圆复习策略探究.pdf

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1、“ 圆” 复习策略探究 一、教材关于“ 圆” 的处理 圆是一种特殊的曲线，它有独特的对称性与旋转不变性，在日常生活中有着广泛的应 用，它综合了三角形、四边形与解直角三角形等内容，既可以从“ 数” 的一面对它进行研究， 也可以从 “ 形” 的一面对它进行研究，有很强的综合性。初中数学教材对“ 圆” 知识安排如下： 初中阶段，课标对“ 圆” 的要求主要是“ 了解 ” 与“ 理解 ” ，而只对“垂径定理、圆周角与圆 心角及其所对弧的关系、圆周角定理及其推论、切线长定理”要求学生进行探索与证明，整 章书的课时数仅有17 课时。纵观 “ 圆” 的整个教学体系，小学安排了“ 认识圆、圆的周长和圆 的面积

2、” ；高一的必修二安排了“ 圆与方程 ” ，高二的选修4-1 安排了 “ 圆与直线的位置关系” ， 分别要求学生从“ 数” 与“ 形” 两方面去掌握“ 圆” 的整个知识体系，一些定理的证明与探索也放 到高中的教材中。鉴于课程准标的要求、我省中考的考试要求与学生的数学能力，我省中考 对于 “ 圆” 的处理主要是以“ 选择题 ” 与“ 填空题 ” 的形式出现。 二、复习策略及典型例题分析： 鉴于 “ 圆” 在初中教材中的地位，它在中考之中所占的分值不大，只占3 到 6 分，不过注 重对基础知识、学生综合能力与空间想想能力的考查，为了避免在复习之中搞“ 题海战术 ” ， 在复习本章内容的时候应关注以

3、下几点： （一）关注圆知识点分布 圆这章可分为四大块，即圆的基本概念和性质、与圆有关的位置关系、正多边形和圆、 有关圆的计算，复习时应在把握初中教材关于“ 圆” 的知识点分布之上展开。 1、考查圆的基本概念及性质 圆的基本性质的主要知识点有有：垂径定理及推论、弧、弦、圆心角之间的关系定理、 圆周角定理 典型例题分析： 例题 1，如图 1，AB 和 CD 都是 0 的直径， AOC=50 ，则 C 的度数是 A20B 25C30D50 分析：由AB 和 CD 是 O 的直径可得到OA=OB ，从而有 C=B，再根据三角形外角与 与圆有关的位置关系 圆 圆的基本性质 正多边形和圆 有关圆的计算 圆

4、的对称性 弧 、弦 、 圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系 三角形的外接圆 三角形的内切圆切线 弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积 等分圆周 A B D C 图 1 O 内角的关系，AOC=50 ，可求出 C=25 。 点评：这道题是海南省2006 年中考试题，综合考查了圆的基本概念与三角形的基本性质。 例题 2如图 2，将半径为4cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ， 则折痕 AB 的长度为 _cm 分析： 过圆心作 OCAB 于点 D 交弧 AB 于点 C，由垂径定理可得AD=BD ，连结 OA，由 轴对称的性

5、质可知CD=OD=2 cm，再结合勾股定理可以求出AD=3224 22 ， 所以 AB=2AD=34 点评：此题是 2010 海南省中考试题，涉及的知识点有轴对性、勾股定理和垂径定理，是综 合性比较强的一道题，不仅考查了学生对基础知识的理解与掌握，而且综合考查学生的空间 想象能力、观察与分析能力、运用知识的能力。 例题 3， 如图 3， 点 D 在以 AC 为直径的 O 上，如果 BDC=20 ， 那么 ACB= 分析： 由同弧所对的圆周角相等，可求出A= BDC=20 ，又由AC 为 O 的直径，可求 出 ABC=90 ，所以 ACB=90 A=70 例题 4，如图 4， AB 是 O 的直

6、径，AC 是 O 的切线， A 为切点，连结BC 交 O 点于 D， 若 C=50 ，则 AOD= 分析： 因为 AC 是 O 的切线，所以BAC=90 ，又 C=50 ，所以 B=40 ，根据同弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可求出AOD=80 点评： 这两道题都是中考题，用“圆”综合了三角形和圆的基本知识，其中“例题4”是海 南省 2011 年中考题目，糅合了圆周角定理及圆的切线性质定理；这两题分别从不同的角度 考查了学生对于圆周角定理的理解情况，考查了学生的图形的识别能力、观察分析能力、 以 及综合运用知识的能力； 横向与纵向观察与分析各省市的中考试题，圆的基本性质与垂径定理是中

7、考的重点内容 之一， “弧、弦、圆心角之间的关系定理”与“圆周角定理”要让学生弄清楚弧与圆心角、 圆周角之联系； 而对“垂径定理” 的理解则要关注圆的对称性与勾股定理，注意圆的半径r、 弦心距 d 与弦长 a 之间的关系，把三角形的知识融合到圆之中，特别是直角三角形的知识， 做到灵活运用。 2、考查与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系涉及的知识点主要有：“点到圆心的距离d 与圆的半径之间的联系、 圆心到直线的距离d 与圆的半径之间的联系、两圆的圆心距d 与两圆的半径之间的联系、圆 图 2 A O B C D A D C B O 图 3 50 O D C A B 图 4 的切线质性定理与判定定

8、理”等。 典型例题分析： 例题 5，如图 5，在 Rt ABC 中， ACB=90 ，AC=6 ，AB=10 ，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 AC 为直径作 O，设线段CD 的中点为P，则点 P 与 O 的位置关系是（） 点 P在 O 内点 P 在 O 上点 P 在 O 外无法确定 分析： 连结 OP，由题意可知点O、P 分别是 AC 与 CD 的中点，所以根据三角形中位线性 质可以求出OP=2.5，又 O 的半径 OC=0.5AC=3 ，所以有点P 到 O 的圆心的距离d 小于 O 的半径，所以可以断定点P 在 O 内。 点评： 此题是 2007 年浙江湖州的中考试题，巧妙地把“圆”与

9、三角形的中线、中位线的知 识综合在一起，解答此题关键是要抓住“中点”这个条件，理清关系，求出O 的半径与点 P到圆心 O 的距离，考查了学生分析问题与灵活动运用知识的能力。 例题 6，如图 6，在 ABC 中， A=90 ，AB=AC=2 cm， A 与 BC 相切于点 D，则 A 的 半径长为 _cm 分析： 因为 A=90 ，AB=AC=2 cm，所以 BC=22cm，连结 AD ，根据圆的切线性质定理 可得 AD BC，又 AB=AC ，所以 BD=CD=2cm，所以 AD= BD=CD=2cm。 点评： 例题 6 是 2006 年海南省中考题，此题入口较宽， 可以用多种方法解答，除了上

10、述 “分 析”中的方法外，也可以根据AB AC BCAD ，由等积问题获得求解；另外也可以根据 等腰三角形的性质，求出B= BAD=45 从而有AD=BD=0.5BC=2cm。对于圆的切线 问题， 如果涉及添加辅助线，应当优先考虑连结圆心与切点，构造直角三角形，利用勾股定 理解决问题。 例题 7，同一平面内，半径分别是2cm和 3cm的两圆的圆心距为5cm，则这两圆的位置关 系是 A相离B相交C外切D内切 分析：例题 7 是 2010 年海南省中考题， 判断两圆之间的位置关系，由两圆的半径之和为5cm， 等于两圆的圆心距，可判断两圆外切。 点评： 例题 5-7 都与“圆”的位置关系有关，如果中

11、考试题对于“圆”的处理非得以选择题 与填空题出现的话，点与圆、 圆与圆的位置关系多以选择题出现，而直线与圆的位置关系则 多以填空题出现。 直线与圆的位置关系中有两个非常重要的定理圆的切线性质定理与判 定定理，有了这两个定理，“直线与圆的位置关系”的题目就容易使“数”“形”结合，特别 是把勾股定理与切线的性质相结合。我们在引导学生进行复习的时候，不妨结合有关例题进 行复习。 3、考查正多边形和圆的关系 正多边形与圆的复习，主要涉及如何构造正多边形以及如何求解正多边形的半径、中心 角与边心距等问题。 典型例题分析 A D B P O C 图 5 A B D C 图 6 例题 8，边长为a的正六边形

12、的内切圆的半径为（） A2aBaC 3 2 aD 1 2 a 分析： 解答此题要添加辅助线构造正六边形的半径与边心距，运用勾股定理或解直角三角形， 求出正六边形的边心距a 2 3 ，而正六边形的边心距也就是其内切圆的半径。 点评： 解答正多边形与圆有关的问题，要引导学生学会运用等分圆周的方法构造正多边形， 要弄清楚正多边形的半径、边心距与正多边形的内切圆、外接圆的关系， 学会运用构造直角 三角形的方法求解。 4、考查与圆有关的计算 由于圆具有很强的综合性，与圆有关的计算涉及的范围较广，主要有 线段的长度、 角度、 弧长、阴影部分面积、扇形面积、圆柱侧面积、圆锥的侧面积计算。 典型例题分析 例题

13、 9，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图7 所示，其中有水部分水面宽0.8 米， 最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是（） A0.4 米 B 0.5 米 C 0.8 米D1 米 例题 10，如图 8，在综合实践活动中，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所 示，它的底面积半径OB=6 cm，高 OC=8cm，则这个圆锥形漏斗的侧面积是（） A30cm 2 B 2 60 cmC 2 180cm 2 30 cm 分析： 例题 9 是 2009 年山东青岛中考题，连结OA ，作 OCAB 于点 C，设 O 的半径为 r，根据垂径定理与勾股定理构造方程 222 4 .0)2.0(rr

14、，可求出 r=0.5，所以水管的直 径为 1米； 例题 10 是 2010 年甘萧天水市中考题， 由勾股定理求出圆锥的母线BC的长为 10cm， 再求出圆锥的底面周长等于12cm，根据扇形面积公式可求出圆锥的侧面积是 2 60 cm。 点评： 分析近年“与圆有关的计算”的中考题，不难发现，“与圆有关的计算”离不开解直 角三角形， 特别是勾股定理，而解直角三角形离不开直角三角形，因而如何构造直角三角形 是必须掌握的； 另外在涉及弧长、扇形面积的计算时，要灵活运用相关的计算公式，要弄清 楚圆锥的高、母线、底面的半径与圆锥的侧面展开图之间的内在联系。 （二）关注圆与实际问题 培养学生应用的能力是课标

15、的一项要求，初中数学教材非常关注“圆” 在实际生活的应 用，几乎每一节课都有“圆”与实际问题的例子，而实际问题中的“圆”也是中考试题中的 常客，把数学知识与实际问题相结合也是数学命题的一个方向， A B C 图 7 C B A O 图 8 典型例题分析 例题 11，一把遮阳伞撑开时母线的长是2 米，底面半径为1 米，则做这把遮阳伞需用布料 的面积是（） A4平方米B2平方米C平方米D 1 2 平方米 例题 12， 王大爷家屋后有一块长12m， 宽 8m 的矩形空地， 他在以 BC为直径的半圆内种菜， 他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( ) A.3mB.5mC.7

16、mD.9m 分析：例题 11 是 2009 年 广东省茂名市中考题，构造图 9，可以求出圆锥的底面周长为2， 则圆锥的侧面积为 222 2 1 ，即这把遮阳伞需要用的布料的面积是2平方米； 例题 12 是 2010 新疆建设兵团中考试题，构造图10，根据勾股定理求出OA=10m ，又 O 的半 径为 6m，所以 AP=4m ，若要保证不让羊吃到菜，AP 的长度应小于4m，所以答案应选A。 点评： 根据题意可抽象出“图9 与图 10”的几何图形，例题11 实际是有关圆锥的侧面积的 问题，而例题12 实际是“点与圆的位置关系”的问题，都是和实际问题相结合的中考题， 要建立数学模型才能解答，考查了学

17、生运用知识的能力与解决问题的能力。 （三）关注圆与动态问题 “圆”有很强的综合性，综合了三角形与四边形的知识，能够把“数”与“形”巧妙地 糅合在一起，而且“圆”的“对称性”与“旋转不变性”也赋予了“圆”很好的动态功能， 能够较好地考查学生的数学能力，各省市中考试题中的“圆”，相当部分是以“压轴题”出 现的，因此复习的时候应当关注“圆”中的动态问题。 典型例题分析 例题 13，如图 11， B 的半径为4cm， MBN=60 ，点 A、C 分别是射线BM 、 BN 上的 动点，且直线AC BN ，当 AC 平移到与 B 相切时， AB 的长度是 ( ) A.cm8B.cm6C.cm4D.cm2

18、例题 14，如图 12， ABC=90 ，O 为射线 BC 上一点，以点O 为圆心、BO 2 1 长为半径作 O，当射线BA 绕点 B 按顺时针方向旋转_度时与 0 相切 . 分析： 例题 13，因为直线ACBN ，所以当AC 平移到与 B 相切时， AC 与 BN 的交点 C 图 12 A B O C M N 2 米 1 米 图 9 A B C D O P 12 8m 图 10 B A M C N 图 11 就是直线AC 与 B 的切点，此时BC=4cm，又 MBN=60 ，所以AB=2BC=8 cm；例题 14 有两个解，过点B 作 BM 、BN 与 O 分别相切于点M、N，连结 OM、O

19、N，当 BA 与 O 相切于点M 时， BO=2MO ， MBO=30 ，同理 NBO=30 ，又 ABC=90，所以 ABM=60 ， ABN=120，所以当射线BA 绕点 B 按顺时针方向旋转60 或 120 时与 0 相 切。 点评： 例题 13、 14 是海南省2007 与 2005 年的中考题，是典型的动态几何问题，有效地考 查了学生的空间想象能力。与“圆”有关的动态有平移、旋转、折叠等，解决此类问题要注 意“以静制动” ，以静止状态之下的特点去猜想动态之下的变化规律，特别要注意多种可能 性。 “圆” 是学生学习的第一个曲线图形，有很强的综合性，综合了三角形、四边形与三角 函数等知识， 在图形认识上是一个飞跃。在针对 “圆” 进行复习时， 要扎扎实实地打好基础， 利用“圆”进一步地把初中几何知识系统化，培养学生的应用意识，拓展学生的思维，丰富 学生解决数学问题的方法与手段，提高学生的综合运用能力，力求让学生对初中的几何知识 有一个整体上的了解，把教材内容融会贯通，让学生的数学能力实现一个“质”的飞跃。