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1、习题课数列求和,一、 裂项相消法求和,(2)将数列中的每一项转化为两项之差的形式,通过正负项相互抵消求得数列的和.,2.填空: (1)裂项相消法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干项之和,从而求出数列的前n项和. (2)常用的一些裂项技巧:,3.做一做: (1)判断正误.,答案: ,二、 分组求和法,提示:不是等差数列,也不是等比数列.它们的每一项是由一个等差数列和一个等比数列的各项相加减得到的.,2.填空: 分组求和法:如果一个数列的各项是由若干个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其分别
2、构成等差数列或等比数列,然后利用等差、等比数列的求和公式求解.,3.做一做: 数列n+2n的前n项和Sn等于 .,解析:,三、 并项转化法求和 1.思考:给出数列:1,-3,5,-7,9,-11,该数列是等差数列吗?该数列中各项的符号有什么特点?如果将该数列依次两项两项分段相加,得到的新数列是什么数列? 提示:该数列不是等差数列;该数列各项的符号正负交替;将该数列依次两项两项分段相加,得到的新数列为-2,-2,-2,-2,它是一个常数列. 2.填空: 并项转化法:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以依次两项两项(或几项几项)合并,再利用
3、其他相关的方法进行求和.,3.做一做: (1)对于数列1,-3,5,-7,9,-11,其前100项的和等于 . 答案:-100 (2)若数列an的通项公式an=(-1)n2n,前n项和为Sn,则S10= ,S15= . 解析:S10=(-2)+4+(-6)+8+(-18)+20=25=10, S15=(-2)+4+(-6)+8+28+(-30)=27-30=-16 答案:10 -16,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,裂项相消法求和,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,反思感悟裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,相加使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
4、利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察其是否能分解成两项的差,且这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项.在裂项求和的过程中,还要注意以下几点: (1)在通项裂开后,原各项是否恰好等于相应的两项之差. (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,还有可能前面剩下了两项(或多项),后面也剩下了两项(或多项).,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,分组求和法求和 例2已知数列cn的首项c1=3,cn=2np+nq(nN*,p,q为常数),且c1,c4,c5成等差数列,求: (1)p,q的值;(2)数列cn的前n项和Sn.
5、分析:先将c1,c4,c5用p,q表示,根据c1,c4,c5成等差数列建立关于p,q的方程组,即可求得p,q的值,从而得到数列的通项公式,这时每一项都是由一个等比数列和一个等差数列中的项的和构成,可分别求和后再相加. 解:(1)由c1=3,得2p+q=3.因为c4=24p+4q,c5=25p+5q,且c1+c5=2c4,所以3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,反思感悟当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于
6、拆分成的每个数列前n项和的和.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,变式训练2在等差数列an中,已知a2=4,a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= 2 2 +n,求b1+b2+b3+b10的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,并项转化法求和 例3已知数列-1,4,-7,10,(-1)n(3n-2),求其前n项和Sn. 分析:该数列中正负项交替出现,且各项的绝对值构成等差数列,故可用并项转化法求和.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,反思感悟1.一般地,当数列中的各项正负交替,且各项的绝对值成等差数列时,可以采用
7、并项转化法求和. 2.在利用并项转化法求和时,因为数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果却往往可以用一个公式来表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,延伸探究本例中,将条件改为“已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+(-1)n-1(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,错位相减法求和 例4已知正项等差数列an的前n项和为Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.,分析:(1)列方程组求出等差数列an的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.,探究一,探究二,探究三
8、,探究四,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,反思感悟用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式.若公比是个字母参数,则应先对参数加以讨论,一般情况下,分公比等于1和不等于1两种情况分别求和.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,变式训练3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式; (
9、2)求数列nan的前n项和Tn.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,数列的通项与求和的综合问题 典例已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式;,【审题策略】(1)先求出数列an的通项公式,再求数列bn的通项公式; (2)先求出数列cn的通项公式,再利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,【规范展示】 解:(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n
10、+5. 设数列bn的公差为d.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,【答题模版】 第1步:由数列an中an与Sn满足的关系式求其通项an; 第2步:由数列bn满足的关系式求其通项bn; 第3步:求出数列cn的通项cn; 第4步:用错位相减法求出数列cn的前n项和Tn.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,【失误警示】 通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下: (1)由数列an中an与Sn满足的关系式求其通项an时,漏掉n=1时的情况而导致丢分. (2)不会利用an=bn+bn+1求出等差数列bn的公差和首项. (3)用错位相减法求数列cn的前n项和Tn时,不知道错
11、位对齐相减,弄错正负号而失分.,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,A.120 B.180 C.240 D.360,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,2.若数列an的通项公式是an=8n,其前n项和为Sn,且Snbn=1,数列bn的前n项和为Tn,则T10等于( ),答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,3.已知数列an的通项公式是an=2n+3n+1,则数列an的前n项和Sn= .,4.已知数列an的通项公式为an=(-1)n(5n-4),则其前20项的和等于 . 解析:该数列前20项的和S20=-1+6-11+16-91+96=(-1+6)+(-11+16)+(-91+96)=510=50. 答案:50,探究一,探究二,探究三,探究四,规范解答,当堂检测,5.在等差数列an中,a7=4,a19=2a9. (1)求an的通项公式;,