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1、习题课数学规划的简单应用,非线性目标函数的最值问题 1.填空: 在数学规划问题中,除线性目标函数外,还有以下几种常见的非线性目标函数: (1)z=x2+y2,它表示点(x,y)与原点(0,0)之间的距离的平方; (2)z=(x-a)2+(y-b)2,它表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离的平方;,2.做一做: (1)判断正误. (x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离. ( ),若某一线性规划问题中,目标函数是z=ax-y,则直线y=ax-z的斜率一定大于0. ( ),答案: ,(2)若以A(2,0),B(2,2),C(0,2)为顶点的三角形及其内部构成区域D,点
2、P(x,y)在区域D内,则,答案:8 0,2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,非线性目标函数的最值问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:(1)画出可行域如图阴影部分所示. z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2,它表示可 行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距 离的平方,过点M作直线AC的垂线, 易知垂足N在线段AC上,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用数学规划求最值,关键是准确理解非线性目标函数的几何意义,从本题的求解过程可以看出,最优解一般在可行域的边界上,并且通常在可行域的顶点处取得,所以作图时要力求准确.,探究一,探究二
3、,探究三,思维辨析,当堂检测,解:画出满足条件的可行域如图阴影部分所示.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点,x2+y2的值都相等,由图可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过点C时,u最大,过点(0,0)时,u最小. 因为点C的坐标为(3,8),所以umax=73,umin=0.故u的最大值为73,最小值为0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,线性规划中的参数问题,A.1 B.2 C.3 D.4 分析:首先可从选项给出的值进行判断,确定a0,然后在可行域中针对目标函数进行分析,找出最优解,从而
4、确定实数a的值. 解析:画出可行域,如图阴影部分所示.由各选项知a取正值,设ax+y=z,结合图形易得当直线y=-ax+z经过点(1,0)时,ax+y取得最小值,此时a=3.故选C.,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟线性规划中的参数问题就是已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中所含参数的取值范围问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域或目标函数表示的直线画出来,分析并确定是否符合题意,然后寻求最优解,从而确定参数的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:-6,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,线性规划中的
5、整数解问题 例3某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租用车辆总数不超过21,且B型车至多比A型车多7辆,求最少租金. 分析:设出未知数,建立约束条件,注意到车辆数应该为自然数,因此应该求目标函数的最优整数解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟对于线性规划中的最优整数解问题,当解方程组得到的解不是整数解时,通常可用平移直线法得到最优整数解,即通过平移直线,观察和分析最先经过或最后经过的整数点,就是相应的最优整数解;如果
6、可行域中的整数点较少,也可以将整点的坐标逐一代入目标函数求值,经比较后得出最优整数解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:作出可行域,结合图形(如图)知当a=-1时,可行域内的整点恰有9个,所以a=-1.,答案:-1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,忽视对参数的分类讨论致误 典例已知x,y满足约束条件|x|+2|y|2,且z=y-mx(m0)的最小值等于-2,则实数m等于 .,错解:本题常见错解是没有对参数m的取值范围进行分类讨论,导致丢解.画出可行域(下图中的阴影部分). 由z=y-mx,得y=mx+z. 由图可知,目标函数在点A(2,0)或D(0,-1)处取得最
7、小值,因此,-2=0-2m或-2=-1-m0,解得m=1.故填1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,防范措施当目标函数中含有参数时,参数的不同取值将影响最优解的位置,因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系,对参数的取值情况进行分类讨论,在运动变化中寻找问题成立的条件,从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数,那么随着参数的变化,可行域的形状可能就要发生变化,因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论,以免出现漏解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:画出不等式组对应的可行域如图阴影部分所示.,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:,答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:画出可行域(图中的阴影部分),当直线y=-2x+z经过点M(a,a),答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.已知点P(x,y)在如图阴影所示的可行域内,若目标函数z=ax+y仅在点A处取得最小值,则实数a的取值范围为 .,答案:(-,-1),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,