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1、1 1 第 32 练 平面向量的线性运算及平面向量基本定理 训练目标(1) 平面向量的概念；(2) 平面向量的线性运算；(3) 平面向量基本定理 训练题型 (1) 平面向量的线性运算；(2) 平面向量的坐标运算；(3) 向量共线定理的 应用 解题策略 (1) 向量的加、 减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则， 还要和式子：AB BC AC ，OM ON NM 联系起来； (2) 平面几何问题若有 明显的建系条件，要用坐标运算；(3) 利用向量共线可以列方程( 组) 求点 或向量坐标或求参数的值. 一、选择题 1(20xx 佛山期中 ) 已知点M(3 ， 2)，N( 5， 1) ，
2、且MP 1 2MN ，则点 P是( ) A( 8,1) B. 1， 3 2 C. 1， 3 2 D(8,1) 2(20xx 深圳调研 )设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使 a |a| b |b| 成立的充要条件 是( ) AabBab且方向相同 Ca2bDab且|a| |b| 3(20xx 山西大学附中期中) 已知向量a(1,2) ，b( 3,2) ，若 (kab) (a3b) ，则 实数k的值为 ( ) A 1 3 B. 1 3 C 3 D3 4(20xx 哈尔滨三模 ) 已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA OB (1)OC 0， 若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则 的值为
3、 ( ) A. 1 2 B1 C2 D3 5. 如图，在ABC中，AD 2 3AC ，BP 1 3BD ，若AP AB AC ，则 的值为 ( ) A 3 B3 C2 D 2 6.(20xx 辽源联考 ) 如图所示，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD 135，记向量AB a，AC b，则AD 等于 ( ) A.2a 1 2 2 b B2a 1 2 2 b C2a 1 2 2 b D.2a 1 2 2 b 7(20xx 河北衡水中学调研) 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足OP OA AB |AB | AC |AC | ( 0 ， ) ， 则点
4、P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心B内心 C重心D垂心 8(20xx 南安期中 ) 如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BD 1 2DC ，过点D的直 线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM mAB ，AN nAC ，则 ( ) Amn是定值，定值为2 B2mn是定值，定值为3 C.1 m 1 n是定值，定值为 2 D.2 m 1 n是定值，定值为 3 二、填空题 9Pa|a( 1,1) m(1,2) ，mR ，Qb|b(1 ，2)n(2,3) ，nR 是两个向量集 合，则PQ_. 10已知向量OA (1 ，3) ，OB (2， 1) ，OC (k 1，k2)，若A，B，C
5、三点不能构成 三角形，则实数k应满足的条件是_ 11(20xx 厦门适应性考试) 如图，在ABC中，AD BC 0，BC 3BD ，过点D的直线分别 交直线AB，AC于点M，N. 若AM AB ，AN AC ( 0，0) ，则 2 的最小值是 _ 12.(20xx 沈阳期中 ) 在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E、F分 别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动 ( 如图所示 ) 若AP ED AF ，其中 ，R，则 2 的取值范围是_. 答案精析 1B 设P(x，y) ，点M(3 ， 2) ，N( 5， 1) ，且MP 1 2MN ， 可
6、得x 3 1 2( 53)，解得 x 1； y2 1 2( 12) ，解得 y 3 2. P1， 3 2 . 故选 B. 2B 非零向量a、b使 a |a| b |b| 成立 ?a|a| |b| b?a与b共线且方向相同，故选B. 3A 由a(1,2)，b( 3,2) ，得kabk(1,2) ( 3,2) (k3,2k2) ，a3b (1,2) 3( 3,2) (10 ， 4) ，则由 (kab) (a 3b) ，得 (k3)( 4)10(2k 2) 0，所以k 1 3. 故选 A. 4A 设AC、BC边的中点为E、F，则由OA OB (1 )OC 0，得OE OF 0， 点O在中位线EF上
7、OAB的面积与OAC的面积比值为3，点O为EF上靠近E的三等分点， 1 2. 5B AP AB BP ，BP 1 3BD 1 3( AD AB ) 1 3AD 1 3AB 1 3 2 3AC 1 3AB 2 9AC 1 3AB ， AP AB 2 9AC 1 3AB 2 3AB 2 9AC . 又AP AB AC ， 2 3， 2 9， 2 3 9 23. 故选 B. 6B 作DEAB于E，CFDE于F， 由题意，得ACD90，CFBEFD 2 2 ， BC AC AB ba， AD AE ED 1 2 2 a 1 2 2 BC 1 2 2 a 1 2 2 (ba) 2a 1 2 2 b，故选
8、 B. 7B AB |AB | 为AB 上的单位向量， AC |AC | 为AC 上的单位向量，则 AB |AB | AC |AC | 的方向为BAC的 角平分线AD 的方向 又 0 ，) ， AB |AB | AC |AC | 的方向与 AB |AB | AC |AC | 的方向相同， 而OP OA AB |AB | AC |AC | ，点P在AD 上移动点P的轨迹一定通过ABC的内心，故 选 B. 8D 方法一过点C作CE平行于MN交AB于点E. 由AN nAC 可得 AC AN 1 n， AE EM AC CN 1 n1， 由BD 1 2DC 可得 BM ME 1 2， AM AB n
9、n n1 2 2n 3n1， AM mAB ，m 2n 3n1， 整理可得 2 m 1 n3. 方法二M，D，N三点共线， AD AM (1 )AN . 又AM mAB ，AN nAC ， AD mAB (1 )nAC . 又BD 1 2DC ， AD AB 1 2AC 1 2AD ， AD 1 3AC 2 3AB . 由知 m 2 3，(1) n1 3. 2 m 1 n3，故选 D. 9( 13， 23) 解析P中，a ( 1m,12m) ， Q中，b(12n， 2 3n) 则 1m 12n， 12m 23n， 解得 m 12， n 7. 此时ab( 13， 23) 10k1 解析若点A，B
10、，C不能构成三角形，则向量AB ，AC 共线， 因为AB OB OA (2 ，1) (1， 3) (1,2) ，AC OC OA ( k1，k2) (1 ， 3)(k，k1)，所以 1(k1) 2k 0，解得k1. 11. 8 3 解析AD AB BD AB 1 3( AC AB ) 2 3AB 1 3AC . 设AD xAM yAN (xy1) ， 则AD xAB yAC ， 则 x 2 3， y 1 3， 即 2 3x， 1 3y， 故 2 2 3 1 x 1 y 2 3 1 y x x y1 2 3 22 y x x y 8 3. 当且仅当xy 1 2时，等号成立 12 1,1 解析建立如图所示的直角坐标系，设PAE，则 A(0,0)，E(1,0) ，D(0,1) ，F(1.5,0.5)，P(cos ，sin )(0 90) AP ED AF ， (cos ，sin )( 1,1) (1.5,0.5)， cos 1.5 ，sin 0.5 ， 1 4(3sin cos) ，1 2(cos sin ) ， 2 sin cos2sin( 45) 0 90， 45 4545， 2 2 sin( 45) 2 2 ， 12sin( 45) 1. 2 的取值范围是 1,1