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1、沈阳二中 2016至 2017学年度上学期期中考试高三理科数学试题 一、选择题（本题共12 小题，每小题5分，共 60 分） 1设集合A=x|x 2 ，则 AB=（） A1 ，2 B0 ，2 C （1，2 D 1，0） 2已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn，且 S5=25，则 a3的值为（） A2 B 5 C10 D15 3已知=（2， 1） ，=（3，m ） ，若（） ，则 |+ | 等于（） A3 B 4 C5 D9 4下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（） A是奇函数，且在（0，+）上是增函数B是奇函数，且在（0，+）上是减函数 C是偶函数，且在（0，+）上是减函数D是偶函数
2、，且在（0，+）上是增函数 5已知双曲线C：=1（a 0，b0）的两条渐近线与直线y= 1 所围成的三角形 的面积为4，则双曲线C的离心率为（） A BC D 6. 设向量 a，b，c 满足1ab， 1 - 2 a b ，,60ac bc 则c的最大值等于 ( ) A2 BCD1 7若不等式组表示的区域，不等式（ x） 2+y2 表示的区域为， 向 区域均匀随机撒360 颗芝麻，则落在区域 中芝麻数约为（） A114 B 10 C 150 D 50 8已知函数f （ x）=2cos（x） （0，0 ， ）的部分图象如图所示，若A （，） ，B（，） 则下列说法错误的是（） 3 2 A=B函数
3、f （x）的一条对称轴为x= C为了得到函数y=f （x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位 D函数 f（x）的一个单调减区间为， 9若均为正实数，则的最大值（） A.B. 2 3 C.lD. 10. 函数f （x）=Asin（ x+）满足： f （+x）=f （x），且 f （ +x）=f （x），则 的一个可能取值是（） A2 B 3 C4 D5 11抛物线C：y 2=4x 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C交于 M ，N两点，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a（ a0） ，n=|MF|+|NF| ，则 2an 等于（） A2 B 3 C4
4、 D5 12. 已知函数 f （x）=x 2 axalnx （aR） ，g（x）=x3+ x 2+2x6，g（x）在 1 ，4 上 的最大值为b，当 x1 ，+）时， f（x） b 恒成立，则a 的取值范围（） Aa2 B a1 Ca 1 Da0 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13已知函数f （x）=，则 f （f （ 1） ）等于 14. 等比数列 an中，a4 2，a55，则数列 lg an的前 8 项和等于 15. 在 ABC中，内角 A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（ 4a3c）cosB=3bcosC，若 a，b，c 成等差数列，则sinA+sinC
5、= 16 如图，在矩形 ABCD 中， E， F分别为 AD上的两点，已知 CAD= ， CED=2 ， CFD=4 ， AE=600，EF=200，则 CD= , ,x y z 222 xyzy xyz 三、解答题（本题共6 小题，共70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10 分） 在 ABC中， A， B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sinC= （1）若 a+b=5，求 ABC面积的最大值； （2）若 a=2，2sin 2A+sinAsinC=sin2C，求 b 及 c 的长 18. （本小题满分12 分） 设 2 22 ( )(log)2 log(
6、0)f xxaxb x. 当 1 4 x时，( )f x有最小值 -1. （ 1）求a与b的值； （ 2）求满足( )0f x的x的取值范围 . 19 （本小题满分12 分） 已知向量m(sinx,1) ，n3Acosx， A 2cos2 x(A0) ，函数f(x) m n的最大值为6. (1) 求A； (2) 将函数yf(x) 的图象向左平移 12 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 来的 1 2倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x) 的图象，求g(x) 在 0， 5 24 上的值域 20. （本小题满分12 分） 已知公差不为0 的等差数列 an中， a1=2，且 a2+1，a4+1
7、，a8+1 成等比数列 （1）求数列 an 通项公式； （2）设数列 bn 满足 bn=，求适合方程b1b2+b2b3+bnbn+1=的正整数n的值 21 （本小题满分12 分） 已知椭圆E： +=1（ab 0）的焦距为2，其上下顶点分别为C1，C2，点 A（1， 0） ， B（3，2） ，AC1AC2 （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）点 P的坐标为（ m ，n） （m 3） ，过点 A任意作直线l 与椭圆 E相交于点 M ，N两点，设 直线 MB ，BP ，NB的斜率依次成等差数列，探究m ，n之间是否满足某种数量关系，若是，请 给出 m ， n的关系式，并证明；若不是，请说明理由 2
8、2 （本小题满分12 分） 已知 x（ 1，+） ，函数 f （x）=e x+2ax（a R ） ，函数 g（x）=| lnx|+lnx，其中 e 为 自然对数的底数 （1）若 a=，求函数f（x）的单调区间； （2）证明：当a（ 2， +）时， f （ x1） g（x）+a 参考答案 一、选择题 : CBCDC AADAB AB 二、填空题： 13 2 14. 4 15. 16. 300 三、解答题： 17 解：（1） a+b=5， ab （ ） 2= SABC= sinC= = （2） 2sin2A+sinAsinC=sin 2C， 2a2+ac=c2即 8+2c=c2，解得 c=4 由正
9、弦定理得，即，解得 sinA= cosA= 由余弦定理得cosA=即解得 b= 18. 解: （1） 222 222 ( )(log)2 log(log)f xxaxbxaba. 1 4 x， min 1y，则 2 2 1 log, 4 1, a ba 解得 2, 3. a b （2） 2 22 ( )(log) +4log3f xxx. 由( )0fx得： 2 22 (log) +4log30xx， 2 3log1x， 11 82 x， 1 1 ( ,) 8 2 x. 19. 解： (1)f(x)m n3Asinxcosx A 2cos2xA 3 2 sin2x 1 2cos2x Asin
10、2x 6 . 因为 A0，由题意知， A6. (2)由(1)f(x)6sin 2x 6 .将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y6sin 2 x 12 6 6sin 2x 3 的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到y6sin 4x 3 的图象因此，g(x)6sin 4x 3 .因为x 0，5 24 ， 所以 4x 3 3， 7 6 .故 g(x)在 0， 5 24 上的值域为 3,6 20. 解： （1）设公差为为d，a1=2，且 a2+1，a4+1，a8+1 成等比数列， （ a4+1） 2=（a 2+1） （a8+1） ，（ 3d+3
11、） 2=（3+d） （3+7d） ，解得 d=3， an=a1+（n1）d=2+3（n1）=3n1； （2） 数列 bn满足 bn= ， bn=， bnbn+1=?=3 （） b 1b2 +b 2b3+ +bnbn+1=3（+?+）=3（ ）= ， 即=，解得 n=10，故正整数n 的值为 10 21. 解： （1） AC1AC2 ，C 1（0，b） ，C2（0， b） ，A（1，0） ， ?=1b2=0， b2=1 2c=2 ，解得 c=， a2=b2 +c 2=3 椭圆 E的方程为=1离心率e= （2）m，n 之间满足数量关系m=n+1下面给出证明： 当取 M，N时， kMB=，kBP=，
12、kNB=， 直线 MB，BP ，NB 的斜率依次成等差数列，2=+，化为：m=n+1 当直线 MN 的斜率不为0 时，设直线MN 的方程为： ty+1=x M（ x1，y1） ，N（x2，y2） 联立，化为：（t 2+3）y2+2ty2=0， y 1+y2= ，y1y2= kMB=，kBP=，kNB=，直线MB， BP，NB 的斜率依次成等差数列， 2=+，由于+= =2， =1，化为： m=n+1 22 解： （1）当 a=，f（x）=ex e 2x，x（ 1，+） ，f （x）=exe2， 当 x（ 1，2）时， f （x） 0， f（x）在（ 1，2）上单调递减； 当 x（ 1，+）时，
13、 f（x） 0， f（x）在（ 2， +）上单调递增； 证明：（2）x（ 1，+） ，f （x1）=ex1+2a， g（x） =|lnx|+ lnx=， 1 xe 时，证明当a（ 2， +）时， f （x1） g（ x）+a， 即证明： ex 1+2a +a，a2，即 aex 1， 只需证明h（x） =ex 1 2 在（ 1，e）恒成立即可， h（x）= e x10， h（x）在（ 1，e）递减， h（x） 最大值=h（1）=e12， aex 1， 1xe 时，当 a（ 2，+）时， f （x1） g（x）+a； xe 时，证明当a（ 2，+）时， f（ x1） g（x） +a， 即证明： ex1+2a2lnx +a，a2，令 m（x）=ex12lnx+ +a， （a0， xe） ， m（ x）=+ex 1，显然 m （x）在 e，+）递增，而 m （e）= 3 e e e 0 m（ x） m（e）=ee 1+a1ee1+10， 综上，当a（ 2，+）时， f（x1） g（x）+a