《新版高考数学(人教a版,理科)题库：基本不等式(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考数学(人教a版,理科)题库：基本不等式(含答案).pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 1 第 4 讲基本不等式 一、选择题 1若 x0，则 x4 x的最小值为 ( ) A2 B 3 C22 D4 解析x0，x 4 x4. 答案D 2已知 a0，b0，ab2，则 y 1 a 4 b的最小值是 ( ) A. 7 2 B4 C. 9 2 D5 解析依题意得 1 a 4 b 1 2 1 a 4 b ( ab) 1 2 5 b a 4a b 1 2 52 b a 4a b 9 2，当且仅当 ab2 b a 4a b a0，b0 ，即 a2 3， b 4 3时取等号，即 1 a 4 b的最小值是 9 2. 答案C 3小王从甲地到乙地的时速分别为a 和 b(aa 2a2 ab 0，va.
2、 答案A 4若正实数 a，b 满足 ab1，则( ) A. 1 a 1 b有最大值 4 Bab 有最小值 1 4 C. ab有最大值 2 Da 2b2 有最小值 2 2 解析由基本不等式， 得 aba 2 b 2 2 ab 22ab 2 ，所以 ab1 4，故 B错； 1 a 1 b ab ab 1 ab4，故 A错；由基本不等式得 a b 2 ab 2 1 2， 即 ab 2，故 C正确； a 2 b 2( ab)22ab12ab121 4 1 2， 故 D错 答案C 5已知 x0，y0，且 2 x 1 y1，若 x2ym 22m 恒成立，则实数 m 的取值范 围是() A(， 24， )
3、B(， 42， ) C(2,4) D(4,2) 解析x0，y0 且2 x 1 y1， x2y(x2y) 2 x 1 y 4 4y x x y 42 4y x x y8，当且仅当 4y x x y， 即 x4，y2 时取等号， (x2y)min8，要使 x2ym 22m 恒成立， 只需(x2y)minm22m恒成立， 即 8m22m，解得 40)，l 1与函数 y|log2x|的图象从 左至右相交于点A，B，l2与函数 y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D. 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为a，b.当 m 变化时， b a的最小值 为() A16 2 B82 C8 3
4、 4 D434 解析如图，作出 y|log2x|的图象，由图 可知 A，C 点的横坐标在区间 (0,1)内，B， D 点的横坐标在区间 (1， )内，而且 xCxA与 xBxD同号，所以 b a xBxD xCxA， 根据已知 |log2xA|m，即log2xAm，所以 xA2 m.同理可得 x C2 8 2m1， xB2 m，x D2 8 2m1，所以 b a 2 m28 2m1 2 8 2m12 m 2 m28 2m1 1 2 8 2m1 1 2 m 2 m28 2m1 2 m2 8 2m1 2 m 2 8 2m1 2 8 2m1m，由于 8 2m1m 8 2m1 2m1 2 1 24 1
5、 2 7 2，当且仅当 8 2m1 2m1 2 ，即 2m14，即 m 3 2时等号成立，故 b a的最小值为 2 7 28 2. 答案B 二、填空题 7设 x，y 为实数若 4x 2y2xy1，则 2xy的最大值是 _ 解析依题意有 (2xy)213xy1 3 22xy1 3 2 2xy 2 2，得5 8(2x y) 21，即|2xy|2 10 5 .当且仅当 2xy 10 5 时，2xy 取最大值 2 10 5 . 答案 2 10 5 8在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x) 2 x的图象交 于 P，Q两点，则线段 PQ长的最小值是 _ 解析假设直线与函数 f (
6、 x) 2 x的图象在第一象限内的交点为 P， 在第三象限 内的交点为 Q ，由题意知线段 PQ的长为 OP长的 2 倍 假设P点的坐标为 x0， 2 x0 ， 则|PQ| 2|OP| 2 x 2 0 4 x 2 04. 当且仅当 x 2 0 4 x 2 0， 即 x0 2时，取“”号 答案4 9若正数 a，b 满足 abab3，则 ab的取值范围是 _ 解析由 a，bR，由基本不等式得ab2 ab， 则 abab32 ab3， 即 ab2 ab30? (ab3)(ab1)0?ab 3， ab9. 答案9， ) 10已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z x1 x y 1 y 的最小值为 _
7、。 解析z x1 x y1 y xy 1 xy y x x yxy 1 xy xy 22xy xy 2 xyxy2， 令 txy，则 00，y0，且 2x5y20. (1)求 ulg xlg y 的最大值； (2)求1 x 1 y的最小值 解(1)x0，y0， 由基本不等式，得2x5y2 10xy. 2x5y20，2 10xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立 因此有 2x5y20， 2x5y， 解得 x5， y2， 此时 xy有最大值 10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1. (2)x0，y0， 1 x 1 y
8、 1 x 1 y 2x5y 20 1 20 7 5y x 2x y 1 20 72 5y x 2x y 72 10 20 ， 当且仅当 5y x 2x y 时， 等号成立 由 2x5y20， 5y x 2x y ， 解得 x10 1020 3 ， y204 10 3 . 1 x 1 y的最小值为 72 10 20 . 13设 f(x) 16x x 28(x0) (1)求 f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数a，b，恒有 f(a)b 23b21 4 . (1)解f(x) 16x x 28 16 x8 x 16 2 x 8 x 2 2， 当且仅当 x 8 x时，即 x2 2时，等号成立 所以
9、 f(x)的最大值为 2 2. (2)证明b 23b21 4 b 3 2 23， 当 b 3 2时，b 23b21 4 有最小值 3， 由(1)知，f(a)有最大值 2 2， 对任意实数 a，b，恒有 f(a)b23b 21 4 . 14桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形 式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项 目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖 出三个矩形池塘养鱼， 挖出的泥土堆在池塘四周形 成基围 (阴影部分所示 )种植桑树，池塘周围的基围 宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为S平方 米 (1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得S最大？并求出 S的最大值 解(1)由图形知， 3a6x，ax6 3 . 则总面积 S 1 800 x 4 a2a 1 800 x 6 a 5 400 x 16 x6 3 5 400 x 16 1 832 10 800 x 16x 3 ， 即 S1 832 10 800 x 16x 3 (x0) (2)由 S1 832 10 800 x 16x 3 ， 得 S1 8322 10 800 x 16x 3 1 83222401 352. 当且仅当 10 800 x 16x 3 ，此时， x45. 即当 x 为 45米时， S最大，且 S最大值为 1 352平方米 .