《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 .pptx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第2课时 等比数列前n项和的性质及应用,等比数列前n项和的性质 1.思考:对于不是常数列的等比数列an,如果其前n项和可以写成Sn=Aqn+B的形式,那么系数A,B应满足什么条件?,2.思考:如果等比数列an的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是否也构成等比数列呢? 提示:不一定.当an的公比q=-1,且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n的各项均为零,不能构成等比数列.其他情况下,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n可构成等比数列.,3.做一做: (1)判断正误. 若某一数列的前n项和为Sn=43n-1-4,则其必为等比数列. ( ),若an为等比数列,则S5,S
2、10,S15仍然构成等比数列. ( ) 若an为等比数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9仍然构成等比数列. ( ) 答案: ,(2)在等比数列an中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520 在数列an中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=3n+k,则实数k等于 . 解析:S2=20,S4-S2=40,S6-S4=80, S6=S4+80=S2+40+80=140. 依题意得k+1=0,所以k=-1. 答案:A -1,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,等比数列前n项和的性质 例1(1
3、)在等比数列an中,若S2=7,S6=91,则S4= ; (2)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+a2n-1)-(a2+a4+a2n)=80,则公比q= ; (3)若数列an是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于 . 分析:运用等比数列前n项和的性质求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解析:(1)数列an是等比数列,且易知公比q-1, S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列, 即7,S4-7,91-S4构成等比数列, (S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. 又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+
4、a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)0,S4=28. (2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟等比数列前n项和的性质 1.若数列an为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),则该数列必为等比数列. 2.若等比数列an的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特别地,如果公比q-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.
5、3.当等比数列an的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,等差数列与等比数列的综合问题,(1)求S2和S3; (2)求数列an的前n项和; (3)求数列Sn的前n项和. 分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求Sn的前n项和.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是
6、历年命题的热点. 2.利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1已知等差数列an,a2=9,a5=21. (1)求an的通项公式; (2)令bn= 2 ,求数列bn的前n项和Sn.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,等比数列的实际应用 例3小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,购买12个月后第6次付款,每
7、次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少? 分析:根据题意,列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息是解题的关键.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(方法一)设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则 A2=5 000(1+0.008)2-x=5 0001.0082-x, A4=A2(1+0.008)2-x=5 0001.0084-1.0082x-x, A12=5 0001.00812-(1.00810+1.0088+1.0082+1)x=0,故小华每期付款金额约为880.8元.,探究一,探究二,探究三,
8、思想方法,当堂检测,(方法二)设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则 A2=x, A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082), A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084), A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810). 年底付清欠款,A12=5 0001.00812, 即5 0001.00812=x(1+1.0082+1.0084+1.00810),故小华每期付款金额约为880.8元.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,
9、此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法,如本题中方法一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;而方法二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,分类讨论思想在数列求和中的应用,审题视角数列的通项公式为分段函数的形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求解.,探究一,
10、探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,方法点睛分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.已知等比数列an,an=23n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( ),答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,2.已知等比数列的前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为( ),答案:D,3.若等比数列an的前n项和Sn=2n-2+r,则r= .,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(nN*)为 .,答案:5,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,