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1、第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式,目标导航,新知导学,课堂探究,新知导学素养养成,1.比较实数a,b的大小 (1)文字叙述 如果a-b是 ,那么ab; 如果a-b ,那么a=b; 如果a-b是 ,那么ab.反过来也对.,正数,等于零,负数,(2)符号表示 a-b0a b; a-b=0a b; a-b0a b.,=,思考1:不等关系与不等式有何区别?,答案:(1)不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用文字:大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于或符号:、b”“ab”“a b”“ab”或“ab”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.,2.不等式的性质 (1)对称性:ab .,ba
2、,ac,acbd,思考2:应用不等式的性质时,要注意什么问题?,答案:(1)同向不等式不能相减. (2)异向不等式不能相加. (3)两边同乘或除以一个负数,不等号要改变方向. (4)ab0,cd0acbd与ab,cd acbd易混淆,其中,应注意它们的区别,前一个各项为正,后一个没有明确正负,故不成立.,名师点津,(1)关于ab和ab的含义 不等式ab应读作:“a大于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则ab正确.,不等式ab应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则ab正确. (2
3、)作商法比较大小的步骤及适用范围 作商法比较大小的三个步骤 作商变形;与1比较大小;得出结论. 作商法比较大小的适用范围. 要比较的两个数同号;比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时,常用作商法.,课堂探究素养提升,题型一 用不等式(组)表示不等关系,例1某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,请写出满足上述所有不等关系的不等式.,方法技巧,用不等式(组)表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系;,(2)找出体现
4、不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不超过等,用代数式表示相应各量,并用不等号连接,特别需要考虑的是“”“”中的“=”能否取到. (3)注意变量的实际意义,如体积、面积、长度、重量等均为非负实数.,即时训练1-1:一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为 .,解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)2 200来表示.
5、 答案:8(x+19)2 200,备用例1(1)(2019临沂高二检测)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1 t需消耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t;生产乙种产品1 t需消耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.工厂现有A种矿石300 t、B种矿石200 t、煤360 t,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).,解:(1)设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x t,y t. 由题意知,有如下不等关系: 消耗A种矿石总量不超过300 t; 消耗B种矿石总量不超过200 t; 煤的消耗总量不超过360 t;,(2)糖水是日常生活中很普通的东西,下列关于糖水浓度的问题,同学们
6、能分别提炼出怎样的不等式? 如果向一杯糖水里添上点儿糖,“糖水加糖变甜了”;,把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.,题型二 数式的大小比较,例2(1)已知x1,比较x3-1与2x2-2x的大小.,(2)(2019枣庄高二检测)设a0,b0,试比较aabb与abba的大小.,方法技巧,(1)作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 作差法比较的步骤:作差变形定号结论.,变形的方法:因式分解;配方;通分;对数与指数的运算性质;分母或分子有理化;分类讨论. (2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子
7、.,即时训练2-1:已知x1,比较x3+6x与x2+6的大小.,解:(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6 =x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6). 因为x1, 所以(x-1)(x2+6)0, 所以x3+6xx2+6.,题型三 不等式的性质及应用,证明:(1)因为ab,c0, 所以acbc,所以-ac-bc. 因为fe,所以f-ace-bc.,方法技巧,用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明.要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数,一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的等.,(1)解析:当c
8、0时,由ab,可得ac2bc2,当c=0时,由ab,得不出ac2bc2,故错误;,因为cd,所以-cb,两个不等式的方向不同向,不能相加,所以a-cb-d错误; 当a=3,b=2,c=-3,d=-4时满足条件,但acbd不成立,故错误. 答案:,题型四 易错辨析错用不等式的性质致误,【例4】 已知1a+b5,-1a-b3,求3a-2b的取值范围.,错解:因为1a+b5,-1a-b3,所以两式相加可得0a4, 因为1a+b5,-3b-a1,所以两式相加可得-1b3, 所以03a12,-6-2b2,所以-63a-2b14. 纠错:由1a+b5,-1a-b3,得出0a4,-1b3.此时,将a,b的范
9、围扩大了.例如,当a=0,b=-1时,尽管满足0a4,-1b3,但是并不满足1a+b5,也就是说“由1a+b5,-1a-b3,得出0a4,-1b3”的过程是一个不等价变形.用a+b和a-b将3a-2b表示出来,然后利用同向不等式的可加性求出3a-2b的范围即可.,学霸经验分享区,(1)使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用.,(2)用不等式(组)表示实际问题中,在寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系时,要注意隐含条件.,课堂达标,C,1.设bb-d (B)acbd (C)a+cb+d (D)a+db+c,解析:因为ba,dc, 所以b+da+c
10、.故选C.,2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则( ) (A)ab (B)ab (C)ab (D)ab,C,解析:a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x) =x2-2x+1=(x-1)20, 所以ab,故选C.,3.已知a+b0,bb-b-a (B)a-b-ab (C)a-bb-a (D)ab-a-b,解析:令a=5,b=-2满足a+b0, 所以a-bb-a,故选C.,C,4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面1.2元的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面1.2元的x套与买票面2元的y套应满足的条件为 .,5.(2019山东临沂高二检测)已知-6a8,2b3,那么2a+b的范围是 ,a-b的范围是 .,解析:因为-6a8,2b3, 所以-122a16, 所以-102a+b19. 又因为-3-b-2, 所以-9a-b6. 答案:(-10,19) (-9,6),点击进入 课时作业,