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1、第 64 炼 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：2,4,6 ,3,0,2AB，则直线AB的方向向量为1, 4, 4AB 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平 面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法： （先设再求） 设平面的法向量为, ,nx y z，若平面上所选两条直线的方向向 量分别为 111222 ,ax y zbxyz ，则可列出方程
2、组： 111 222 0 0 xyz xy xyz xyz z 解出,x y z的比值即可 例如： 1,2,0 ,2,1,3ab ，求 ,a b所在平面的法向量 解：设, ,nx y z，则有 20 230 xy xyz ，解得： 2xy zy :2:1:1xy z2,1,1n （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b表示直线,a b的方向向量，用,m n表示平面 ,的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：abab （2）线面垂直：abab （3）面面平行： m n （4）面面垂直：mn 2、计算类： （1）两直线所成角：coscos, a b a b a b （2）线面角：cos,si
3、n a m a m a m （3）二面角：coscos, m n m n m n 或coscos, m n m n m n （视平面角与法向 量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设A为平面外一点，P为平面上任意一点，则A到平面的距离 为 A AP n d n ，即AP在法向量n上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否 在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法 与技巧 1、理念： 先设再求 先设出所求点的坐标, ,x y z，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量, ,x y z可表
4、示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确 定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费” （变量多， 条件少， 无法求解）， 要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律： 维度 =所用变量个数 3、如何减少变量： （1）直线上的点（重点） ：平面向量共线定理若,abR使得ab 例：已知1,3,4 ,0,2,1AP，那么直线AP上的某点, ,Mx y z坐标可用一个变量表示， 方法如下：1,3,4 ,1, 1, 3AMxyzAP三点中取两点构成
5、两个向量 因为M在AP上，所以 AMAPAMAP 共线定理的应用（关键） 11 33 4343 xx yy zz ，即1,3,43M仅用一个变量表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理若,a b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在 ,R，使得：cab 例：已知1,3,4 ,0,2,1 ,2,4,0APQ，则平面APQ上的某点, ,Mx y z坐标可用两个变 量 表 示 ， 方 法 如 下 ：1,3,4 ,1, 1, 3 ,2,2, 1AMxyzAPPQ， 故 AMAPPQ，即 1212 3232 4343 xx yy zz 二、典型例题 例1： （ 2010 天津）在长方体 1111 ABC
6、DA BC D中，,E F分别是棱 1 ,BC CC上的点， 2CFABCE， 1 :1: 2: 4AB AD AA （1）求异面直线 1 ,EF AD所成角的余弦值 （2）证明：AF平面 1 AED （3）求二面角 1 AEDF正弦值 解：由长方体 1111 ABCDA BC D得： 1, ,AA AB AD两两垂直 以 1, ,AA AB AD为轴建立空间直角坐标系 （1） 1 3 1,0 ,1,2,1 ,0,0,4 ,0,2,0 2 EFAD 1 1 0,1 ,0,2,4 2 EFA D 1 1 1 33 cos, 55 20 4 EFAD EF AD EFAD 3 cos 5 （2）1
7、,2,1AF，设平面 1 AED的法向量为, ,nx y z 1 1 0,2,4 ,1,0 2 A DDE 240 :1: 2 :1 1 0 2 yz xyz xy 1,2,1n AFn AF平面 1 AED B 1 C1 B C D A D1 A 1 E F （3）设平面EDF的法向量, ,mx y z 1 1,0 ,1,0,1 2 DEDF 1 0 :1: 2:1 2 0 xy xy z xz 1,2, 1m 1,2,1n 42 cos, 63 m n m n m n 5 sin 3 例 2： 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD， 2AB，若MN分
8、别为棱,PD PC上的点，O为AC中点，且22ACOMON （1）求证：平面ABM平面PCD （2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 （3）求点N到平面ACM的距离 解：PA平面ABCD ,PAAB PAAD 矩形ABCDABAD 故,PA AB AD两两垂直 以,PA AB AD为轴建立空间直角坐标系 0,0,4 ,2,0,0 ,2,4,0 ,0,4,0 ,1,2,0PBCDO 22ACOMON ，且,OM ON分别为 ,AMCANC的中线 ,ANPC AMPD 设点, ,Mx y z，因为,P M D三点共线 PMPD 而 , ,4 ,0,4, 4PMx y zPD 0,4 , 4PD 0 4 44 x y z 0,4 ,44M而0AMPDAMPD 1 164 440 2 0,2,2M O A D B C P M N O A D B C P M N