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1、2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类） 一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得 4 分，否则一律得零分。 1、函数) 1(log)( 4 xxf的反函数)( 1 xf=_。 2、方程0224 xx 的解是 _。 3、直角坐标平面xoy中，若定点)2, 1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点P 的轨迹方程是_。 4、在 10 )(ax的展开式中， 7 x的系数是15，则实数a=_。 5、若双曲线的渐近线方程为xy3，它的一个焦点是0 ,10，则双曲线的方程是 _。 6、将参数方程 sin2 cos21 y x
2、（为参数）化为普通方程，所得方程是_。 7、计算： 1 1 23 23 lim nn nn n =_。 8、某班有50 名学生，其中15 人选修 A 课程，另外35 人选修 B 课程。从班级中任 选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_。 （结果用分数表示） 9、在ABC中，若120A，AB=5 ，BC=7 ，则ABC的面积 S=_。 10、函数2, 0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同 的交点，则k的取值范围是_。 11、有两个相同的直三棱柱，高为 a 2 ，底面三角形的三边长分别为)0(5 ,4,3aaaa。 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的
3、情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a的取值范围是 _。 12、用n个不同的实数 n aaa, 21 可得到! n个不同的排列，每个排列为一行写成一 个!n行 的 数 阵 。 对 第i行 inii aaa, 21 ， 记 in n iiii naaaab)1(32 321 ， !,3,2, 1ni。例如：用 1，2，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12， 所以，2412312212 621 bbb，那么，在用1，2， 3，4，5 形成 的数阵中， 12021 bbb=_。 12 3 1 23 12 3 1 2 3 1 2 3 12 3 二、选择题（本大题满分16 分）本大题共
4、有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四 个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得 零分 。 13、若函数 12 1 )( x xf，则该函数在,上是（） A单调递减无最小值B单调递减有最小值 C单调递增无最大值D单调递增有最大值 14、已知集合RxxxM, 2|1|，Zx x xP,1 1 5 |，则PM等 于（） AZxxx, 30|BZxxx, 30| CZxxx, 01|DZxxx, 01| 15、过抛物线xy4 2 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，
5、它们的横坐标 之和等于5，则这样的直线（） A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在 16 、 设 定 义 域 为R的 函 数 1, 0 1|,1|lg| )( x xx xf， 则 关 于x的 方 程 0)()( 2 cxbfxf有 7 个不同实数解的充要条件是（） A0b且0cB0b且0cC0b且0cD0b且0c 三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 （本题满分12 分） 已知直四棱柱 1111 DCBAABCD中，2 1 AA，底面 ABCD 是直角梯形，A 是直角， AB|CD ，AB=4 ，AD=2 ，DC=1，求异面直线
6、 1 BC与 DC 所成角 的大小。（结果用反三角函数值表示） 18、 （本题满分12 分）证明：在复数范围内， 方程 i i ziziz 2 55 )1()1(| 2 （i 为虚数单位）无解。 19、 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分。 点 A、B 分别是椭圆1 2036 22 yx 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在 椭圆上，且位于x轴上方，PFPA。 （1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于| MB，求椭圆上的 点到点 M 的距离d的最小值。 20、 （本题满分14 分
7、）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分。 假设某市2004 年新建住房面积400 万平方米，其中有250 万平方米是中低价房。预 计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住 房中，中低价房的面积均比上一年增加50 万平方米。那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4780 万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 21、 （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分， 第 3 小题满分6
8、分。 对 定 义 域 是 f D、 g D的 函 数)(xfy、)(xgy， 规 定 ： 函 数 gf gf gf DxDxxg DxDxxf DxDxxgxf xh 且当 且当 且当 ),( ),( ),()( )(。 （1）若函数 1 1 )( x xf， 2 )(xxg，写出函数)(xh的解析式； （2）求问题（ 1）中函数)(xh的值域； （3）若)()(xfxg，其中是常数，且, 0，请设计一个定义域为R 的 函数)(xfy，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明。 22、 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分8 分， 第 3 小题满
9、分6 分。 在直角坐标平面中，已知点 n n nPPPP2,2, 3,2,2,2 , 1 3 3 2 21 ， 其中n是正整数， 对平面上任一点 0 A， 记 1 A为 0 A关于点 1 P的对称点， 2 A为 1 A关于点 2 P的对称点， ， n A 为 1n A关于点 n P的对称点。 （1）求向量 20A A的坐标； （2）当点 0 A在曲线 C 上移动时， 点 2 A的轨迹是函数)(xfy的图象， 其中)(xf是 以 3 为周期的周期函数，且当3, 0x时，xxflg)(。 求以曲线C 为图象的函数在4 , 1 上的解析式； （3）对任意偶数n，用n表示向量 n AA0 的坐标。 数
10、学（理）参考答案 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中 评分标准的精神进行评分. 2评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 一、 （第 1 题至第 12 题） 114 x 2x=0 3x+2y4=0 4 2 1 51 9 2 2y x 64) 1( 22 yx73 8 7 3 9 3 4 15 1031k 1
11、1 3 15 0a12 1080 二、 （第 13 题至 16 题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、 （第 17 题至第 22 题） 17解法一 由题意 AB/CD ，BAC1是异面直线BC1与 DC 所成的角 . 连结 AC1与 AC ，在 Rt ADC 中，可得 5AC ， 又在 RtACC1中，可得AC1=3. 在梯形 ABCD 中，过 C 作 CH/AD交 AB 于 H， 得13,3,2,90CBHBCHCHB 又在 1 CBCRt中，可得 17 1 BC， 在 . 17 173 arccos, 17 173 2 cos, 1 1 2 1 2 1 2 11 ABC BCA
12、B ACBCAB ABCABC中 异而直线BC1与 DC 所成角的大小为. 17 173 arccos 解法二 如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC、DD1所在直线为 x、y、z 轴建立 直 角坐标系 . 则 C1（0，1，2） ，B（2，4，0）),2, 3,2( 1 BC CDBCCD与设 1 ),0 , 1,0(所成的角为， 则, 17 173 arccos. 17 173 | cos 1 1 CDBC CDBC 异面直线BC1与 DC 所成角的大小为. 17 173 arccos 18证明 原方程化简为.31)1()1(| 2 iziziz 设yixzx(、)Ry，代入上述方程得
13、.3122 22 iyixiyx )2(322 ) 1(1 22 yx yx 将（ 2）代入（ 1） ，整理得.05128 2 xx )(,016xf方程无实数解，原方程在复数范围内无解. 19解（1）由已知可得点A（ 6，0） ，F（4，0） 设点 P的坐标是, 4,6),(yxFPyxAPyx则，由已知得 .6 2 3 ,01892 0)4)(6( 1 2036 2 2 22 xxxx yxx yx 或则 由于).3 2 5 , 2 3 (,3 2 5 , 2 3 , 0的坐标是点于是只能Pyxy （2）直线 AP 的方程是.063yx 设点 M 的坐标是（ m，0） ，则 M 到直线 A
14、P 的距离是 2 |6| m ， 于是,2, 66|,6| 2 |6| mmm m 解得又 椭圆上的点),(yx到点 M 的距离 d 有 ,15) 2 9 ( 9 4 9 5 2044)2( 222222 xxxxyxd 由于.15, 2 9 ,66取得最小值时当dxx 20解：（1）设中低价房面积形成数列 n a，由题意可知 n a是等差数列， 其中 a1=250，d=50，则 ,2252550 2 )1( 250 2 nn nn nSn 令,475022525 2 nn即.10,01909 2 nnnn是正整数而 到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平
15、方米 . （2）设新建住房面积形成数列bn ，由题意可知 b n 是等比数列， 其中 b1=400，q=1.08， 则 bn=400(1.08) n1 由题意可知 nn ba85.0 有 250+(n1)50400 (1.08) n1 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6， 到2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 21解（ 1） 11 ), 1()1 ,( 1 )( 2 x x x x xh （2）当.2 1 1 1 1 )(,1 2 x x x x xhx时 若,4)(, 1xhx则其中等号当x=2 时成立， 若,4)(, 1
16、xhx则其中等号当x=0 时成立， 函数),4 10 ,()(的值域xh （3）解法一 令, 4 ,2cos2sin)(xxxf 则,2sin2cos) 4 (2cos) 4 (2sin)()(xxxxxfxg 于是.4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(xxxxxxfxfxh 解法二 令 2 ,2sin21)(xxf， 则,2sin21) 2 (2sin21)()(xxxfxg 于是 .4c2s21)2s21)(2sin21()()()( 2 xxxxxfxfxh 22解（1）设点),( 0 yxA，A0关于点 P1的对称点 A1的坐标为),4,2( 1 yxA A1关
17、于点 P2的对称点 A2的坐标为)4,2( 2 yxA，所以， .4, 2 20A A （2）解法一 )(,4, 2 20 xfAA的图象由曲线C 向右平移 2 个单位， 再向上平 移 4 个单位得到 . 因此，基线C 是函数)(xgy的图象，其中)(xg是以 3 为周期的周期函数，且当 .4) 1lg()(, 4, 1 (, 4)2lg()(, 1 ,2(xxgxxxgx时当于是时 解法二 设 4 2 ),(),( 2 2 2220 yy xx yxAyxA于是 若).3lg()3()(, 330,63 22222 xxfxfxx于是则 当),1lg(4.63,41 2 xyxx则时 .4) 1l g ()(,4, 1xxgx时当 （3） nnn AAAAAAAA 242200 由于)(2,2 143210212222nnnkkkk PPPPPPAAPPAA得， . 3 )12(4 , 3 ) 12(2 , 2 2)2, 12, 12, 1(2 13 nn n n n