的距离之 和等于 4 的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1 和 5 之间（包括1 和 5） ， 那么它到1 与 5 的距离之和都等于4，所以 15，故选 A. 501 三、构造函数模型，解数学实际问题 4 www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力3 在解答数学实际问题时，引进数学符号， 根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化 为数学符号语言，建立
6、适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识， 解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践 能力。 例 3： （八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计 划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50 件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9 千克、乙种原料3 千克，可获利润700 元；生产一件B种产品，需用甲种原料4 千克、乙种 原料 10 千克，可获利润1200 元。 （1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A、B两种产品获总利润为 y （元） ，生产 A种产品
7、x件，试写出 y 与x之 间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是 多少？ 解； （1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品 )50(x 件，由题意得： 290)50(103 360)50(49 xx xx 解得： 30x32 x是正整数 x30 或 31 或 32 有三种生产方案：生产 A种产品 30 件，生产 B种产品 20 件；生产 A种产品 31 件，生产B种产品 19 件；生产A种产品 32 件，生产B种产品 18 件。 （2）由题意得； )50(1200700xxy 60000500x y 随x的增大而减小 当x 30 时， y 有最大值
8、，最大值为： 6000030500 45000（元） 答： y 与x之间的函数关系式为： y 60000500 x ， （1）中方案获利最大， 最大利润为45000 元。 三典题示例 一构造方程解题 例 1若代数式m 2 + 3与 4m + 1互为相反数，则 m -2 等于（） A. 4 B. - 4 C. D. - 4 1 解由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得 m 2 + 3 + 4m + 1 = 0， 即 m 2 + 4m + 4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得： m = - 2，所以 m-2 = (-2)-2 = 4 1 ，故本题应选C。 www.123
9、0.org 初中数学资源网，我们一直在努力4 例 2 当 x =_时，分式 87 1 2 2 xx x 无意义；当x =_时，此分式的值为零。 解要使此分式无意义，只需x2 - 7x 8 = 0，解之得 x1 = 8，x2 = -1，即当 x = 8 或 x = -1 时， 该分式无意义。 要使该分式的值为零，只须分子x2 1 = 0 且分母 x2 -7 x 8 0；由 x 2 1 = 0，得 x = 1 ， 但当 x = -1 时，分母x 2 -7x - 8 = 0，分式无意义。故当 x = 1 时，此分式的值为零。 例 3已知 x、y 是正整数，并且xy + x + y = 23， x2y
10、 + xy2 = 120，求 x 2 + y2 的值。 解因、可化为xy + (x + y) = 23，xy(x + y) = 120，则由一元二次方程根与系数的关系知： xy、x + y 是方程 t 2 - 23t + 120 = 0的两个实数根， 解之得 xy = 8，x + y = 15 或 xy = 15，x+y = 8。 又 x、y 是正整数，所以只能是xy = 15，x + y = 8。所以 x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 64 30 = 34。 二构造几何图形解题 例 4. 如图 1，过正方形ABCD的顶点 C 作任意一条直线与AB、AD 的延长线分别交于点
11、E、 F。求证： AB4AFAE 。 分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。 证明：设正方形的边长为a，连 AC。 因为 ACEACFAEF SSS，所以有 )AFAE(a 2 1 BCAE 2 1 CDAF 2 1 AFAE 2 1 。 即)AFAE(aAFAE。 从而 AE、 AF可视为关于x 的一元二次方程0)AFAE(ax)AFAE(x 2 的两个实数根。 所以该方程的判别式 0)AFAE(a4)AFAE( 2 得a4AFAE，即 AB4AFAE 。 注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一 新的感觉，有益于训练大家思维的发
12、散性、创新性。 三构建函数解决问题 例 5 (2012 年，辽宁省营口市) （10 分）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持 下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销 www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力5 售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500yx （1）设李明每月获得利润为w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，如果李明想要每月 获得的利润不低于2000
13、 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价销售量） 答案： 解： （ 1）由题意，得：w = (x20) y=(x20) (10500x) 2 1070010000xx 35 2 b x a . 答：当销售单价定为35 元时，每月可获得最大利润 （2）由题意，得： 2 10700100002000xx解这个方程得：x1 = 30 ，x2 = 40 答：李明想要每月获得2000 元的利润，销售单价应定为30 元或 40 元. （3）10a，抛物线开口向下. 当 30x40 时，w2000 x32，当 30x32 时，w 2000 设成本为P（元） ，由题意，得： 20( 10500)Px
14、 20010000x 200k，P随x的增大而减小. 当x = 32 时，P最小3600. 答：想要每月获得的利润不低于2000 元，每月的成本最少为3600 元 四 巩固强化 1. （2012 常州）已知关于x 的方程 2x 2 -mx-6=0 的一个根2，则 m= ，另一个根为 2. （2012 大庆） 3.（2012?广西）使式子xx21有意义的x 的取值范围是（） Ax-1 B-1x2 Cx2 D-1x2 4.若最简二次根式35a与3 2 a是同类二次根式，则a 的值为 ( ) A. 2 或 3 B. -2 或 3 C. 3 D. 2 5. 已知实数 x、y 满足 9x 2 + 12x
15、 + 4+ 2y=0，求代数式2x y 的值。 6.若(xxm m 3)2 2 2 = 5 - m 是关于 x的一元二次方程，则m =_。 7.已知 4 1 (b - c) 2 = (a - b)(c - a)且 a 0，则 a cb =_。 8.（2012?郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20 元的排球和单价为80 元的篮 球共 100 个 （1）设购买排球数为x（个） ，购买两种球的总费用为y（元） ，请你写出y 与 x 的函数关系 式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如果购买两种球的总费用不超过6620 元，并且篮球数不少于排球数的3 倍，那么有哪 www.1230.org 初中数学资源网，我们一直在努力6 几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？ 9.（2012?佳木斯）如图，点A、B、C、D 分别是 O 上四点， ABD=20， BD 是直径，则 ACB=70 10. 如图 2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O， 若9S,4S C O DAOB 。求证： 25S ABCD四边形 。 五参考答案 真题链接答案： 1. 2. 3.解：根据题意得，x+1=0，y-2=0， 解得 x=-1，y=2， 所以， xy=（-1） 2=-2 故答案为： -2