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1、2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.4 平面与平面平行的性质 整体设计 教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较 多，而且是空间问题平面化的典范. 空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转 化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所 以本节在立体几何中占有重要地位. 本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的 应用 . 三维目标 1. 通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理. 2. 熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 3. 进一步培养学生的空间想象能力, 以及逻辑思
2、维能力. 重点难点 教学重点 :平面与平面平行的判定与性质. 教学难点 :平面与平面平行的判定. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1. ( 情境导入 ) 大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的 翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行 时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件. 思路 2. ( 事例导入 ) 三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的 两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问 题. 推进新课
3、 新知探究 提出问题 回忆空间两平面的位置关系. 欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？ 找出恰当空间模型加以说明. 用三种语言描述平面与平面平行的判定定理. 应用面面平行的判定定理应注意什么？ 利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具 有什么位置关系？ 回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理. 用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. 应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ 应用面面平行的性质定理口诀是什么？ 活动： 先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回 答不准确的学生提示引导考虑问题
4、的思路. 问题引导学生回忆两平面的位置关系. 问题面面平行可转化为线面平行. 问题借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件. 问题引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性. 问题注意平行与异面的区别. 问题引导学生进行语言转换. 问题作辅助面. 问题引导学生自己总结，把握面面平行的性质. 讨论结果： 如果两个平面没有公共点，则两平面平行若 =, 则 . 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若 =AB,则与相交. 两平面平行与相交的图形表示如图1. 图 1 由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都
5、和另一个平面平行. 这是 因为在这些直线中， 如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点， 那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则， 这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但 事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多 少条直线 （且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行， 才能判定两个平面平行呢？ 如图 2, 如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，
6、两个平面不一定平行. 图 2 例如： AA 平面AA DD,AA平面DCC D; 但是 , 平面AA D D平面DCC D =DD . 如图 3, 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行. 图 3 例如： AA 平面 AA D D,EF平面 AADD,AA平面 DCC D,EF平面 DCC D; 但是 , 平面 AA DD 平面 DCC D=DD . 如图 4, 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行. 图 4 例如： AC平面 ABC D,BD平面 ABC D,AC平面ABCD,B D平面ABCD;直线 AC与直线 BD相交 . 可以判定
7、,平面 AB CD平面ABCD. 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为： 若 a， b， ab=A,且 a ,b ，则. 图形语言为：如图5, 图 5 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备： ( ) 有两条直线平行于另一个平面; ( ) 这两条直线必须相交. 尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调. 如图 6, 借助长方体模型，我们看到，B D所在的平面AC与平面AC平行，所以B D与平面AC没有公共点 . 也就是说， BD与平面 AC内的所有直线没有公共点. 因此，直
8、线 BD与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线. 图 6 直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行 . 因为， 直线 BD与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线， 只要过 BD 作平面 BDD B与平面AC相交于直线BD ，那么直线BD与直线BD平行 . 如图 7. 图 7 两个平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 两个平面平行的性质定理用符号语言表示为： b a / ab. 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如
9、图8. 图 8 应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面. 应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线. ” 应用示例 思路 1 例 1 已知正方体ABCD A1B1C1D1，如图 9, 求证：平面AB1D1平面 BDC1. 图 9 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案. 教师在学生中巡视学生的解答，发现问题 及时纠正 ,并及时评价 . 证明： ABCD A1B1C1D1为正方体， D1C1A1B1,D1C1=A1B1. 又 AB A1B1,AB=A1B1, D1C1AB,D1C1=AB. 四边形ABC1D1为平行四边形. AD1BC1. 又
10、 AD1平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1. 同理， BD 平面 AB1D1. 又 BD BC1=B，平面 AB1D1平面 BDC1. 变式训练 如图 10, 在正方体ABCD EFGH中， M 、N、P、Q、R分别是 EH 、EF 、BC 、CD 、AD的中点， 求证：平面MNA 平面 PQG. 图 10 证明： M 、 N、P、Q、R分别是 EH 、 EF、BC 、CD 、AD的中点， MN HF,PQ BD.BD HF, MN PQ. PRGH,PR=GH;MHAR,MH=AR, 四边形RPGH 为平行四边形，四边形ARHM 为平行四边形. AM RH,
11、RH PG.AM PG. MN PQ,MN 平面 PQG,PQ 平面 PQG, MN 平面 PQG. 同理可证， AM 平面 PQG. 又直线 AM与直线 MN相交， 平面 MNA 平面 PQG. 点评： 证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键 是证线线平行 . 例 2 证明两个平面平行的性质定理. 解： 如图 11, 已知平面、满足, =a, =b, 求证 :a b. 图 11 证明： 平面平面, 平面和平面没有公共点. 又 a， b, 直线 a、b 没有公共点 . 又 =a， =b, a， b. ab. 变式训练 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这
12、两个平面互相平行. 解： 已知，求证：. 证明： 如图 12，作两个相交平面分别与、交于a、c、e 和 b、d、 f, 图 12 / / / / / / / / / bfb aea fd ec db ca . 点评： 欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面. 知能训练 已知： a、b 是异面直线，a平面 ,b平面， a， b . 求证： . 证明： 如图 13, 在 b 上任取点P，显然 Pa. 于是 a 和点 P确定平面，且与有公共点 P. 图 13 设 =a， a， a a. a . 这样内相交直线a和 b 都平行于，. 拓展提升 1. 如图 14，两条异面直线AB 、CD与三个平行平面、
13、分别相交于A、E、B及 C、F、 D，又 AD、BC与平面的交点为H 、G. 图 14 求证： EHFG 为平行四边形. 证明： / EGABC ACABC 平面 平面 AC EG.同理 ,ACHF. HFAC EGAC / / EG HF.同理 ,EHFG.故 EHFG 是平行四边形. 课堂小结 知识总结： 利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行. 方法总结： 见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行, 本节是 “转化思想” 的 典型素材 . 作业 课本习题 2.2 A组 7、8. 设计感想 面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考 查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位. 本节选用了大量的经典习题作为素材， 对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这 是一节大家喜欢的精彩课例.