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1、3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程,目标导航,1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图所示,直线l过定点 P(x0,y0),斜率为k,则把方程 叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式;,新知导学素养养成,y-y0=k(x-x0),(2)如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 .,x=x0,思考:直线的点斜式方程能否表示坐标平面内的所有直线? 答案:不能.当直线的斜率不存在时不能用点斜式表示.,2.直线的斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程 叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式;,(2)一条
2、直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程.,y=kx+b,截距,直角,名师点津,(1)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可以分为两类: 斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0); 斜率不存在的直线,方程为x-x0=0,或x=x0. (2)直线的斜截式方程 斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在. 纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、负数或零.,课堂探究素养提升,题型一 直线的点斜式方程 例1 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点(2,5),倾斜角为45; (2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,
3、4)逆时针旋转90后得直线l,求直线l的点斜式方程;,解:(1)因为倾斜角为45,所以斜率k=tan 45=1, 所以直线的方程为y-5=x-2. (2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45. 由题意知,直线l的倾斜角为135,所以直线l的斜率k=tan 135=-1. 又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).,(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行; (4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.,解:(3)由题意知,直线的斜率k=tan 0=0, 所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y+1=0. (4)由题意可知直线的斜率不存在, 所以直
4、线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.,误区警示,利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程;当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0; (2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.,(2)设所求直线方程为3x+4y+m=0,代入(2,3)点,6+12+m=0, 解得m=-18.所以直线方程为3x+4y-18=0.,(3)设所求直线方程为4x-3y+n=0,代入(2,3)点,8-9+n=0, 解得n=1.所以直线方程为4x-3y+1=0.,2.求满足下列条件的直线
5、的点斜式方程. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.,解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3, 由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4), (2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0(x-3),即y+4=0.,解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.,题型二 直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150,在y轴上的截距是-2;,(3)倾斜角为
6、60,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.,方法技巧,(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重合)的直线. (2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离是一个非负数.,即时训练2-1:已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等,求直线l的方程.,解:由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2, 又因为ll1, 所以l的斜率k=k1=-2. 由题意知l2在y轴上的截距为-2, 所以l在y轴上的截距
7、b=-2, 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.,备用例2 1.直线l经过点(-2,2),且与直线y=x+6在y轴上有相等的截距,则直线l的方程为 .,解析:设直线l的方程为y=kx+6,将点(-2,2)代入,得2=-2k+6,解得k=2,所以直线l的方程为y=2x+6. 答案:y=2x+6,题型三 平行垂直的应用 例3 当a为何值时, (1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?,解:(1)设两直线的斜率分别为k1,k2, 则k1=a,k2=a+2. 因为两直线互相垂直, 所以k1k2=a(a+2)=-1,解得a=-1. 故当a=-1时,两条直线互相垂直.,(2)两直线y=
8、-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?,方法技巧,对于不能用斜截式方程表示的直线,判断它们的位置关系时,需注意: (1)若两条直线的斜率均不存在,则平行或重合. (2)若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则垂直. (3)若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在但不为0,则两条直线既不平行也不垂直.,即时训练3-1:(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行? (2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直?,2.ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若ABC是以B为直角的直角三角形.
9、(1)求a;,(2)求直线AB的方程.,课堂达标,解析:因为方程可变形为y+2=-(x+1), 所以直线过点(-1,-2),斜率为-1.故选C.,1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( ) (A)直线经过点(-1,2),斜率为-1 (B)直线经过点(2,-1),斜率为-1 (C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1 (D)直线经过点(-2,-1),斜率为1,C,2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( ) (A)k0,b0 (B)k0,b0 (D)k0,b0,B,解析:因为直线经过一、三、四象限, 由图知,k0,b0.故选B.,3.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ),D,5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为 .,解析:直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45,又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍,所以所求直线的倾斜角为90,其斜率不存在.又直线过定点P(3,3),所以直线l的方程为x=3. 答案:x=3,