1、等差数列(一)学习目标1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式2会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题3掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.尹知识梳理自主学习知识点一等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.思考1等差数列念的概念可用符号表示为斯+1一念=d(zN*).思考2等差数列念的单调性与公差d的符号的关系.等差数列念中，若公差d0,则数列斯为递增数列；若公差d0,则数列斯为递减数列;若公差d=0,则数列斯为常数列.知识点二等差中项的概念
2、若三个数，A,8构成等差数列，则A叫做与1.的等差中项,并且A=安.知识点三等差数列的通项公式若等差数列的首项为公差为d,则其通项=6+m-1.)d.思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？答案还可以用累加法，过程如下：。2a-d,。3=d,。4。3=d,C1.n(2n-d(j1.巳2),将上述51)个式子相加得a11a-(n1)J(112),.,.a11-c1.-(j1.)d(22),当=1时，Q1.=Q1.+(11)4,符合上式,.*.a11-a-(r1)J(11N*).题型一等差数列的概念例1(1)下列数列中，递增的等差数列有()1,3,5,7,9；
3、2,0,-2,0,-6,0,y2+1.A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知y2f贝U。与人的等差中项为()A.y3B.2C.当D.坐答案(I)C(2)A解析(1)等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列.(2)与b的等差中项为空小;6+小IW)=I(S+(S+=S跟踪训练1在数列斯中，qi=2,2qhi=2Q+15N*),贝U数列斯是()A.公差为1的等差数列B.公差为3的等差数列C.公差为2的等差数列D.不是等差数列(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则机和孔的等差中项是答案(I)B(2)6角翠析(iy.tan+=an+9C1.n+1C1.n(N),J数列斯是
4、以T为公差的等差数列.机+2z=8X2=16nn(2)由题意得.*.3(m+11)=20+16=36,.m+n=12,.-5-=6,2机+=10X2=202即相、的等差中项为6.题型二等差数列的通项公式及应用例2(1)若斯是等差数列，415=8,460=20,求475.(2)已知递减等差数列斯的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断-34是该数列的项吗？解(1)设斯的公差为d.上gi5=4+14d=8,由题意知_解得V/。60i+59d20,j4644所以。75=。1+742=返+74义正=24.Ia1.+。2+。3=18,依题意得“Q1Q2Q3=66,3+3d=18,+
5、J)(4+2d)66,Ia1.=11,f=1.,解得U或，厂数列斯是递减等差数列，d=-5,J=5.d0.故取4=11,J=-5.*.an-1.1.-(n-1)-(-5)=-5n-16.即等差数列念的通项公式为an=5n+16.令斯=-34,即一5n-16=34,得=10.一34是数列斯的第10项.跟踪训练2已知斯为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)。3=5,617=13；(2)前三项为a,Ia1,3a.解(1)设首项为41,公差为d,则。3=。1+24=5,=I.a几12。几-i+1.证明万法一.丁=K7,1（12。九）斯（2。-1+1）,即a11-1+1),a114斯1+1
6、r_I_4斯-1+11bn4+,斯d11-a11bn人“一1=4+4,1Q1数列为是等差数列.、1.一WT一ra11-2斯+1.12斯2斯+1.I-C1.1.11万法二当n1.,N*时，丁-=-2=2+-=1ZciQ1Q1Q14-=4,且%=；=5.C1.i 瓦是等差数列，且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知=+(11-1.)J=5+4(11-1.)=411+1.=4A1,eN*._1_1._1_ -5，。29,Q1Q245.令念=*=S二11 。1。2是数列斯中的项,且是第11项.跟踪训练3在数列斯中,41=2,即+1=斯+2+1.求证：数列斯一2为等差数列；（2）设数列儿满足=21og
7、2（+1.-11）,求d的通项公式.（1）证明（斯+12+1）（斯一2）=斯+1斯一2=1（与川无关），故数列!斯一2为等差数列I,且公差d=1.(2)解由(1)可知，斯一2=(i2)+51.)d=一1,故an=2n+11-1.,所以b11=2iog2(+1.-n)=2n.易错点对等差数列的定义理解不深刻例4若数列念的通项公式为斯=10+1.g3,求证：数列念为等差数列.错解因为=10+1.g3=10+111.g3,所以Q1.=IO+1.g3,42=10+21g3,6Z3=10+31g3,所以故一。I=Ig3,的一。2=Ig3,则a?a=a3a2,故数列斯为等差数列.错因分析由数列的通项公式求
8、出的。2。1=的一。2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列.正解因为an=10+1.g311=10+111.g3,所以an+i=10（11+1.）1.g3.所以斯+1斯=1.+5+I）Ig3（10+“1.g3）=1.g3（N*）,所以数列斯为等差数列.误区警示数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件.2 .下列命题：数列6,4,2。
9、是公差为2的等差数列；数列，。一1,a2,一3是公差为一1的等差数列；等差数列的通项公式一定能写成斯=碗+8的形式（左，方为常数）；数列2九+1是等差数列.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.3 .在等差数列斯中，若m=84,42=80,则使斯20,且斯+0,则斯=.10 .若关于X的方程x2x+机=0和x2x+=0（机，R,且相）的四个根组成首项为:的等差数列，则根十几的值为.三、解答题11 .已知等差数列斯.(1)若412=31,432=151,求。42的值；(2)若。=5,d=3,an=2009,求九12 .若等差数列斯的公差d0且。1，42是关于X的方程f的%+。4=0的两根，求数
10、列斯的通项公式.13 .已知函数数列&的通项由=/(%-1)(九22,且N*)确定.求证是等差数列；(2)当X1.=T时,求X1.oo.课堂检测1.答案C解析an-1-3n,.*.a2,奥=-5,=。2Qi=13.2 .答案C解析正确，中公差为一2.3 .答案B解析公差2=。2的=一4,.*.an-a-(111)J=84+(111)(4)=884n,f0,f88-4110,令即=21九W22.an+iQ,884(+1.)3= 2-=2 .a11-6n5Q4-196 .答案B解析依题意得21g(2-1.)=1.g2+1.g(2%+3),.,.(2-1)2=2(2x+3),.*.(2x)2-42-
11、5=0,.(2x-5)(2x+1.)=0,.*.2x=5或2%=1(舍)，x=1.og25.7 .答案C解析*W)=(-1.)2+11(x-1,3),.*.a11-n,仇=+4,Cnbnd11b11b11(b11-C1.ri)=4(11+4)=411+16.二、填空题8 .答案斯=2九一3(N*)解析V-1,x+1.,2x+3是等差数列的前三项，2(x+1.)=X1.+2x+3,解得X=0.=X-1=19。2=1,。3=3,d=2,.*.an-1+(-1)2=2-3.9 .答案74n一3角星析.*+-*=4,*是等差数列,且首项后=1,公差d=4,品=1+(-1)4=4113.又,CtJ4h3
12、3110 .答案M解设%2%+m=0,X2x+几=0的根分别为兄1,%29%3,%49则X1.+x2=X3+x4=1.设数列的首项为修，则根据等差数列的性质，数列的第4项为X2.由题意知修=；,3_13 厂41,X2=7,数列的公差=,4 41O二数列的中间两项分别为:+看=得，n+6=12,.35、，735xvx21.xyx-11-212144,33531Am+z2=16+T44=72,三、解答题11.解(1)设首项为Qi,公差为d,则i2=+1.1.d=31,的2=。1+312=151,a=-35,d=6,。42=。1+412=35+41X6=211.(2)斯=5+(一1)X3=2009,J几=669.+。2=。3,12.解由题意知,_2i+d=i+2d,+砂=Qi+3d.M1.=2,解得_=2+(h-1)2=211.d=2,故数列的通项公式为an=2n.3_113(1)证明由题意得即=AO=.；+3(：2,且加WN*),所以且N*),uJC1D尤1所以:一一=；522,且N*),人X111.D所以是等差数列.(2)解由知；的公差为1111因为修=5，所以=+g-Dq,乙JiY1.JiD=2+(100-1.)=35.X1003所以X1.oo=
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