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1、2 三角形中的几何计算,【做一做】,答案:A,2.三角形中的常用结论 (1)A+B+C=180; (2)在三角形中,大边对大角,反之,大角对大边; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形内的诱导公式,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在ABC中,若a2b2+c2,则ABC为钝角三角形. ( ) (3)在ABC中,若cos A=cos C,则一定有A=C. ( ) (4)在ABC中,若sin A=sin B,则一定有A=B. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方
2、法,探究一,探究二,思想方法,反思感悟1.解决三角形中与长度有关的问题时,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理或余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要先根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理或余弦定理求解. 2.解决本题的关键是利用余弦定理建立方程,并注意互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1,(1)求sin BAD的值. (2)求BD,AC的长.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,【例2】 如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积. 分析:本题考查余
3、弦定理和面积公式的综合运用.本题的解题关键是圆的内接四边形的对角互补,连接BD,把四边形分成两个三角形,在两个三角形中分别用余弦定理表示出BD的长,由其相等可解出角A.,探究一,探究二,思想方法,解:连接BD,因为四边形ABCD是圆的内接四边形, 所以A+C=180,所以cos C=cos (180-A)=-cos A. 在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A =22+42-224cos A=20-16cos A, 在BCD中,由余弦定理, 得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C =62+42-264cos C=52-48cos C=52+48cos A
4、, 所以20-16cos A=52+48cos A,探究一,探究二,思想方法,反思感悟1.对于四边形等其他不是三角形的几何图形,通常可将其分割为几个互不重叠的三角形进行计算. 2.求解三角形面积时,常常先根据题意求出一内角,再进一步求其两边长,其中,求角时常利用和、差角的公式变形,而求边长则使用方程(组)求解.,探究一,探究二,思想方法,变式训练2 如图,已知在ABC中,BC=5,AC=4, ,且AD=BD,求ABC的面积.,探究一,探究二,思想方法,函数思想在三角形中最值问题的应用 【典例】如图,在扇形AOB中,圆心角AOB等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P,过点P引平行于OB的直线和
5、OA交于点C,设AOP=,求POC面积的最大值及此时的值. 分析:要求POC面积,可根据三角形面积的表达式,先寻找某个已知角或能用角表示的角,再寻求该角的两边.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,方法点睛在解决三角形中最值问题时,一般要根据正弦定理、余弦定理,根据已知边和角,把所求量用已知量表示出来,建立函数模型,当然对于函数最值的求解,往往要用到三角变换公式、二次函数、不等式等知识.,探究一,探究二,思想方法,变式训练,1,2,3,4,5,1.边长为10,14,16的三角形的最大角与最小角的和为( ) A.90 B.120 C.155 D.50 解析:设边长为14的边的对角为, 所以=60,因此最大角与最小角之和为120. 答案:B,1,2,3,4,5,2.已知在ABC中,AB=12,ACB的平分线CD把三角形的面积分成32两部分,则cos A等于( ),解析:由题意得,答案:C,1,2,3,4,5,3.在ABC中,若A=60,AC=1,ABC的面积为 ,则BC的长为 .,1,2,3,4,5,4.如图,在ABC中,若AB=AC=2, ,点D在BC边上, ADC=45,则AD的长度等于 .,1,2,3,4,5,5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B= (1)求边b的值. (2)求sin C的值.,